1、八年級(jí)下冊(cè),18.2.3.1 正方形的性質(zhì),理解正方形的概念.探索并證明正方形的性質(zhì)，并了解平行四邊 形、 矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別.,會(huì)應(yīng)用正方形的性質(zhì)解決相關(guān)證明及計(jì)算問題.,1,2,觀察下面圖形,正方形是我們熟悉的幾何圖形，在生活中無處不在.,你還能舉出其他的例子嗎？,探究點(diǎn)一：正方形的性質(zhì),矩 形,問題1：矩形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么發(fā)現(xiàn)？,正方形,問題2 菱形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么 發(fā)現(xiàn)？,正方形,鄰邊相等,矩形,正方形,菱 形,一個(gè)角是直角,正方形,正方形定義：,有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫正方形.,歸納總結(jié),已知：如圖,四邊形ABCD是正

2、方形.求證：正方形ABCD四邊相等,四個(gè)角都是直角.,A,B,C,D,證明：四邊形ABCD是正方形. A=90, AB=AC （正方形的定義）. 又正方形是平行四邊形. 正方形是矩形（矩形的定義）, 正方形是菱形(菱形的定義). A=B =C =D = 90, AB= BC=CD=AD.,證一證,已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O. 求證：AO=BO=CO=DO,ACBD.,A,B,C,D,O,證明：正方形ABCD是矩形, AO=BO=CO=DO. 正方形ABCD是菱形. ACBD.,思考 請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的正方形紙片,折一折,觀察并思考.正方形是不是軸對(duì)稱圖形?

3、如果是,那么對(duì)稱軸有幾條?,對(duì)稱性： . 對(duì)稱軸：.,軸對(duì)稱圖形,4條,A,B,C,D,矩形,菱形,正 方 形,平行四邊形,正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質(zhì),正方形都有.,平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關(guān)系：,性質(zhì)：1.正方形的四個(gè)角都是直角,四條邊相等. 2.正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分.,歸納總結(jié),例1 求證: 正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.,已知: 如圖,四邊形ABCD是正方形,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.,求證: ABO、BCO、CDO、DAO是全等的等腰直角三角形.,證明: 四邊形ABCD是正方形,

4、 AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO. ABO、 BCO、 CDO、 DAO都是等腰直角三角形, 并且ABO BCO CDO DAO.,例2 如圖，在正方形ABCD中， BEC是等邊三角形， 求證： EADEDA15 .,證明： BEC是等邊三角形， BE=CE=BC,EBC=ECB=60， 四邊形ABCD是正方形， AB=BC=CD,ABC=DCB=90， AB=BE=CE=CD, ABE= DCE=30， ABE，DCE是等腰三角形， BAE= BEA= CDE= CED=75， EAD= EDA=90-75=15.,1.四邊形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一邊作等邊ADE

5、，求BEC的大小,解：當(dāng)?shù)冗匒DE在正方形ABCD外部時(shí)， 如圖，ABAE，BAE9060150. AEB15. 同理可得DEC15. BEC60151530；,當(dāng)?shù)冗匒DE在正方形ABCD內(nèi)部時(shí)，如圖， ABAE，BAE906030， AEB75. 同理可得DEC75. BEC360757560150. 綜上所述，BEC的大小為30或150.,易錯(cuò)提醒：因?yàn)榈冗匒DE與正方形ABCD有一條公共邊，所以邊相等本題分兩種情況：等邊ADE在正方形的外部或在正方形的內(nèi)部,2.如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P滿足AP=AB，PB=PC，連接AC、PD （1）求證：APBDPC；,解：四邊形ABCD是正

6、方形， ABC=DCB=90 PB=PC， PBC=PCB ABC-PBC=DCB-PCB， 即ABP=DCP 又AB=DC，PB=PC， APBDPC,證明：四邊形ABCD是正方形， BAC=DAC=45 APBDPC，AP=DP 又AP=AB=AD，DP=AP=AD APD是等邊三角形 DAP=60 PAC=DAP-DAC=15 BAP=BAC-PAC=30 BAP=2PAC,（2）求證：BAP=2PAC,例3 如圖，在正方形ABCD中，P為BD上一點(diǎn)，PEBC于E， PFDC于F.試說明：AP=EF.,解:,連接PC，AC.,又PEBC ， PFDC,四邊形ABCD是正方形,FCE=90

7、, AC垂直平分BD,四邊形PECF是矩形,PC=EF.,AP=PC.,AP=EF.,歸納：在正方形的條件下證明兩條線段相等：通常連接對(duì)角線構(gòu)造垂直平分的模型，利用垂直平分線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，等腰三角形等來說明.,1.正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是 ( ) A.四個(gè)角相等 B.對(duì)角線互相垂直平分 C.對(duì)角互補(bǔ) D.對(duì)角線相等,2.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)（ ） A.四條邊相等 B.對(duì)角線互相垂直平分 C.對(duì)角線平分一組對(duì)角 D.對(duì)角線相等,B,D,3.如圖，四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AO2， 求正方形的周長(zhǎng)與面積,解：四邊形ABCD是正方形， ACBD，

8、OAOD2. 在RtAOD中，由勾股定理，得 正方形的周長(zhǎng)為4AD ， 面積為AD28.,2.一個(gè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2cm，則它的面積是 （） A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2,A,1.平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的是（） A對(duì)角線互相平分 B對(duì)角線互相垂直 C對(duì)角線相等 D對(duì)角線互相垂直且相等,A,22.5,3在正方形ABC中,ADB= ,DAC= , BOC= .,45,90,22.5,45,4.在正方形ABCD中，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且AE=AB，則EBC的度數(shù)是 .,本節(jié)課都學(xué)到了什么？,1.四個(gè)角都是直角,2.四條邊都相等,3.對(duì)角線相等且互相垂直平分

9、,正方形的性質(zhì),性質(zhì),定義,有一組鄰相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.,1.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，AC為對(duì)角線，AE平分BAC，EFAC，求BE的長(zhǎng),解：四邊形ABCD為正方形， B90，ACB45，ABBC1cm. EFAC，EFAEFC90. 又ECF45， EFC是等腰直角三角形，EFFC. BAEFAE，BEFA90，AEAE， ABEAFE， ABAF1cm，BEEF. FCBE.,個(gè)性化作業(yè),在RtABC中， FCACAF( 1)cm， BE( 1)cm,2. 如圖在正方形ABCD中,E為CD上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CE=CF. BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由.,解：BE=DF,且BEDF.理由如下： 四邊形ABCD是正方形. BC=DC,BCE =90 . DCF=180-BCE=90. BCE=DCF. 又CE=CF. BCEDCF. BE=