1、第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型,本章主要內(nèi)容: 2.I 2.2 2.3 2.4 2.5,物理系統(tǒng)的數(shù)學模型 非線性數(shù)學模型的線性化 拉氏變換及其反變換 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 系統(tǒng)方框圖和信號流圖,Part 2.1 物理系統(tǒng)的數(shù)學模型,Part 2.1.1 數(shù)學模型的定義,系統(tǒng)示意圖,系統(tǒng)框圖,Remember 恒溫箱自動控制系統(tǒng)?,Part 2.1.1 數(shù)學模型的定義,系統(tǒng)框圖,t u2 u ua n v u t,由若干個元件相互配合起來就構(gòu)成一個完整的控制系統(tǒng)。,系統(tǒng)是否能正常地工作，取決各個物理量之間相互作用與相互制約的關系。,物理量的變換， 物理量之間的相互關系 信號傳遞體現(xiàn)為能量傳遞（放大

2、、轉(zhuǎn)化、儲存） 由動態(tài)到最后的平衡狀態(tài)-穩(wěn)定運動,Part 2.1.1 數(shù)學模型的定義,數(shù)學模型： 描述系統(tǒng)變量間相互關系的動態(tài)性能的運動方程,解析法 依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學規(guī)律列寫出相應的數(shù)學關系式，建立模型。 實驗法 人為地對系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應，并用適當?shù)臄?shù)學模型進行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識。,建立數(shù)學模型的方法：,數(shù)學模型的形式,時間域：微分方程 差分方程 狀態(tài)方程 復數(shù)域：傳遞函數(shù) 結(jié)構(gòu)圖 頻率域：頻率特性,數(shù)學模型的準確性和簡化,Part 2.1.2 建立數(shù)學模型的基礎,機械運動： 牛頓定理、能量守恒定理 電學： 歐姆定理、基爾霍夫定律 熱學

3、： 傳熱定理、熱平衡定律,微分方程 （連續(xù)系統(tǒng)）,差分方程 （離散系統(tǒng)）,線性與非線性 分布性與集中性 參數(shù)時變性,機械運動系統(tǒng)的三要素,機械運動的實質(zhì)： 牛頓定理、能量守恒定理,阻尼 B,質(zhì)量 M,彈簧 K,Part 2.1.3 提取數(shù)學模型的步驟,劃分環(huán)節(jié) 寫出每或一環(huán)節(jié)(元件) 運動方程式 消去中間變量 寫成標準形式,由運動方程式 （一個或幾個元件的獨立運動方程）,劃分環(huán)節(jié),按功能（測量、放大、執(zhí)行）,寫出每或一環(huán)節(jié)(元件) 運動方程式,找出聯(lián)系輸出量與輸入量的內(nèi)部關系，并確定反映這種內(nèi)在聯(lián)系的物理規(guī)律。 數(shù)學上的簡化處理，（如非線性函數(shù)的線性化，考慮忽略一些次要因素）。,寫成標準形式,

4、例如微分方程中， 將與輸入量有關的各項寫在方程的右邊；與輸出量有關的各項寫在方程的左邊。方程兩邊各導數(shù)項均按降冪排列。,Part 2.2 非線性數(shù)學模型的線性化,2.2.1 常見非線性模型,數(shù)學物理方程中的線性方程： 未知函數(shù)項或未知函數(shù)的（偏）導數(shù)項系數(shù)依賴 于自變量,針對時間變量的常微分方程： 線性方程指滿足疊加原理,疊加原理： 可加性 齊次性,不滿足以上條件的方程，就成為非線性方程。,有條件存在，只在一定的工作范圍內(nèi)具有線性特性； 非線性系統(tǒng)的分析和綜合是非常復雜的。,2.2.2 線性化問題的提出,可以應用疊加原理，以及應用線性理論對系統(tǒng)進行分析和設計。,線性系統(tǒng)缺點：,線性系統(tǒng)優(yōu)點：,

5、2.2.3 線性化方法,以微小偏差法為基礎，運動方程中各變量就不是它們的絕對值，而是它們對額定工作點的偏差。,增量 （微小偏差法）,假設： 在控制系統(tǒng)整個調(diào)節(jié)過程中，所有變量與穩(wěn)態(tài)值之間只會產(chǎn)生足夠微小的偏差。,非線性方程 局部線性增量方程,增量方程,增量方程的數(shù)學含義 將參考坐標的原點移到系統(tǒng)或元件的平衡工作點上，對于實際系統(tǒng)就是以正常工作狀態(tài)為研究系統(tǒng)運動的起始點，這時，系統(tǒng)所有的初始條件均為零。,注：導數(shù)根據(jù)其定義是一線性映射，滿足疊加原理。,多變量函數(shù)泰勒級數(shù)法,單變量函數(shù)泰勒級數(shù)法,函數(shù)y=f(x)在其平衡點（x0, y0）附近的泰勒級數(shù)展開式為：,略去含有高于一次的增量x=x-x0

6、的項，則：,注：非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。 注：y = f (x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程,Part 2.3 拉氏變換及其反變換,Part 2.3.1 拉氏變換的定義,設函數(shù)f(t)滿足： 1f(t)實函數(shù)； 2當t0時 ， f(t)=0； 3當t0時，f(t)的積分 在s的某一域內(nèi)收斂,拉氏反變換的定義,其中L1為拉氏反變換的符號。,高等函數(shù)初等函數(shù),指數(shù)函數(shù) 三角函數(shù) 單位脈沖函數(shù) 單位階躍函數(shù) 單位速度函數(shù) 單位加速度函數(shù) 冪函數(shù),Part 2.3.2.1 拉氏變換的計算,Part 2.3.2.3 拉氏變換的主要運算定理,線性定理 微分定理 積分定理 位移定理 延時定理 卷積定理

7、 初值定理 終值定理,條件： 分母多項式能分解成因式,Part 2.3.2.2 拉氏反變換方法,部分分式法的求取拉氏反變換,將微分方程通過拉氏變換變?yōu)?s 的代數(shù)方程；,解代數(shù)方程，得到有關變量的拉氏變換表達式；,應用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。,Part 2.3.3 拉氏變換求解線性微分方程,應用拉氏變換法求解微分方程時，由于初始條件已自動地包含在微分方程的拉氏變換式中，因此，不需要根據(jù)初始條件求積分常數(shù)的值就可得到微分方程的全解。,如果所有的初始條件為零，微分方程的拉氏變換可以簡單 地用sn代替dn/dtn得到。,Part 2.4 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù),在零初始條件( )下，線性定常

8、系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。,Part 2.4.1 傳遞函數(shù)的定義,輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即t 0 時，輸出量及其各階導數(shù)也均為0,初始條件為零時 微分方程拉氏變換,系統(tǒng)的傳遞函數(shù),系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式,N(s)=0 系統(tǒng)的特征方程，特征根 特征方程決定著系統(tǒng)的動態(tài)特性。 N(s)中s的最高階次等于系統(tǒng)的階次。,！從微分方程的角度看，此時相當于所有的導數(shù)項都為零。K 系統(tǒng)處于靜態(tài)時，輸出與輸入的比值。,特征方程,M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根 s=zi(i=1, 2, , m)，稱為傳遞函數(shù)的零點。,N(s)=a

9、0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根 s=pj(j=1, 2, , n)，稱為傳遞函數(shù)的極點。,！系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點就是系統(tǒng)的特征根。 ！零點和極點的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。,零點和極點,傳遞函數(shù)的零、極點分布圖： 將傳遞函數(shù)的零、極點表示在復平面上的圖形。 零點用“O”表示 極點用“”表示,零、極點分布圖,g(t)稱為系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)（權(quán)函數(shù)）,單位脈沖響應,傳遞函數(shù)是復數(shù)s域中的系統(tǒng)數(shù)學模型。其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入形式無關。,傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關系來描述系統(tǒng)的固有特性，即以系統(tǒng)外部的輸入輸出特性來描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性。若輸入給定，

10、則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函數(shù)G(s) 決定。,結(jié)論,適用于線性定常系統(tǒng),傳遞函數(shù)中的各項系數(shù)和相應微分方程中的各項系數(shù)對應相等，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)。,傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運動規(guī)律,無法描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況,只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述,注意,設系統(tǒng)有 b個實零點;d 個實極點; c 對復零點; e對復極點; v個零極點,Part 2.4.2 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程劃分的，不是具體的物理裝置或元件。,一個環(huán)節(jié)往往由幾個元件之間的運動特性共同組成。,同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。,例1：齒輪傳動

11、,例2：晶體管放大器,放大環(huán)節(jié)/比例環(huán)節(jié),!儲能元件 ！輸出落后于輸入量，不立即復現(xiàn)突變的輸入 例1：彈性彈簧 例2：RC慣性環(huán)節(jié),慣性環(huán)節(jié),！記憶,！積分,輸入突然除去 積分停止 輸出維持不變,例1：電容充電,例2：積分運算放大器,積分環(huán)節(jié),如當輸入量為常值 A 時，,輸出量須經(jīng)過時間T才能達到輸入量在t = 0時的值A。,！改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能,！具有明顯的滯后作用,例1：測速發(fā)電機,例2：RC微分網(wǎng)絡,例3：理想微分運放,例4：一階微分運放,微分環(huán)節(jié),不同形式 儲能元件 能量轉(zhuǎn)換 振蕩,例1：機械平移系統(tǒng),例2：RLC串聯(lián)網(wǎng)絡,振蕩環(huán)節(jié),二階微分環(huán)節(jié),運動方程式：,傳遞函數(shù)：,環(huán)節(jié)的時間常

12、數(shù),超越函數(shù)近似處理,例1：水箱進水管的延滯,延滯環(huán)節(jié),Part 2.5 系統(tǒng)方塊圖和信號流圖,2.5.1 2.5.2 2.5.3,方塊圖 系統(tǒng)信號流圖 控制系統(tǒng)傳遞函數(shù),結(jié)構(gòu)方塊圖 由方塊圖求系統(tǒng)傳遞函數(shù) 方塊圖的繪制,Part 2.5.1 方塊圖,2.5.1.1 2.5.1.2 2.5.1.3,2.5.1.1 結(jié)構(gòu)方塊圖,！脫離了物理系統(tǒng)的模型,!系統(tǒng)數(shù)學模型的圖解形式,形象直觀地描述系統(tǒng) 中各元件間的相互關 系及其功能以及信號 在系統(tǒng)中的傳遞、變 換過程。,依據(jù)信號的流向 ，將各 元件的方塊連接起來組 成整 個系統(tǒng)的方塊圖。,函數(shù)方塊圖,任何系統(tǒng)都可以由信號線、函數(shù)方塊、信號引出點及求和

13、點組成的方塊圖來表示。,求和點,函數(shù)方塊,引出線,函數(shù)方塊,信號線,3函數(shù)方塊(環(huán)節(jié)) 函數(shù)方塊具有運算功能,4求和點（比較點、綜合點） 1.用符號“”及相應的信號箭頭表示 2.箭頭前方的“+”或“-”表示加上此信號或減去此信號,! 注意量綱,相鄰求和點可以互換、合并、分解。 代數(shù)運算的交換律、結(jié)合律和分配律。,!求和點可以有多個輸入，但輸出是唯一的,方框圖的等效變換法則,公式直接法,化簡法,代數(shù)法,方塊圖的化簡,方塊圖的運算規(guī)則,串聯(lián)、并聯(lián)、反饋,基于方塊圖的運算規(guī)則,基于比較點的簡化,基于引出點的簡化,2.5.1.2 由方塊圖求系統(tǒng)傳遞函數(shù),幾個環(huán)節(jié)串聯(lián)，總的傳遞函數(shù)等于每個環(huán)節(jié)的傳 遞函

14、數(shù)的乘積。,例：隔離放大器串聯(lián)的RC電路,串聯(lián)運算規(guī)則,同向環(huán)節(jié)并聯(lián)的傳遞函數(shù)等于所有并聯(lián)的環(huán)節(jié)傳遞 函數(shù)之和。,并聯(lián)運算規(guī)則,反饋運算規(guī)則,基于方塊圖的運算規(guī)則,基于比較點的簡化,基于引出點的簡化,把幾個回路共用的線路及環(huán)節(jié)分開，使每一個 局部回路、及主反饋都有自己專用線路和環(huán)節(jié)。 確定系統(tǒng)中的輸入輸出量，把輸入量到輸出量 的一條線路列成方塊圖中的前向通道。 通過比較點和引出點的移動消除交錯回路。 先求出并聯(lián)環(huán)節(jié)和具有局部反饋環(huán)節(jié)的傳遞函 數(shù)，然后求出整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,方塊圖求取傳遞函數(shù)-簡化法,方塊圖化簡,建立系統(tǒng)各元部件的微分方程,明確信號的因果關系 （輸入/輸出）。,對上述微分方程

15、進行拉氏變換，繪制各部件的方框圖。,按照信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程，依次將各部件 的方框圖連接起來，得到系統(tǒng)的方框圖。,2.5.1.3 方塊圖的繪制,2.5.2.1 信號流圖及其術語 2.5.2.2 信號代數(shù)運算法則 2.5.2.3 根據(jù)微分方程繪制信號流圖 2.5.2.4 根據(jù)方框圖繪制信號流圖 2.5.2.5 信號流圖梅遜公式,Part 2.5.2 系統(tǒng)信號流圖,信號流圖起源于梅遜（S. J. MASON）利用圖示法來 描述一個和一組線性代數(shù)方程，是由節(jié)點和支路組成的一 種信號傳遞網(wǎng)絡。,節(jié)點,表示變量或信號，其值等于 所有進入該節(jié)點的信號之和。,支路,連接兩個節(jié)點的定向線段，用 支路增

16、益（傳遞函數(shù)）表示方 程式中兩個變量的因果關系。 支路相當于乘法器。信號在支 路上沿箭頭單向傳遞。,通路,沿支路箭頭方向穿過各相 連支路的路徑。,2.5.2.1 信號流圖及其術語,輸入節(jié)點,只有輸出的節(jié)點，代表系統(tǒng)的輸入變量。,輸出節(jié)點,只有輸入的節(jié)點，代表系統(tǒng)的輸出變量。,混合節(jié)點,既有輸入又有輸出的節(jié)點。若從混合節(jié)點引出 一條具有單位增益的支路，可 點變?yōu)檩敵龉?jié)點。,前向通路,從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的通路上通過任何節(jié)點 不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之 乘積，稱前向通路總增益，一般用pk表示。,回路,起點與終點重合且通過任何節(jié)點不多于一次的 閉合通路?；芈分兴兄吩鲆嬷朔e稱為回

17、路增益，用Lk表示。,不接觸回路,相互間沒有任何公共節(jié)點的回路,X2、X3,X3、X4,X5,2.5.2.2 信號代數(shù)運算法則,2.5.2.3 根據(jù)微分方程繪制信號流圖,只有一條前向通路,三個不同回路,L1、L2不接觸 P1與L1、L2、L3均接觸,2.5.2.4 根據(jù)方框圖繪制信號流圖,方塊圖轉(zhuǎn)換為信號流圖,方塊圖轉(zhuǎn)換為信號流圖,G 系統(tǒng)總傳遞函數(shù),Pk第k條前向通路的傳遞函數(shù)（通路增益）, 流圖特征式,所有不同回路的傳遞函數(shù)之和,每兩個互不接觸回路傳遞函數(shù)乘積之和,每三個互不接觸回路傳遞函數(shù)乘積之和,第k條前向通路特征式的余因子，即對于流圖的特征式，將與第k 條前向通路相接觸的回路傳遞函數(shù)

18、代以零值，余下的即為k。,k,任何m個互不接觸回路傳遞函數(shù)乘積之和,2.5.2.5 信號流圖梅遜公式,2.5.3.1系統(tǒng)傳遞函數(shù) 僅控制量作用下 僅擾動量作用下 控制量和擾動共同作用下 2.5.3.2系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù) 僅擾動量作用下 控制量和擾動共同作用下,Part 2.5.3 控制系統(tǒng)傳遞函數(shù),單獨處理 線性疊加,前向通道：R(s)到C(s)的信號傳遞通路,反饋通道：C(s)到B(s)的信號傳遞通路,系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：反饋回路接通后， 輸 出量與輸入量的比值。,系統(tǒng)對控制量R(s)的閉環(huán)傳遞函數(shù),系統(tǒng)對攏動量N(s)的閉環(huán)傳遞函數(shù),2.5.3.1系統(tǒng)的傳遞函數(shù),系統(tǒng)工作在開環(huán)狀態(tài)， 反饋通路斷開。,系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳 遞函數(shù)的乘積。,(反饋信號B(s)和偏差信號 (s)之間的傳遞函數(shù)),系統(tǒng) 的開環(huán)傳遞數(shù)函數(shù),假設擾動量N(s)=0,控制量R(S)作用,假設R(