1、第五章 微擾理論,返回,（一）近似方法的重要性,前幾章介紹了量子力學(xué)的基本理論，使用這些理論解決了一些簡單問題。如： （1）一維無限深勢阱問題； （2）線性諧振子問題； （3）勢壘貫穿問題； （4）氫原子問題。 這些問題都給出了問題的精確解析解。 然而，對于大量的實際物理問題，Schrodinger 方程能有精確解的情況很少。通常體系的 Hamilton 量是比較復(fù)雜的，往往不能精確求解。因此，在處理復(fù)雜的實際問題時，量子力學(xué)求問題近似解的方法（簡稱近似方法）就顯得特別重要。,5.0 引 言,返回,（二）近似方法的出發(fā)點,近似方法通常是從簡單問題的精確解（解析解）出發(fā)，來求較復(fù)雜問題的近似（解

2、析）解。,（三）近似解問題分為兩類,（1）體系 Hamilton 量不是時間的顯函數(shù)定態(tài)問題,1.定態(tài)微擾論； 2.變分法。,（2）體系 Hamilton 量顯含時間狀態(tài)之間的躍遷問題,1.與時間 t 有關(guān)的微擾理論； 2.常微擾。,5.1 非簡并定態(tài)微擾理論,返回,微擾法不是量子力學(xué)所特有的方法，在處理天體運行的天體物理學(xué)中，計算行星運行軌道時，就是使用微擾方法。計算中需要考慮其他行星影響的二級效應(yīng)。 例如，地球受萬有引力作用繞太陽轉(zhuǎn)動，可是由于其它行星的影響，其軌道需要予以修正。在這種情況下，計算所使用的方法是：首先把太陽和地球作為二體系統(tǒng)，求出其軌道，然后研究這個軌道受其它行星的影響而發(fā)

3、生的變化。,可精確求解的體系叫做未微擾體系，待求解的體系叫做微擾體系。假設(shè)體系 Hamilton 量不顯含時間，而且可分為兩部分：,（一）微擾體系方程,H(0) 所描寫的體系是可以精確求解的，其本征值 E n (0) ，本征矢 |n(0) 滿足如下本征方程：,另一部分 H是很小的（很小的物理意義將在下面討論）可以看作加于 H(0) 上的微小擾動?，F(xiàn)在的問題是如何求解微擾后 Hamilton 量 H 的本征值和本征矢，即如何求解整個體系的 Schrodinger 方程：,當(dāng)H = 0 時， |n = |n (0) , En = E n (0) ；,當(dāng) H 0 時，引入微擾，使體系能級發(fā)生移動，由

4、 E n (0) En ，狀態(tài)由 |n (0) |n 。,為了明顯表示出微擾的微小程度，將其寫為：,其中是很小的實數(shù)，表征微擾程度的參量。,因為 En 、 |n 都與微擾有關(guān)，可以把它們看成是的函數(shù)而將其展開成的冪級數(shù)：,其中E n (0), E n (1), 2 E n (1), . 分別是能量的 0 級近似，能量的一級修正和二級修正等；,而|n (0), |n (1), 2 |n (2), . 分別是狀態(tài)矢量 0 級近似，一級修正和二級修正等。,代入Schrodinger方程得：,乘開得：,根據(jù)等式兩邊同冪次的系數(shù)應(yīng)該相等，可得到如下一系列方程式:,整理后得：,上面的第一式就是H(0)的本

5、征方程，第二、三式分別是|n (1) 和|n (2)所滿足的方程，由此可解得能量和態(tài)矢的第一、二級修正。,現(xiàn)在我們借助于未微擾體系的態(tài)矢|n (0)和本征能量 E n (0)來導(dǎo)出擾動后的態(tài)矢|n 和能量 En 的表達(dá)式。,(1)能量一級修正 E n (1),根據(jù)力學(xué)量本征矢的完備性假定， H(0)的本征矢|n (0)是完備的，任何態(tài)矢量都可按其展開，|n (1) 也不例外。因此我們可以將態(tài)矢的一級修正展開為：,akn(1) = ,代回前面的第二式并計及第一式得：,左乘 m (0) |,（二）態(tài)矢和能量的一級修正,考慮到本征基矢的正交歸一性：,考慮兩種情況,1. m = n,2. m n,準(zhǔn)確

6、到一階微擾的體系能量：,其中能量的一級修正等于微擾 Hamilton 量在 0 級態(tài)矢中的平均值,（2）態(tài)矢的一級修正 |n(1),為了求出體系態(tài)矢的一級修正，我們先利用擾動態(tài)矢|n 的歸一化條件證明上式展開系數(shù)中an n(1)= 0 （可以取為 0 ）。,基于|n 的歸一化條件并考慮上面的展開式，,證：,由于 歸一， 所以,an n (1) 的實部為 0。an n (1) 是一個純虛數(shù)，故可令 an n (1) = i （ 為實）。,上式結(jié)果表明，展開式中，an n(1) |n (0) 項的存在只不過是使整個態(tài)矢量|n 增加了一個相因子，這是無關(guān)緊要的。所以我們可取 = 0，即 an n(1

7、) = 0。這樣一來，態(tài)矢的一級近似為：,與求態(tài)矢的一階修正一樣，將|n (2) 按 |n (0) 展開：,與|n (1) 展開式一起代入 關(guān)于 2 的第三式,（三）能量的二階修正,左乘態(tài)矢 m (0) |,1. 當(dāng) m = n 時,在推導(dǎo)中使用了微擾矩陣的厄密性,正交歸一性,2. 當(dāng) m n 時,能量的二級修正,在計及二階修正后，擾動體系能量本征值由下式給出：,總結(jié)上述， 在非簡并情況下，受擾動體系的能量和態(tài)矢量分別由下式給出：,欲使二式有意義，則要求二級數(shù)收斂。由于不知道級數(shù)的一般項，無法判斷級數(shù)的收斂性，我們只能要求級數(shù)已知項中，后項遠(yuǎn)小于前項。由此我們得到微擾理論適用條件是：,這就是本

8、節(jié)開始時提到的關(guān)于 H 很小的明確表示式。當(dāng)這一條件被滿足時，由上式計算得到的一級修正通?？山o出相當(dāng)精確的結(jié)果。,（四）微擾理論適用條件,微擾適用條件表明：,（2）|En(0) Ek(0)| 要大，即能級間距要寬。,例如：在庫侖場中，體系能量（能級）與量子數(shù)n2成反比，即 En = - Z2 e2 /2 2 n2 ( n = 1, 2, 3, .) 由上式可見，當(dāng)n大時，能級間距變小，因此微擾理論不適用于計算高能級（n大）的修正，而只適用于計算低能級（n?。┑男拚?。,（1）|Hkn| = | | 要小，即微擾矩陣元要小；,表明擾動態(tài)矢|n可以看成是未擾動態(tài)矢|k(0)的線性疊加。,（2）展開系

9、數(shù) Hk n /(E n (0) - E k (0) 表明第k個未擾動態(tài)矢|k(0)對第n個擾動態(tài)矢|n 的貢獻(xiàn)有多大。展開系數(shù)反比于擾動前狀態(tài)間的能量間隔，所以能量最接近的態(tài)|k(0) 混合的也越強(qiáng)。因此態(tài)矢一階修正無須計算無限多項。,（3）由En = E n (0) + Hn n可知，擾動后體系能量是由擾動前第n態(tài)能量E n (0)加上微擾Hamilton量 H在未微擾態(tài)|n(0)中的平均值組成。該值可能是正或負(fù)，引起原來能級上移或下移。,（4）對滿足適用條件,微擾的問題，通常只求一階微擾其精度就足夠了。如果一級能量修正Hn n = 0 就需要求二級修正，態(tài)矢求到一級修正即可。,（5）在推

10、導(dǎo)微擾理論的過程中，我們引入了小量，令： H = H(1)只是為了便于將擾動后的定態(tài)Schrodinger方程能夠按的冪次分出各階修正態(tài)矢所滿足的方程，僅此而已。一旦得到了各階方程后，就可不用再明顯寫出，把H (1) 理解為H 即可，因此在以后討論中，就不再明確寫出這一小量。,（1）在一階近似下：,（五）討論,例1.一電荷為 e 的線性諧振子，受恒定弱電場作用。電場沿 x 正向，用微擾法求體系的定態(tài)能量和波函數(shù)。,解：,（1）電諧振子Hamilton 量,將 Hamilton 量分成H0 + H 兩部分，在弱電場下，上式最后一項很小，可看成微擾。,（2）寫出 H0 的本征值和本征函數(shù) E(0)

11、, n(0),（3）計算 En(1),上式積分等于 0 是因為被積函數(shù)為奇函數(shù)所致。,（六）實例,（4）計算能量 二級修正,欲計算能量二級修正， 首先應(yīng)計算 Hk n 矩陣元。,利用線性諧振子本征函數(shù)的遞推公式：,對諧振子有； En(0) - En-1(0) = , En(0) - En+1(0) = - ，,由此式可知，能級移動與 n 無關(guān)，即與擾動前振子的狀態(tài)無關(guān)。,（6）討論：,1.電諧振子問題亦可在粒子數(shù)表象中求解微擾矩陣元,計算二級修正：,代入能量二級修正公式：,2. 電諧振子的精確解,實際上這個問題是可以精確求解的，只要我們將體系Hamilton量作以下整理：,其中x = x e/

12、2 ，可見，體系仍是一個線性諧振子。它的每一個能級都比無電場時的線性諧振子的相應(yīng)能級低e22 / 22 ，而平衡點向右移動了e/2 距離。,由于勢場不再具有空間反射對稱性，所以波函數(shù)沒有確定的宇稱。這一點可以從下式擾動后的波函數(shù)n已變成n(0), n+1(0), n-1(0) 的疊加看出。,例2. 設(shè)Hamilton量的矩陣形式為：,（1）設(shè)c 1，應(yīng)用微擾論求H本征值到二級近似； （2）求H 的精確本征值； （3）在怎樣條件下，上面二結(jié)果一致。,解：,（1）c 1，可取 0 級和微擾 Hamilton 量分別為：,H0 是對角矩陣，是Hamilton H0在自身表象中的形式。所以能量的 0

13、級近似為：,E1(0) = 1 E2(0) = 3 E3(0) = - 2,由非簡并微擾公式,得能量一級修正：,能量二級修正為：,準(zhǔn)確到二級近似的能量本征值為：,設(shè) H 的本征值是 E，由久期方程可解得：,解得：,(3) 將準(zhǔn)確解按 c ( 1)展開：,比較（1）和（2）之解，可知，微擾論二級近似結(jié)果與精確解展開式不計c4及以后高階項的結(jié)果相同。,(2)精確解：,5.2 簡并情況下的微擾理論,（一）簡并微擾理論 （二）實例 （三）討論,返回,假設(shè)En(0)是簡并的，那末屬于 H(0)的本征值 En(0) 有 k 個歸一化本征函數(shù)：| n1 , | n 2 , ., | n k =,滿足本征方程

14、：,于是我們就不知道在k個本征函數(shù)中究竟應(yīng)取哪一個作為微擾波函數(shù)的 0 級近似。所以在簡并情況下，首先要解決的問題是如何選取 0 級近似波函數(shù)的問題，然后才是求能量和波函數(shù)的各級修正。,0 級近似波函數(shù)肯定應(yīng)從這k個| n 中挑選，而它應(yīng)滿足上節(jié)按冪次分類得到的方程：,共軛方程,（一）簡并微擾理論,根據(jù)這個條件，我們選取 0 級近似波函數(shù)|n(0)的最好方法是將其表示成 k 個| n 的線性組合，因為反正 0 級近似波函數(shù)要在| n ( =1, 2, ., k )中挑選。,|n(0) 已是正交歸一化,系數(shù) c 由 一 次冪方 程定出,左乘 n | 得：,得：,上式是以展開系數(shù)c為未知數(shù)的齊次線

15、性方程組，它有不含為零解的條件是系數(shù)行列式為零，即,解此久期方程 可得能量的一級修正En(1)的k個根：En(1), = 1, 2, ., k. 因為 En = En(0) + E(1)n 所以， 若這k個根都不相等，那末一級微擾就可以將 k 度簡并完全消除； 若En (1)有幾個重根，則表明簡并只是部分消除， 必須進(jìn)一步考慮二級修正才有可能使能級完全分裂開來。,為了確定能量 En 所對應(yīng)的0級近似波函數(shù)，可以把 E(1)n 之值代入線性方程組從而解得一組c ( = 1,2,.,k.)系數(shù)，將該組系數(shù)代回展開式就能夠得到相應(yīng)的 0 級近似波函數(shù)。,為了能表示出 c 是對應(yīng)與第 個能量一級修正

16、En (1) 的一組系數(shù)，我們在其上加上角標(biāo) 而改寫成 c 。這樣一來，線性方程組就改寫成：,例1. 氫原子一級 Stark 效應(yīng),（1）Stark 效應(yīng),氫原子在外電場作用下產(chǎn)生譜線分裂現(xiàn)象稱為 Stark 效應(yīng)。,我們知道電子在氫原子中受到球?qū)ΨQ庫侖場作用，造成第n 個能級有 n2 度簡并。但是當(dāng)加入外電場后，由于勢場對稱性受到破壞，能級發(fā)生分裂，簡并部分被消除。Stark 效應(yīng)可以用簡并情況下的微擾理論予以解釋。,（2）外電場下氫原子 Hamilton 量,取外電場沿 z 正向。通常外電場強(qiáng)度比原子內(nèi)部電場強(qiáng)度小得多，例如, 強(qiáng)電場 107 伏/米， 而 原子內(nèi)部電場 1011 伏/米，

17、二者相差 4個量級。 所以我們可以把外電場的影響作為微擾處理。,（二）實例,（3） H0 的本征值和本征函數(shù),下面我們只討論 n = 2 的情況，這時簡并度 n2 = 4。,屬于該能級的4個簡并態(tài)是：,（4）求 H 在各態(tài)中的矩陣元,由簡并微擾理論知,求解久期方程,須先計算出微擾Hamilton 量 H 在以上各態(tài)的矩陣元。,我們碰到角積分 需要利用如下公式：,于是:,欲使上式不為 0，由球諧函數(shù)正交歸一性 要求量子數(shù)必須滿足如下條件：,僅當(dāng) = 1, m = 0 時， H 的矩陣元才 不為 0。因此 矩陣元中只有 H12, H21 不等于0。,因為,所以,（5）能量一級修正,將 H 的矩陣元

18、代入久期方程：,解得 4 個根：,由此可見，在外場作用下，原來 4 度簡并的能級 E2(0)在一級修正下，被分裂成 3 條能級，簡并部分消除。當(dāng)躍遷發(fā)生時，原來的一條譜線就變成了 3 條譜線。其頻率一條與原來相同，另外兩條中一條稍高于一條稍低于原來頻率。,（6）求 0 級近似波函數(shù),分別將 E2(1) 的 4 個值代入方程組：,得 四 元一次線性方程組,E2(1) = E21 (1) = 3ea0 代入上面方程，得：,所以相應(yīng)于能級 E2(0) + 3ea0 的 0 級近似波函數(shù)是：,E2(1) = E22(1) = - 3ea0 代入上面方程，得：,所以相應(yīng)于能級 E(0)2 - 3ea0 的 0 級近似波函數(shù)是：,E2(1) = E23(1) = E24(1) = 0 ，代入上面方程，得：,因此相應(yīng)與 E2(0) 的 0 級近似波函數(shù)可以按如下方式構(gòu)成：,我們不妨仍取原來的0級波函數(shù)，即令：,（7）討論,上述結(jié)果表明，若氫原子處于 0 級近似態(tài) 1(0), 2(0), 3(0), 4(0), 那末，氫原子就好象具有了大小為 3ea0 的永久電偶極矩一般。對于處在1(0), 2(0)態(tài)的氫原子，其電矩取向分別與電場方向平行和反平行；而對于處在3(0), 4(0)態(tài)的氫原子，其電矩取向分別與電場方向垂直。,例2.有一粒