1、5.1平面向量的概念及線性運算,第五章平面向量,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),課時作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),1.向量的有關(guān)概念,知識梳理,大小,方向,長度,0,0,平行,重合,平行,相等,相同,相等,相反,三角形,2.向量的線性運算,平行四邊形,ba,a(bc),幾何畫板展示,幾何畫板展示,三角形,相同,相反,0,()a,aa,ab,|a|,幾何畫板展示,3.向量共線的判定定理 a是一個非零向量，若存在一個實數(shù)，使得ba，則向量b與非零向量a共線.,【知識拓展】,題組一思考辨析 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來

2、表示向量.() (2)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無關(guān).() (3)若ab，bc，則ac.() (4)若向量 是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上. () (5)當(dāng)兩個非零向量a，b共線時，一定有ba，反之成立.() (6)若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反.(),基礎(chǔ)自測,1,2,3,4,5,6,題組二教材改編 2.已知ABCD的對角線AC和BD相交于點O，且 a， b，則 _， _.(用a，b表示),答案,解析,1,2,3,4,5,6,ba,ab,3.在平行四邊形ABCD中，若 則四邊形ABCD的形狀為_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,矩形,由對角線長相等的平行

3、四邊形是矩形可知，四邊形ABCD是矩形.,題組三易錯自糾 4.對于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件,答案,1,2,3,4,5,6,解析若ab0，則ab，所以ab. 若ab，則ab0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件.,解析,5.設(shè)向量a，b不平行，向量ab與a2b平行，則實數(shù)_.,解析,答案,解析向量a，b不平行，a2b0，又向量ab與a2b平行，則存在唯一的實數(shù)，使ab(a2b)成立，即aba2b，,1,2,3,4,5,6,解析,答案,1,2,3,4,5,6,題型分類深度剖析,1.有下列命題：兩個相等

4、向量，它們的起點相同，終點也相同；若|a|b|，則ab；若 則四邊形ABCD是平行四邊形；若mn，nk，則mk；若ab，bc，則ac；有向線段就是向量，向量就是有向線段.其中，假命題的個數(shù)是 A.2 B.3 C.4 D.5,解析,答案,題型一平面向量的概念,自主演練,解析對于，兩個相等向量，它們的起點相同，終點也相同，正確； 對于，若|a|b|，方向不確定，則a，b不一定相等，錯誤；,對于，若mn，nk，則mk，正確； 對于，若ab，bc，當(dāng)b0時，ac不一定成立，錯誤； 對于，有向線段不是向量，向量可以用有向線段表示， 錯誤.綜上，假命題是，共4個，故選C.,2.設(shè)a0為單位向量，若a為平面

5、內(nèi)的某個向量，則a|a|a0；若a與a0平行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則aa0.上述命題中，假命題的個數(shù)是 A.0 B.1C.2 D.3,解析,答案,解析向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命題； 若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a|a|a0， 故也是假命題.綜上所述，假命題的個數(shù)是3.,向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點 (1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度. (2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制. (3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等. (4)單位向量的關(guān)鍵是長度都是一個單位長度. (5)零

6、向量的關(guān)鍵是長度是0，規(guī)定零向量與任何向量共線.,命題點1向量的線性運算,題型二平面向量的線性運算,多維探究,答案,解析,(2)(2017青海西寧一模)如圖，在ABC中，點D在BC邊上，且CD2DB，點E在AD邊上，且AD3AE，則用向量,答案,解析,命題點2根據(jù)向量線性運算求參數(shù),答案,解析,解析E為線段AO的中點，,答案,解析,平面向量線性運算問題的常見類型及解題策略 (1)向量加法或減法的幾何意義.向量加法和減法均適合三角形法則. (2)求已知向量的和.一般共起點的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則. (3)求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過

7、向量的運算將向量表示出來，進行比較，求參數(shù)的值.,答案,解析,解析由平面向量的三角形法則可知，,(2)如圖，直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E，F(xiàn)兩點，且與對角線AC交于點K，其中 則的值 為_.,答案,解析,由向量加法的平行四邊形法則可知，,典例 設(shè)兩個非零向量a與b不共線.,證明,題型三向量共線定理的應(yīng)用,師生共研,求證：A，B，D三點共線；,又它們有公共點B，A，B，D三點共線.,(2)試確定實數(shù)k，使kab和akb共線.,解答,解假設(shè)kab與akb共線， 則存在實數(shù)，使kab(akb)， 即(k)a(k1)b. 又a，b是兩個不共線的非零向量， kk10. 消去，得

8、k210，k1.,若將本例(1)中“ 2a8b”改為“ amb”，則m為何值時，A，B，D三點共線？,解答,即4a(m3)b(ab).,故當(dāng)m7時，A，B，D三點共線.,(1)證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系.當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線. (2)向量a，b共線是指存在不全為零的實數(shù)1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，當(dāng)且僅當(dāng)120時成立，則向量a，b不共線.,跟蹤訓(xùn)練 (1)(2017資陽模擬)已知向量 a3b， 5a3b， 3a3b，則 A.A，B，C三點共線 B.A，B，D三點共線 C.A，C，D三點共線 D.B，C，D三點共線

9、,解析,答案,A，B，D三點共線.故選B.,(2)已知A，B，C是直線l上不同的三個點，點O不在直線l上，則使等式 成立的實數(shù)x的取值集合為 A.0 B. C.1 D.0，1,解析,答案,x2(x1)1，即x2x0，解得x0或x1.,典例 下列敘述錯誤的是_.(填序號) 若非零向量a與b方向相同或相反，則ab與a，b之一的方向相同； |a|b|ab|a與b方向相同； 向量b與向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使得ba； 若ab，則ab.,容易忽視的零向量,現(xiàn)場糾錯,糾錯心得,現(xiàn)場糾錯,錯解展示,答案,錯解展示: 中兩個向量的和仍是一個向量，所以 0. 錯誤答案,現(xiàn)場糾錯,解析對于，當(dāng)ab

10、0時，其方向任意，它與a，b的方向都不相同. 對于，當(dāng)a，b之一為零向量時結(jié)論不成立. 對于，當(dāng)a0且b0時，有無數(shù)個值；當(dāng)a0但b0或a0但b0時，不存在. 對于，由于兩個向量之和仍是一個向量， 所以 0. 對于，當(dāng)0時，不管a與b的大小與方向如何，都有ab，此時不一定有ab. 故均錯.,糾錯心得在考慮向量共線問題時，要注意考慮零向量.,課時作業(yè),1.給出下列命題： 兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量； 兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。?a0(為實數(shù))，則必為零； ，為實數(shù)，若ab，則a與b共線. 其中正確的命題的個數(shù)為 A.1 B.2 C.3 D.4,基礎(chǔ)保分練,1,2,3

11、,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,解析因為兩個向量終點相同，起點若不在一條直線上，則也不共線，命題錯誤； 由于兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小，因此是正確的； 若a0(為實數(shù))，則a也可以為零向量，因此命題是錯誤的； 若，為0，盡管有ab，則a與b也不一定共線，即命題是錯誤的，故選A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.(2018安徽淮北第一中學(xué)模擬)設(shè)a，b都是非零向量，下列四個條件，使 成立的充要條件是 A.ab B.a2b C.ab且|a|b| D.ab且方向相同,解析,答案,1,2,

12、4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,解析,答案,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,解析連接OC，OD，CD，由點C，D是半圓弧的三等分點， 可得AOCCODBOD60， 且OAC和OCD均為邊長等于圓O半徑的等邊三角形，所以四邊形OACD為菱形，,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,解析,答案,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.A，B，C B.A，B，D C.B，C，D D.A，C，D,3,5.(2018濟寧模擬)如圖所示，在ABC

13、中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N， 則mn的值為,解析,答案,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.1 B.2C.3 D.4,3,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析O為BC的中點，,3,mn2.,6.(2018屆南寧二中、柳州高中聯(lián)考)已知a，b是不共線的向量， a2b， a(1)b，且A，B，C三點共線，則等于 A.1 B.2 C.2或1 D.1或2,解析,答案,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,即(1)210，解得1或2.故

14、選D.,7.已知兩個非零向量a，b滿足|ab|ab|，則下列結(jié)論正確的是_.(填序號) ab；ab；|a|b|；abab.,解析,答案,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析根據(jù)向量加法、減法的幾何意義可知，|ab|與|ab|分別為以向量a，b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長，因為|ab|ab|，所以該平行四邊形為矩形，所以ab.,3,解析,答案,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,所以正確命題的序號為.,解析,答案,1,2,4,5,

15、6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,3,10.在直角梯形ABCD中，A90，B30，AB ，BC2，點E在 線段CD上，若 ，則的取值范圍是_.,解析,答案,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,15,16,13,3,11.(2018重慶調(diào)研)如圖所示，在ABC中，D，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，BF與CD交于點O，,解答,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,15,16,13,3

16、,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,15,16,13,3,12.設(shè)a，b是不共線的兩個非零向量.,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,證明,3,證明由已知得，,所以A，B，C三點共線.,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解答,3,即3a2b2akb，,所以P在與BC平行的中位線上，且是該中位線上的一個三等分點，,技能提升練,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,解析,答案,答案,解析,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4,3,所以SABD4SACD4.,15.(2018太原質(zhì)檢)設(shè)G為ABC的重心， 則角B的大小為_.,拓展沖刺練,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1