1、勾股定理及逆定理的運(yùn)用一、學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1. 掌握、理解勾股定理的內(nèi)容，并會(huì)運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題。 2. 能夠運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，并能實(shí)際應(yīng)用。 3. 能區(qū)分勾股定理與勾股定理逆定理的條件與結(jié)論。 4. 了解勾股數(shù)的定義及其探索規(guī)律，了解定理的含義及逆命題、逆定理的概念，知道原命題成立，其逆命題不一定成立。二、重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1. 勾股定理的應(yīng)用。 2. 數(shù)學(xué)思想方法的掌握，勾股定理與方程的思想及類討論思想。三、考點(diǎn)分析：勾股定理及其逆定理是幾何中的重要定理，其應(yīng)用極其廣泛，歷年來都是中考命題的熱點(diǎn)。典型例題知識(shí)點(diǎn)一、直接應(yīng)用勾股定理或勾股定理逆定理 例1：

2、如圖，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線段是（ ）A. CD、EF、GHB. AB、EF、GHC. AB、CD、GHD. AB、CD、EF思路分析：1）題意分析：本題考查勾股定理及勾股定理的逆定理。2）解題思路：可利用勾股定理直接求出各邊長(zhǎng)，再進(jìn)行判斷。解答過程：在RtEAF中，AF=1，AE=2，根據(jù)勾股定理，得同理計(jì)算發(fā)現(xiàn)，即，根據(jù)勾股定理的逆定理得到以AB、EF、GH為邊的三角形是直角三角形。故選B。解題后的思考： 1. 勾股定理只適用于直角三角形，而不適用于銳角三角形和鈍角三角形。因此，解題時(shí)一定要認(rèn)真分析題目所給條件，看是否

3、可用勾股定理來解。 2. 在運(yùn)用勾股定理時(shí)，要正確分析題目所給的條件，不要習(xí)慣性地認(rèn)為“”就是斜邊而“固執(zhí)”地運(yùn)用公式，其實(shí)，同樣是，不一定就等于90，不一定就是斜邊，不一定就是直角三角形。 3. 直角三角形的判定條件與勾股定理是互逆的，區(qū)別在于勾股定理的運(yùn)用是一個(gè)從“形”（一個(gè)三角形是直角三角形）到“數(shù)”（）的過程，而直角三角形的判定是一個(gè)從“數(shù)”（一個(gè)三角形的三邊滿足的條件）到“形”（這個(gè)三角形是直角三角形）的過程。 4. 在應(yīng)用勾股定理解題時(shí)，要全面地考慮問題，注意問題中存在的多種可能性，避免漏解。 例2：如圖，有一塊直角三角形紙板，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm?，F(xiàn)將直角邊AC沿直

4、線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，則CD等于（ ）A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm思路分析：1）題意分析：本題考查勾股定理的應(yīng)用2）解題思路：本題若直接在ACD中運(yùn)用勾股定理是無法求得CD的長(zhǎng)的，因?yàn)橹恢酪粭l邊AC的長(zhǎng)，由題意可知，ACD和AED關(guān)于直線AD對(duì)稱，因而ACDAED。進(jìn)一步則有AE=AC=6cm，CD=ED，EDAB，設(shè)CD=ED=xcm，則在RtABC中，由勾股定理可得AB2=AC2+BC2=62+82=100，得AB=10cm，在RtBDE中，有x2+（106）2（8x）2。解得x=3。解答過程：B解題后的思考：勾股定理說到底是一個(gè)等式

5、，而含有未知數(shù)的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求線段的長(zhǎng)時(shí)常通過解方程來解決。勾股定理表達(dá)式中有三個(gè)量，如果條件中只有一個(gè)已知量，必須設(shè)法求出另一個(gè)量或求出另外兩個(gè)量之間的關(guān)系，這一點(diǎn)是利用勾股定理求線段長(zhǎng)時(shí)需要明確的思路。方程的思想：通過列方程（組）解決問題，如：運(yùn)用勾股定理及其逆定理求線段的長(zhǎng)度或解決實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常利用勾股定理中的等量關(guān)系列出方程來解決問題等。 例3：一場(chǎng)罕見的大風(fēng)過后，學(xué)校那棵老楊樹折斷在地，此刻，張老師正和占明、清華、繡亞、冠華在樓上憑欄遠(yuǎn)眺。清華開口說道：“老師，那棵樹看起來挺高的?！薄笆前?，有10米高呢，現(xiàn)在被風(fēng)攔腰刮斷，可惜呀！”“但站立的一段似乎也不矮，有

6、四五米高吧?！惫谌A興致勃勃地說。張老師心有所動(dòng)，他說：“剛才我跑過時(shí)用腳步量了一下，發(fā)現(xiàn)樹尖距離樹根恰好3米，你們能求出楊樹站立的那一段的高度嗎？”占明想了想說：“樹根、樹尖、折斷處三點(diǎn)依次相連后構(gòu)成一個(gè)直角三角形?！薄肮垂啥ɡ硪欢ㄊ且玫模也粍?dòng)筆墨恐怕是不行的?！崩C亞補(bǔ)充說。幾位男孩子走進(jìn)教室，畫圖、計(jì)算，不一會(huì)就得出了答案。同學(xué)們，你算出來了嗎？思路分析：1）題意分析： 本題考查勾股定理的應(yīng)用2）解題思路：本題關(guān)鍵是認(rèn)真審題抓住問題的本質(zhì)進(jìn)行分析才能得出正確的解答 解答過程：設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為，如圖，則米，米。又，即，所以（米）。解得（米）。解題后的思考： 這是一道閱讀理解類試

7、題。這種題型特點(diǎn)鮮明、內(nèi)容豐富、超越常規(guī)，源于課本，高于課本，不僅考查閱讀能力，而且還綜合考查數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力，尤其考查數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新意識(shí)。解題時(shí)，一般是通過閱讀，理解概念，掌握方法，領(lǐng)悟思想，抓住本質(zhì)，然后才能解答問題。知識(shí)點(diǎn)二、構(gòu)造直角三角形使用勾股定理 例4：如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫隙），有一只螞蟻從柜角處沿著木柜表面爬到柜角處。（1）請(qǐng)你畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；（2）當(dāng)時(shí)，求螞蟻爬過的最短路徑的長(zhǎng)；（3）求點(diǎn)到最短路徑的距離。思路分析：1）題意分析：本題考查勾股定理的應(yīng)用。2）解題思路：解決此類問題的關(guān)鍵是把立體圖形問題轉(zhuǎn)化為

8、平面圖形問題，從而利用勾股定理解決。路徑雖無數(shù)最短卻唯一，要注意弄清哪一條路徑是最短的。解答過程：（1）如圖，木柜的表面展開圖是兩個(gè)矩形和。螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖的和。（2）螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段到，爬過的路徑的長(zhǎng)是。螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段到，爬過的路徑的長(zhǎng)是。，最短路徑的長(zhǎng)是。（3）作于，則為所求。解題后的思考：轉(zhuǎn)化的思想是將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化、分解為簡(jiǎn)單的問題，或?qū)⒛吧膯栴}轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來處理的一種思想方法。如：在許多實(shí)際問題中，首先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，另外，當(dāng)問題中沒有給出直角三角形時(shí)，通常通過作輔助線構(gòu)造直角三角形將它們轉(zhuǎn)化為直角三角形問題等。 例5：有一塊直角三角

9、形的綠地，量得兩直角邊長(zhǎng)分別為現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以為直角邊的直角三角形，求擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長(zhǎng)。思路分析：此題如有圖形將變得很簡(jiǎn)單，按圖形解答即可。但若沒有圖形，則需要討論幾種可能的情況。這正是“無圖題前細(xì)思考，分類討論保周到”。 解答過程：在中，由勾股定理有：，擴(kuò)充部分為擴(kuò)充成等腰應(yīng)分以下三種情況：如圖1，當(dāng)時(shí)，可求，得的周長(zhǎng)為32m。如圖2，當(dāng)時(shí)，可求，由勾股定理得：，得的周長(zhǎng)為如圖3，當(dāng)為底時(shí)，設(shè)則由勾股定理得：，得的周長(zhǎng)為m。 解題后的思考：分類討論思想是解題時(shí)常用的一種思想方法，同學(xué)們?nèi)绻莆樟诉@種方法，可以使思維的條理性、縝密性、靈活性得到培養(yǎng)，才能在

10、解題中真正做到不重不漏。知識(shí)點(diǎn)三、勾股定理及其逆定理的正逆混用 例6：（1）圖甲是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形。若大正方形的面積為13，每個(gè)直角三角形兩條直角邊的和是5，求中間小正方形的面積。（2）現(xiàn)有一張長(zhǎng)為6.5cm、寬為2cm的紙片，如圖乙，請(qǐng)你將它分割成6塊，再拼合成一個(gè)正方形。（要求：先在圖乙中畫出分割線，再畫出拼成的正方形并標(biāo)明相應(yīng)數(shù)據(jù)）思路分析：1）題意分析：本題考查利用勾股定理進(jìn)行圖形的拼割剪接2）解題思路：注意拼接過程中面積是不變的 解答過程：（1）設(shè)直角三角形的較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，則小正方形的邊長(zhǎng)為。由題意得由勾股定理，得2得所以

11、即所求的中間小正方形的面積為1（2）所拼成的正方形的面積為，所以可按照?qǐng)D甲制作。由得由、組成方程組解得結(jié)合題意，每個(gè)直角三角形的較長(zhǎng)直角邊只能在紙片6.5cm的長(zhǎng)邊上截取，去掉四個(gè)直角三角形后，余下的面積為，恰好等于中間的小正方形的面積。于是，得到以下分割拼合方法：解題后的思考：這是一道綜合題，根據(jù)題目所提供的信息是不難解決問題的，但是，要注意掌握和運(yùn)用好題目所給的各個(gè)有用信息，否則，問題就不容易得到解決。知識(shí)點(diǎn)四、連續(xù)應(yīng)用勾股定理 例7：如圖，以等腰三角形AOB的斜邊為直角邊向外作第2個(gè)等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜邊為直角邊向外作第3個(gè)等腰直角三角形A1BB1，如此

12、作下去，若OAOB1，則第n個(gè)等腰直角三角形的面積Sn_。思路分析：1）題意分析：本題考查利用勾股定理進(jìn)行歸納推理 2）解題思路：先在RtABO中，由OAOB1求出AB；再在RtAB A1中，由ABA A1求出A1B2，；再分別求出AOB、ABA1、A1BB1、的面積，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想出結(jié)論。解答過程：在RtABO中，由AOB90，OAOB1，可求出AB，SAOB=112-1；在RtAB A1中，由A1AB90，ABAA1，可求出A1B2，S2=120；在RtA1BB1中，由A1BB190，A1BBB12，可求出A1B1，S3=22221；在RtA1 B2B1中，由B2A1B190，A1B1

13、A1B2，可求出B1 B24，S4=422；，由此可以猜想Sn=。解題后的思考：類比歸納法是兩種或兩種以上在某些關(guān)系上表現(xiàn)相似的對(duì)象進(jìn)行對(duì)比，作出歸納判斷的一種科學(xué)研究方法。在中考數(shù)學(xué)中考查類比歸納法，旨在引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)知識(shí)的類比和歸納，把知識(shí)由點(diǎn)連成線，由線織成網(wǎng)，使知識(shí)有序化、系統(tǒng)化，從而使學(xué)生掌握知識(shí)內(nèi)在的規(guī)律。預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)下一講我們將講解四邊形的應(yīng)用，本講內(nèi)容是中考重點(diǎn)之一，如特殊四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）的性質(zhì)和判定，以及運(yùn)用這些知識(shí)解決實(shí)際問題。中考中常以選擇題、填空題、解答題和證明題等形式呈現(xiàn)，近年的中考中又出現(xiàn)了開放題、應(yīng)用題、閱讀理解題、學(xué)科間綜合題、動(dòng)點(diǎn)

14、問題、折疊問題等，這些都是熱點(diǎn)題型，應(yīng)引起同學(xué)們高度關(guān)注。同步練習(xí)（答題時(shí)間：60分鐘）一、選擇題 1. 如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則ABC的度數(shù)為（ ）A. 90 B. 60 C. 45 D. 30 2. 如圖所示，A、B、C分別表示三個(gè)村莊，AB1000米，BC600米，AC800米，在社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)中，為了豐富群眾生活，擬建一個(gè)文化活動(dòng)中心，要求這三個(gè)村莊到活動(dòng)中心的距離相等，則活動(dòng)中心P處的位置應(yīng)在（ ）A. AB中點(diǎn)處B. BC中點(diǎn)處C. AC中點(diǎn)處D. C的平分線與AB的交點(diǎn)處 3. 如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)到點(diǎn)的距離為5，

15、一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要爬行的最短距離是（）A. B. 25 C. D. 二、填空題 4. 某樓梯的側(cè)面視圖如圖所示，其中米，因某種活動(dòng)要求鋪設(shè)紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長(zhǎng)度應(yīng)為 。 5. 已知RtABC的周長(zhǎng)是，斜邊上的中線長(zhǎng)是2，則SABC_。 6. 如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為1cm 和3cm，高為6cm。如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要 cm；如果從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要 cm。 7. 圖甲是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的。在RtABC中，若直

16、角邊AC=6，BC=6，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)（圖乙中的實(shí)線）是_。 圖甲 圖乙 8. 如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了 步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草。 9. 如圖所示的圓柱體中底面圓的半徑是，高為，若一只小蟲從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的側(cè)面爬行到點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路程是 （結(jié)果保留根號(hào)）。 三、解答題 10. 如圖，A，B是公路l（l為東西走向）兩旁的兩個(gè)村莊，A村到公路l的距離AC1km，B村到公路l的距離BD2km，B村在A村的南偏東方向上。（1）求出A，B兩村之間的距離；（2）為方便村民出行，計(jì)劃在公路邊新建一個(gè)公共汽車站P，要求該車站到兩村的距離相等，請(qǐng)用尺規(guī)在圖中作出點(diǎn)P的位置（保留清晰的作圖痕跡，并簡(jiǎn)要寫明作法）。試題答案 1. （2+2）米 2. 8 3. 10，（或） 【解析】由題意得：細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，其最短長(zhǎng)度為將長(zhǎng)方體的四個(gè)側(cè)面展開即可構(gòu)成一個(gè)直角邊分別為8cm和6cm