1、,二、典型例題分析與解答,第二、三章,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,一元函數(shù)微分學總結,一、知識點與考點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,一、知識點與考點,(一)導數(shù)與微分,若令,1.導數(shù)定義:,則,2.左右導數(shù):,左導數(shù):,右導數(shù):,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,導函數(shù)簡稱導數(shù),且有,函數(shù) y = f (x) 在點,4.導數(shù)的幾何意義:,處的導數(shù),表示曲線y = f (x)在點,處的切線斜率.,即有,曲線的切線方程為,3.導函數(shù)的定義:,曲線的法線方程為, 是 x0時比x 高階的無,窮小量,并稱Ax為f (x)在,其中A是與x 無關的量,若函數(shù)的增量可表示為y=Ax+ ,則稱

2、 y = f (x) 在點 x 處可微 ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,記為dy ,即dy=Ax .,5.微分的定義:,由于x=dx ,所以,6.微分的幾何意義:,點 x 處的微分,當y是曲線y = f (x) 上點的縱坐標,的增量時,dy表示曲線的切線縱坐標的增量.,7.基本定理,定理1(導數(shù)存在的判定定理),定理2(函數(shù)可導與連續(xù)的關系),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,可導函數(shù)必連續(xù),但連續(xù)函數(shù)未必可導.,可導,定理4.(函數(shù)與其反函數(shù)的導數(shù)的關系),可微,反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù).,定理3.(函數(shù)一階可導與可微的關系),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,(5),(

3、6),(7),設,及,(4),均為可導函數(shù),則復合函數(shù),可導,且,或,(微分形式不變性),8.運算法則,(1),(3),(2),9.基本初等函數(shù)的導數(shù)與微分公式,(3),(1),(2),(4),(8),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,(5),(6),(7),(9),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,(10),(11),(14),(15),(12),(13),(16),(17),.,10.高階導數(shù),.,例1. 設,求使,存在的最高,分析:,但是,不存在 .,2,又,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,11.方程確定的隱函數(shù)的導數(shù),例2.設函數(shù) y= y (x) 由方程,確定,求,解法1:,

4、方程兩邊對x 求導數(shù)得:,解得,方程兩邊微分得:,解法2:,解得:,12.參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù),例3. 設,求,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,解:,13.對數(shù)求導法:,求“冪指函數(shù)”及多個因子相乘除函數(shù),的導數(shù)時用對數(shù)求導法.,解法1:,取對數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,等式兩邊對 x 求導數(shù):,則有:,例4. 設,解法2:,作指數(shù)對數(shù)恒等變形:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例5.,設,則有,解,取對數(shù),等式兩邊對 x 求導數(shù):,(二) 中值定理,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,1.羅爾定理,(1)在閉區(qū)間a , b上連續(xù);,(3) 且 f (a) = f (b

5、) ;,成立.,(2)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)可導;,若函數(shù) f (x) 滿足條件:,則在開區(qū)間(a , b)內(nèi)至少存在一點 使,2.拉格朗日中值定理,若函數(shù) f (x) 滿足條件:,(1)在閉區(qū)間a , b上連續(xù);,(2)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)可導;,則在開區(qū)間(a , b)內(nèi)至少存在一點 使等式,3. 柯西中值定理,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,成立.,若函數(shù) f (x) ,F (x) 滿足條件:,(1)在閉區(qū)間a , b上連續(xù);,(2)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)可導且,則在開區(qū)間(a , b)內(nèi)至少存在一點 使等式,(三)導數(shù)的應用,定理1 設函數(shù) f (x)在(a , b)內(nèi)可導

6、,1. 函數(shù)的單調(diào)性,若對,都有,則稱 f (x)在(a , b)內(nèi)單調(diào)增(減) .,2.函數(shù)的極值,設函數(shù) f (x) 在,內(nèi)有定義,x 為該鄰域內(nèi)異于,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,的任意一點,若恒有,(或,則稱,為 f (x) 在該鄰域的極大(小)值.,極大值與極小值,統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,方程,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.,定理2. (函數(shù)取得極值的必要條件),的根稱為函數(shù) f (x) 的駐點.,則有,設函數(shù) f (x)在點,處可導,(可導函數(shù)的極值點必為駐點),且在該點處取得極值,定理3.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,(函數(shù)取得極值的第一充分條件),設函數(shù) f (x)在,

7、內(nèi)可導,(或 f (x)在點,處連續(xù)但不可導).,(1) 若當x 由左至右經(jīng)過,時,由“+”變“”,則,為函數(shù)的極大值.,(2)若當x由左至右經(jīng)過,時,由“-”變“+”,(3) 若當x由左至右經(jīng)過,為函數(shù)的極小值.,則,則,不變號,不是,時,函數(shù)的極值.,定理4,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,(函數(shù)取得極值的第二充分條件),設函數(shù) f (x)在,處,(1) 若,則,為函數(shù) f (x)的極大值.,(2) 若,則,為函數(shù) f (x)的極小值.,3.函數(shù)的最值,求連續(xù)函數(shù) f (x)在a , b上的最值的步驟:,(1).求 f (x)在(a , b) 內(nèi)的駐點及導數(shù)不存在的點;,(2).求出這

8、些點的函數(shù)值及區(qū)間端點的函數(shù)值;,(3).比較上述函數(shù)值,其中最大者為最大值,最小者為,最大值.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,恒有,(弧在弦的下方),(或,則稱曲線,f (x)在(a , b)內(nèi)為凹(凸)弧.,曲線上凹弧與凸弧的分界,點,4.函數(shù)曲線的凹凸性和拐點,設函數(shù) f (x)在(a , b)內(nèi)連續(xù),若對于(a , b)內(nèi)任意兩點,(弧在弦的上方),稱為曲線的拐點.,定理1.(曲線凹凸性的判定定理),若在(a , b)上,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,則曲線 y = f (x) 在,當x 自左至右經(jīng)過,定理2.(曲線拐點的判定定理),若在,處,時,變號,則,是曲線y = f

9、 (x) 的拐點.,(a , b) 上為凹(凸)弧.,二典型例題分析與解答,應填1.,已知,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,解:,注釋:,本題考查導數(shù)的定義.,例6.,解:,由,由,再代入(1)得,例8.,設f (x)可導,則,是F (x)在x=0可導的( ).,(A) 充分必要條件 ;,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,(B) 充分條件但非必要條件;,(C) 必要條件但非充分條件;,解:,直接計算解此題.,由于,A,(D) 既非充分條件又非必要條件.,而f (x)可導,所以F (x)的可導性與,的可導性相同.,故選項(A)正確., (x)在 x = 0 處可導的充分必要條件是,機動

10、 目錄 上頁 下頁 返回 結束,注釋:,即f (0) = 0 .,本題考查函數(shù)在一點處可導的充要條件.,令,由導數(shù)的定義知,解題過程中化簡題目的解題技巧應注意掌握.,例9,曲線,在點(0,1)處的切線方程,是_.,曲線在點(0,1)的切線方程為,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,注釋:,兩邊對x求導得:,即為,將 x = 0, y = 1 代入式得:,本題考查隱函數(shù)求導數(shù)及導數(shù)的幾何意義.,例10 設函數(shù),由方程,確定,求,解 由,由原方程得,代入(1)得,再將,代入(2)得,注釋,本題考查求隱函數(shù)在一點處的一階、二階導數(shù).,注意求導數(shù)時,不必寫出導函數(shù).,機動 目錄 上頁 下頁 返回

11、 結束,.,例11 證明方程,在(0,1)內(nèi)至少有一實根,分析,如令,不便使用介值定理,用 Rolle 定理來證,證,令,則,且,故由Rolle 定理知,例12.,處( ).,設y=f (x)是方程,則函數(shù)f (x)在點,且,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,(C) 某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;,(B) 取得極小值;,的一個解,(A) 取得極大值;,解:,(D) 某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.,由于y = f (x) 是方程,的一個解,所以有,即有,將,代入上式得,所以函數(shù)f (x)在點,處取得極大值.,A,選項(A)正確.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例13.,且,設 f (x)有二階連續(xù)導數(shù),則( )

12、.,(A) f (0) 是 f (x)的極大值;,(B) f (0) 是 f (x)的極小值;,(C) (0,f (0) )是曲線y= f (x)的拐點;,(D) f (0)不是 f (x) 的極值點,(0,f (0) )也不是曲線,y= f (x)的拐點.,解:,由于,由極限的保號性知存在 x= 0的,某去心鄰域,在此鄰域內(nèi)有,即有,B,即有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,由于,當x 0時,函數(shù) f (x)單調(diào)減.,當x 0時,由極值的第一充分條件知 f (x)在 x = 0 處取得極小值.,即有,又由極限的保號性有,注釋:,本題考查極限的保號性和極值的判定法則.,函數(shù) f (x)單調(diào)

13、增.,故選項(B)正確.,例14.,由于x =1 是 (x)在(0,+),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,則 (x) 在x=1處取得極小值.,又 (1) = 0 ,即,則當x 0 時,則 (x) 在x=1處取得區(qū)間(0,+),試證:當x 0 時,證:,令,易知 (1) = 0 .,內(nèi)的唯一的極小值點,上的最小值.,證畢.,例15.,求,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,解法一,原式=,則,注釋:,本題考查洛必達法則求未定式極限.,由于x0時,解法二,原式=,解法2先對分母用等價無窮小代換,再用洛必達法則.,例16.,原式=,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,注釋:,本題考查洛必達法則求未定式極限.,應填,解題過程,中應特別注意應用無窮小代換以簡化計算.,填空題,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例17,已知,在,解:,由題,求,處可導,在,處連續(xù)，,則,即,且,考慮,(08-09, 三(1),例18. 求數(shù)列,的最大項 .,證: 設,用對數(shù)求導法得,令,得,因為,在,只有唯一的極大點,因此在,處,也取最大值 .,又因,中的最大項 .,極大值,列表判別:,例19.,(1)存