1、第1章 神經(jīng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ),1.1 線性空間與范數(shù) 1.2 迭代算法 1.3 逼近論 1.4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線迭代學(xué)習(xí)算法 1.5 Z變換 1.6 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性 1.7 小結(jié) 習(xí)題與思考題,1.1 線性空間與范數(shù)線性空間屬于變分法方面的內(nèi)容，變分法的近代理論主要有兩點(diǎn)：(1) 如何求泛函的極值；(2) 尋求能夠在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行求泛函極值的編程方法。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論雖然主要為解決非線性問題而被引入到控制領(lǐng)域，但它更加適合于線性空間。,1.1.1 矢量空間1. 矢量空間的定義矢量空間X是用兩種運(yùn)算將矢量聯(lián)系起來的元素集合，兩種運(yùn)算是加法運(yùn)算及標(biāo)量乘法運(yùn)算。它們應(yīng)當(dāng)滿足如下公理：x+y=y+x(x+y)

2、+z=x+(y+z)存在唯一零元素，使+x=xa(x+y)=ax+ay(a+b)x=ax+bx(ab)x=a(bx)0 x=1x=x以上式中，x、y、z是X中的元素，a、b是標(biāo)量。,1. 子空間的定義矢量空間X的一個(gè)非空子集M，若對任意兩個(gè)標(biāo)量a，b及任意的x，yM，均有axbyM，則稱M是X的子空間。1.1.2 范數(shù)范數(shù)是定義在X上的一個(gè)實(shí)數(shù)函數(shù)，記為，它滿足三個(gè)公理：(1) 對所有xX，x0，且x0的充要條件為|x|=a。(2) 對一切x，yX，有xyxy。(3) 對一切xX，有ax=|a|x。其中，a是任一標(biāo)量。,1.1.3 賦范線性空間1. 賦范線性空間的定義在矢量空間X上賦予了范數(shù)的

3、該空間稱為賦范線性空間。范數(shù)用式子定義成,式中，f就是一個(gè)定義在有界閉區(qū)間a，b上的實(shí)數(shù)函數(shù)。在a，b上的所有實(shí)數(shù)函數(shù)集合構(gòu)成了一個(gè)函數(shù)空間Lka，b，這個(gè)函數(shù)空間就是賦范線性空間。,1. 序列收斂在賦范線性空間X中，序列xn收斂到x是指：對任意給定的0，都存在一個(gè)N，當(dāng)nN時(shí)，總有xxn。若一個(gè)序列收斂，則其極限是唯一的。,1.1.4 L1范數(shù)和L2范數(shù)1. L1范數(shù)在Lka，b內(nèi)取k1，形成了L1a，b空間，L1范數(shù)定義成2. L2范數(shù)在Lka，b內(nèi)取k2，形成了L2a，b空間，L2范數(shù)定義成,1.2 迭 代 算 法非線性系統(tǒng)求解中，經(jīng)常會遇到無約束極值問題，其求解往往歸結(jié)成反復(fù)求解一系列

4、無約束條件下單變量函數(shù)的最優(yōu)解。1.2.1 迭代算法的終止準(zhǔn)則1. 求最小值例如求解minf(x)，xR。求解步驟如下：(1) 給定目標(biāo)函數(shù)f(x)極小點(diǎn)的一個(gè)初始估計(jì)點(diǎn)X0；(2) 按照一定規(guī)則產(chǎn)生一個(gè)序列Xk，如果該序列的極限為,或,則稱該算法所產(chǎn)生的序列Xk收斂于X*。其中“算法”就是指產(chǎn)生序列Xk的規(guī)則。,2. 迭代法迭代法是求解線性或非線性方程(組)的一種解法，用于不需要求解方程精確解或無法求得精確解的場合。對有些數(shù)學(xué)問題，如果不能通過解析方法或有限次運(yùn)算求解，就可以用迭代法。迭代法是指通過對解的一次次估計(jì)，逐步求得近似解。3. 終止準(zhǔn)則如果由算法產(chǎn)生的序列Xk收斂于X*，只有當(dāng)?shù)?/p>

5、過程進(jìn)行到Xk+1X*時(shí)，迭代過程才終止，這一規(guī)定稱為終止準(zhǔn)則，式中是一個(gè)事先給定的小正數(shù)，也稱為誤差或要求精度。,1.2.2 梯度下降法1. 下降法在求目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)時(shí)，若給定初始點(diǎn)后，每迭代一步都使目標(biāo)函數(shù)下降，即f(Xk+1) f(Xk)將此種算法稱為下降法。當(dāng)?shù)^程進(jìn)行到第k步，下一步將有兩個(gè)問題產(chǎn)生：第一個(gè)問題，當(dāng)Xk沿任何方向移動，目標(biāo)函數(shù)值不再下降，這時(shí)的Xk將是局部極小點(diǎn)。,第二個(gè)問題，從Xk出發(fā)，至少有一個(gè)方向使目標(biāo)函數(shù)值下降?？蛇x一個(gè)方向Pk，沿Pk方向求f(X)的極小點(diǎn)，即確定一個(gè)新的Xk+1點(diǎn)：Xk+1Xk kPk使f(Xk+1)f(Xk kPk) f(Xk)完成了

6、第k1次迭代，式中k稱為步長因子。迭代過程中有兩個(gè)規(guī)則需要確定：第一個(gè)規(guī)則，選擇下降方向Pk；第二個(gè)規(guī)則，確定步長因子k。,2. 選擇負(fù)梯度方向作為下降方向選擇負(fù)梯度方向作為下降方向的迭代算法稱為梯度下降法。Pkf(Xk) 第k1次的迭代方程記為 f(Xk+1)f(Xkkf(Xk)f(Xk)由于選擇的是負(fù)梯度方向，因此上式中的步長因子k一定存在。若步長因子的一般式為，通過在負(fù)梯度方向上確定使f(X)為最小的k，迭代方程可表示成,f(Xkkf(Xk)minf(Xkf(Xk)若令K0，1，2，則可得序列x0，x1，xk，。其中x0是初始點(diǎn)，故可任意選擇，這樣f(x)滿足一定條件時(shí)必收斂于f(x)的

7、極小點(diǎn)x*。設(shè)為迭代終止準(zhǔn)則允許的誤差，則迭代終止可取為 f(X)。,1.2.3 最優(yōu)步長選擇負(fù)梯度方向上使f(x)為最小的最優(yōu)步長k確定方法如下：設(shè)f(x)的二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在，由泰勒展開式，得 f(Xkf(Xk)=f(Xk)f(Xk)Tf(Xk)f(Xk)TH(Xk)f(Xk)式中，H(Xk)是在點(diǎn)Xk處的漢斯(Hesse)矩陣。令,代入得最優(yōu)步長,例 試用梯度下降法求f(x)=(x11)2+(x21)2的極小點(diǎn)，設(shè)=0.1。解 取初始點(diǎn)X0=0，0T,T,T,則,即是f(x)的極小點(diǎn)。,1.3 逼 近 論1.3.1 Banach空間和逼近的定義1) 柯西(Cauchy)列賦范線性空間中的

8、序列xn，若對于任意給定的N時(shí)總有 xnxm則稱xn為一個(gè)柯西列。,2) 巴拿赫(Banach)空間完備的線性賦范空間稱為Banach空間。所謂“完備”是指賦范線性空間X中的每個(gè)Cauchy列都在X中有極限。3) 內(nèi)積空間定義了內(nèi)積的線性矢量空間稱為內(nèi)積空間。內(nèi)積空間是一種范數(shù)為x=的賦范空間。4) 正交性內(nèi)積空間中，對于矢量x及y，有(x|y)=0，則稱x和y正交，記為xy。,5) 希爾伯特空間完備的內(nèi)積空間或具有內(nèi)積的Banach空間稱為希爾伯特空間。6) 投影定理設(shè)M是希爾伯特空間H中的一個(gè)閉子空間，對任一矢量xH，都存在唯一矢量m0M，使對所有mM，都有xm0 xm，且xm0m0。,7

9、) 逼近問題設(shè)y1，y2，yn是希爾伯特空間H的一組矢量，用這些矢量生成H的一個(gè)有限維的閉子空間M?，F(xiàn)任意給定一個(gè)矢量xH，要求M中有另一個(gè)矢量z，它應(yīng)是M中最接近x的一個(gè)矢量。接近是指范數(shù)xz為最小?；虍?dāng)z表示成yi的線性組合z=a1y1+a2y2+amym時(shí)，確定m個(gè)標(biāo)量a1，a2，am使范數(shù)xa1y1a2y2amym為最小。,1.3.2 L2逼近和最優(yōu)一致逼近逼近法與插值法類似，需要構(gòu)造一個(gè)性能良好又便于使用的函數(shù)g(x)去取代被分析函數(shù)f(x)或離散點(diǎn)(xi，f(xi)。g(x)被稱為逼近函數(shù)。在離散狀態(tài)下，與連續(xù)狀態(tài)不同的是，并不要求g(x)過離散點(diǎn)，這些離散點(diǎn)(xi，f(xi)被容

10、許在g(x)附近，接近g(x)的程度隨逼近標(biāo)準(zhǔn)的不同而不同。不失一般性，這里考慮連續(xù)型和離散型上的逼近標(biāo)準(zhǔn)。常見到的逼近標(biāo)準(zhǔn)有兩種，分別稱為標(biāo)準(zhǔn)一和標(biāo)準(zhǔn)二。設(shè)逼近函數(shù)所在的函數(shù)類為g(，x)，相應(yīng)的權(quán)函數(shù)為w(x)，其中=0，1，m為m+1個(gè)待定系數(shù)，為給定正整數(shù)，逼近標(biāo)準(zhǔn)如下。,1) 標(biāo)準(zhǔn)一連續(xù)型：,離散型：,實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)一的一種有效逼近方法就是L2逼近，又稱最小二乘逼近。,2) 標(biāo)準(zhǔn)二連續(xù)型：,離散型:,當(dāng)取w(x)=1，=1時(shí)，就是本節(jié)開始時(shí)的最佳一致逼近。,2.3.3 離散點(diǎn)集上的最小二乘逼近在逼近標(biāo)準(zhǔn)一中取=2，按不同逼近函數(shù)所在的函數(shù)類，能獲得相應(yīng)的逼近函數(shù)。如果取逼近函數(shù)所在的函數(shù)類

11、為m次多項(xiàng)式:,則求逼近函數(shù)歸結(jié)為如下兩種類型。 (1) 連續(xù)型：,(2) 離散型：,已經(jīng)證明L2逼近(最小二乘逼近)多項(xiàng)式Pm的存在定理：若f(xi)是某個(gè)插值函數(shù)f(xi)的值，則必存在最小二乘逼近多項(xiàng)式Pm(xi)，使f(xi)Pm(xi)2=minf(xi)Pm(xi)2為最佳一致逼近。所謂最佳一致逼近，是指對所有的xa，b，有 成立，式中是一個(gè)事先給定的小的正數(shù)。,1.4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線迭代學(xué)習(xí)算法神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線迭代學(xué)習(xí)算法流程圖如圖2-1所示。它是一個(gè)依次學(xué)習(xí)控制的重復(fù)進(jìn)行程序，但每一次的學(xué)習(xí)都不是簡單重復(fù)上一次的內(nèi)容，而是通過一步一步地迭加，逐漸地逼近目標(biāo)函數(shù)。,圖1-1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在

12、線迭代學(xué)習(xí)算法流程圖,自動控制系統(tǒng)使用PID調(diào)節(jié)方式時(shí)，開閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)方程分別為：開環(huán):,閉環(huán):,式中，ek(t)是第k步的控制誤差， ek(t)=y(t)yk(t) ek+1(t)是第k+1步的控制誤差； a，b，c分別是比例、積分、微分參數(shù)；uk(t)和uk+1(t)分別是第k步和第k+1步的控制量。,當(dāng)系統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型為已知時(shí)，每一時(shí)刻控制量的求解限制在一個(gè)獨(dú)立的控制周期內(nèi)進(jìn)行。求解過程以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型為依據(jù)，以系統(tǒng)的特征方程為出發(fā)點(diǎn)，設(shè)k為采樣時(shí)刻，j為采樣時(shí)間內(nèi)控制量的迭代循環(huán)次數(shù)，在二維空間內(nèi)求解。當(dāng)被控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型未知時(shí)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造的模型可作系統(tǒng)辨識使用，系統(tǒng)辨識的實(shí)質(zhì)是建

13、立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，在誤差允許范圍內(nèi)模擬被控系統(tǒng)。當(dāng)被控系統(tǒng)為非線性時(shí)變系統(tǒng)且無法線性化時(shí)，可將其歸于系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為未知一類。,按上述設(shè)想，考慮神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線迭代過程，應(yīng)建立在二維空間的時(shí)間軸上，即一個(gè)是控制時(shí)間軸，一個(gè)是離散時(shí)間軸。它們的自變量分別是采樣時(shí)刻k和迭代次數(shù)j。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線迭代學(xué)習(xí)算法由以下兩式給出：,式中，a0是迭代學(xué)習(xí)率；ym()是系統(tǒng)的期望輸出；Nf()是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識模型的輸出。 對于算法，有如下的定理(證明過程見有關(guān)參考文獻(xiàn)):,定理1 非線性系統(tǒng)采用上述兩式給出的學(xué)習(xí)算法，能夠保證神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識模型輸出收斂到期望軌跡上。定理2 采用上述兩式給出的學(xué)習(xí)算法計(jì)算控制量，能夠保證系統(tǒng)

14、實(shí)際輸出收斂到期望模型的輸出，即Nf(w，u)y式中，y是系統(tǒng)的實(shí)際輸出； Nf()是辯證模型的輸出； w是網(wǎng)絡(luò)權(quán)重矩陣； u是控制量。SISO系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過程如下。設(shè)參考模型為ym(k+1)=Amym(k)+BmUm(k)，參數(shù)輸入為Um(k)，線性化模型為ym+1(k+1)=aym1(k)+bUm1(k)，動態(tài)遞歸網(wǎng)絡(luò)為yn(k+1)=Nf(W，U(k)。,控制目的：產(chǎn)生控制量u，使系統(tǒng)輸出y(k+1)=ym(k+1)。算法步驟：(1) 在k時(shí)刻對系統(tǒng)采樣，得y(k)；計(jì)算神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型輸出與給定線性系統(tǒng)輸出之差y(k)(ym1(k)+yn(k)，用BP算法調(diào)整權(quán)值。(2) 計(jì)算Um(k)及y

15、m(k+1)。(3) 計(jì)算神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對輸入的導(dǎo)數(shù)Nf (W，U(k1)。(4) 計(jì)算u(k，j)，ym1(k，j)，Nf(k，j)。,(5) 根據(jù)誤差判斷程序走向，設(shè)誤差為e(k)=ym(k+1)(ym1(k)+Nf(k，j) 若|e(k)|，轉(zhuǎn)步驟(4)，是一個(gè)事先給定的小正數(shù)；若|e(k)|，轉(zhuǎn)步驟(6)。(6) 令k=k+1，對u(k)，y(i)進(jìn)行移位處理，返回步驟(1)。,1.5 Z 變 換Z變換是一種用于數(shù)字控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)變換，它可以看成是拉氏變換的一種序列。拉氏變換用于求解連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，而Z變換用于求解離散時(shí)間系統(tǒng)。1.5.1 Z變換的定義和求取設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)的拉氏變換為F(s)，

16、設(shè)t0時(shí)f(t)0，經(jīng)采樣開關(guān)采樣后的脈沖序列為,式中，T為采樣周期。對上式進(jìn)行拉氏變換，得,enTs,因enTs不便于計(jì)算，引入新的變量z： z=eTs 得,式中，F(xiàn)(z)=F*(s)，是f*(t)的Z變換或f(t)的Z變換，記為,F(z)=Z f*(t)=Z f(t),求脈沖序列的Z變換有3種主要方法：級數(shù)求和法、部分分式法和留數(shù)計(jì)算法。,1. 級數(shù)求和法將Z變換展開成級數(shù)形式：,例 求單位階躍函數(shù)1(t)的Z變換，因1(t)在所有采樣時(shí)刻上的采樣值均為1： 1(nT)=1 n=1，2， 則 1(z)=1+z1+z2+zn+ 若|z|1，則,例 求指數(shù)衰減函數(shù)eat(a0)的Z變換。Z e

17、at=1+eatz1+e2atz2+enatzn+若|eatz|1，則Zeat=,2. 部分分式法若連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)的拉氏變換F(s)為,則,例 設(shè),則,3. 留數(shù)計(jì)算法若F(s)及全部極點(diǎn)si(i=1，2，n)為已知，則,例 求Z變換，已知,1.5.2 Z變換的性質(zhì)設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)，f1(t)，f2(t)的Z變換分別為F(z)，F(xiàn)1(z)，F(xiàn)2(z)，a為常數(shù)。1. 線性定理Z af(t)=aF(z)Zf1(t)+f2(t)=F1(z)+F2(z)2. 初值定理設(shè)存在，則初值,3. 終值定理設(shè)F(z)不含z=1的二重以上極點(diǎn)，且在Z平面單位圓外無極點(diǎn)，則f(t)的終值為,4. 延遲

18、定理 設(shè)t0時(shí)f(t)0，且具有Z變換，則 Zf(tkT)=zkF(z) 表明f(t)在時(shí)間上延遲k個(gè)采樣周期kT時(shí)，相應(yīng)Z變換具有用 zk表示的k步延遲。zk稱為延遲算子，表示在時(shí)間上呈現(xiàn)kT滯后的時(shí)滯特性，如圖2-2所示。,圖2-2 zk功能,1.5.3 Z反變換Z反變換是Z變換的逆運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果由象函數(shù)F(z)求得原函數(shù)f(t)或f*(t)。有3種方法可用于求Z反變換：長除法、部分分式法和留數(shù)計(jì)算法。1. 長除法設(shè)F(z)=f(0)+f(T)z1+f(2T)z2+f(nT)zn+則,解題中將F(z)寫成分式形式，且M(z)和N(z)均表示成z1的升冪形式。例 求的Z反變換。解 因?yàn)?所以

19、,2. 部分分式法將F(z)展開成,則,式中，Z1是Z的Z反變換。,3. 留數(shù)計(jì)算法已知F(z)，有,式中，f(nT)是F(z)的留數(shù)和，則,1.6 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性可以應(yīng)用的系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的，神經(jīng)控制系統(tǒng)也不例外。2.6.1 非線性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題設(shè)非線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程為,式中，x是系統(tǒng)的狀態(tài)變量，f()是狀態(tài)函數(shù)，xe是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。即當(dāng)且僅當(dāng)tt0，有x(t)=x(t0)=xe時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定平衡。因而在穩(wěn)定平衡狀態(tài)下，對于所有的tt0，都有,如果對于任意給定的實(shí)數(shù)0，都存在一個(gè)實(shí)數(shù)(，t0)0，使下列不等式成立：x(t0)xe(，t0)式中，x(t0)是x(t)的初始狀

20、態(tài)，設(shè)其用x0表示：x0=x(t0)若從x0出發(fā)的軌跡線x(t)，對所有的tt0，都有x(t)xe，則稱xe=0為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。若(，t0)與初始時(shí)刻t0無關(guān)，(，t0)可用()表示，則稱xe=0為一致穩(wěn)定。上面各式中的范數(shù)均為歐氏范數(shù)。,1.6.2 李雅普諾夫意義下的漸進(jìn)穩(wěn)定1. 漸進(jìn)穩(wěn)定對于給定的兩個(gè)實(shí)數(shù)0和0，相應(yīng)存在一個(gè)實(shí)數(shù)T(，t0)0，使下列不等式成立：x0 xe式中，x0是xt的任意初始狀態(tài)。若從x0出發(fā)的軌跡線x(t)，對所有的tt0+T(，t0)，都有x(t)xe成立，則稱xe=0是李雅普諾夫意義下的漸進(jìn)穩(wěn)定。,2. 大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定漸進(jìn)穩(wěn)定是系統(tǒng)的一種局部穩(wěn)定概念，

21、工程中的系統(tǒng)都要求有李雅普諾夫意義下的漸進(jìn)穩(wěn)定。如果狀態(tài)空間中的初始狀態(tài)x0是該空間中的任何從x(t0)出發(fā)的狀態(tài)軌線x(t)，都有xe，則稱xe=0是李雅普諾夫意義下的大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定或全局漸進(jìn)穩(wěn)定。,3. 不穩(wěn)定對于任意實(shí)數(shù)0，存在一個(gè)實(shí)數(shù)0，無論取值如何小，在滿足x0 xe的所有初始狀態(tài)中，至少存在一個(gè)初始狀態(tài)x0，從x(t0)出發(fā)的狀態(tài)軌線x(t)不滿足xxe時(shí)，則稱xe=0是李雅普諾夫意義下的不穩(wěn)定。以圖2-3所示二維不穩(wěn)定情況為例，無論s()取多小，無論s()取多大，總存在一個(gè)初始狀態(tài)x0，由此出發(fā)的軌跡線x(t)將永遠(yuǎn)回不到s()內(nèi)部來。,圖2-3 二維不穩(wěn)定,1.6.3 李雅普諾

22、夫第二法李雅普諾夫(.)在1892年發(fā)表了運(yùn)動穩(wěn)定性一般問題一文，文中提出了分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的兩種方法，分別為第一法和第二法。李雅普諾夫第一法先求微分方程的解，再分析穩(wěn)定性，又稱為間接法。李雅普諾夫第二法不通過微分方程求解，直接通過構(gòu)造能量函數(shù)，判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，又稱為直接法。對于非線性時(shí)變系統(tǒng)而言，求解微分方程是困難的，因此第二法廣泛用于非線性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中。,1. 李雅普諾夫第二法的判斷過程(1) 構(gòu)造與系統(tǒng)狀態(tài)x有關(guān)的標(biāo)量函數(shù)V(x，t)，V(x，t)稱為李雅普諾夫能量函數(shù)或李雅普諾夫函數(shù)；(2) 研究V(x，t)及其狀態(tài)軌線隨時(shí)間變化率(x, t)的定號性，由 (x, t)的符號

23、判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。,2. 穩(wěn)定性判斷定理設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為f(x)在xe=0的某個(gè)鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)V(x)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足以下條件：(1) V(x)為正定標(biāo)量函數(shù)：當(dāng)x0時(shí)，有V(x)0；當(dāng)x=0時(shí)，有V(x)=0。(2) (x)為負(fù)半定標(biāo)量函數(shù)：當(dāng)x0時(shí)，有 (x)；當(dāng)x=0時(shí)，有 (x)。,(3) 除平衡狀態(tài)x=xe=0外，還存在點(diǎn)使 (x)，但不會在整條軌線上都有 (x)，則系統(tǒng)xe=0是一致漸進(jìn)穩(wěn)定。(4) 若x時(shí)有V(x)，則系統(tǒng)xe=0為一致大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。例 非線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為,判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 解 (1) 取,(2) (3) 要求 (x)負(fù)定，則有,T,(4) 待定系數(shù): a21=a12 (5) 計(jì)算旋度，得,(6) 由V(x)表達(dá)式知：當(dāng)x0時(shí)，有V(x)0且 (x)0。故xe=0是一致漸進(jìn)穩(wěn)定。又x時(shí)有V(x)，故xe=0為一致大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。例 系統(tǒng)狀態(tài)方程為,其中a為非零正實(shí)數(shù)，判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 解 選取V(x)=x21+x22，則當(dāng)x0時(shí)，有V(x)0，當(dāng)x=0時(shí)，有V(x)=0且。將狀態(tài)方程代入，有,可見：(1) x2=0及x1任意時(shí)，有(x)；(2) x20及x1任意時(shí)，有 (x)。將(1)、(2)合在一起，有 (x)，在整條軌線上不會有 (x)恒為0。令 =0，求得系統(tǒng)平衡狀態(tài)為xe