1、2.3 數(shù)學(xué)歸納法,高二數(shù)學(xué)組 林占生,課前篇檢查與展示,多米諾骨牌游戲,作業(yè)3,作業(yè)2,作業(yè)1,問(wèn)題 1:,問(wèn)題2：某人看到樹(shù)上烏鴉是黑的，深有感觸地說(shuō)全世界的烏鴉都是黑的。,問(wèn)題情境一,.,我是白的哦！,：由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法,結(jié)論一定可靠,結(jié)論不一定可靠,考察全體對(duì)象,得到一般結(jié)論的推理方法,考察部分對(duì)象,得到一般結(jié)論的推理方法,歸納法分為完全歸納法 和 不完全歸納法,歸納法,思考：歸納法有什么優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)？,優(yōu)點(diǎn)：可以幫助我們從一些具體事 例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律,缺點(diǎn)：僅根據(jù)有限的特殊事例歸納 得到的結(jié)論有時(shí)是不正確的,思考1：與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題能否通過(guò)一一驗(yàn)證的

2、辦法來(lái)加以證明呢？,思考2：如果一個(gè)數(shù)學(xué)命題與正整數(shù)n有關(guān),我們能否找到一種既簡(jiǎn)單又有效的證明方法呢？,對(duì)于由不完全歸納法得到的某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題我們常采用下面的方法來(lái)證明它們的正確性：,（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=1) 時(shí)命題成立; （2）假設(shè)當(dāng)n=k(kN* ,k n0)時(shí)命題成立 證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立. 最后由（1）（2）得出結(jié)論全體自然數(shù)成立,數(shù)學(xué)歸納法,【命題成立的連續(xù)性】,【命題成立的必要性】,這種證明方法叫做 數(shù)學(xué)歸納法,1+3+5+(2n1)=n2 (nN*),證明：,例1：觀察,歸納猜想：,你能得出什么結(jié)論？并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論。,n,n,（

3、1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1,右邊=12=1，,等式成立.,（2）假設(shè)n=k時(shí)等式成立，,即1+3+5+(2k1)=k2 ,則n=k+1時(shí)， 1+3+5+2(k+1)1,= 1+3+5+(2k1)+2(k+1)-1,= k2+2k+1,=(k+1)2.,即n=k+1時(shí)等式也成立.,根據(jù)（1）,（2）知等式對(duì)一切nN*都成立.,135（2n1）,用數(shù)學(xué)歸納法證明,n2,即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。,根據(jù)（1）和（2）可知，等式對(duì)任何都成立。,證明：,135（2k1）+2(k+1)1,那么當(dāng)n=k+1時(shí),（2）假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，等式成立，即,（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊1，右邊1，等式成立。,（假設(shè)）,（利用假

4、設(shè)）,注意：遞推基礎(chǔ)不可少， 歸納假設(shè)要用到， 結(jié)論寫(xiě)明莫忘掉。,（湊結(jié)論）,數(shù)學(xué)歸納法步驟，用框圖表示為：,歸納奠基,歸納遞推,注：兩個(gè)步驟,一個(gè)結(jié)論,缺一不可,證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，,等式是成立的,（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，就是,那么,這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立,由（1）和（2），可知等式對(duì)任何 都成立,試用數(shù)學(xué)歸納法證明,例3：用數(shù)學(xué)歸納法證明： 122334n(n1) ,從n=k到n=k+1有什么變化,利用假設(shè),湊結(jié)論,證明:,2)假設(shè)n=k時(shí)命題成立,即 122334k(k+1),=, n=k+1時(shí)命題正確。 由(1)和(2)知，當(dāng) ，命題正確。,1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊

5、=12=2,右邊= =2. 命題成立,練習(xí)2用數(shù)學(xué)歸納法證明,證明： （1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊121，右邊 等式成立。 （2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，就是,那么,這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。 根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任何nN都成立。,思考1：試問(wèn)等式2+4+6+2nn2+n+1成立嗎？某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法給出了如下的證明，請(qǐng)問(wèn)該同學(xué)得到的結(jié)論正確嗎？,解:設(shè)nk時(shí)成立，即,這就是說(shuō)，nk+1時(shí)也成立,2+4+6+2kk2+k+1,則當(dāng)n=k+1時(shí) 2+4+6+2k+2(k+1) k2+k+1+2k+2(k+1)2+(k+1)+1,所以等式對(duì)任何nN*都成立,事實(shí)上，當(dāng)n1時(shí)，左邊2

6、，右邊3 左邊右邊，等式不成立,該同學(xué)在沒(méi)有證明當(dāng)n=1時(shí)，等式是否成立的前提下，就斷言等式對(duì)任何nN*都成立，為時(shí)尚早,證明：當(dāng)n=1時(shí)，左邊,右邊,假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，,那么n=k+1時(shí),等式成立,這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立,根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任何nN都成立,即,第二步的證明沒(méi)有在假設(shè)條件下進(jìn)行，因此不符合數(shù)學(xué)歸納法的證明要求,因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟，缺一不可。第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)。缺了第一步遞推失去基礎(chǔ)；缺了第二步，遞推失去依據(jù)，因此無(wú)法遞推下去。,1.數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法.主要有兩個(gè)步驟一個(gè)結(jié)論:,（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0（如 n0=1或2等）時(shí)結(jié)論正確,（2）假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論正確，證明n=k+1時(shí)結(jié)論也正確,（3）由（1）、（2）得出結(jié)論,歸納小結(jié),提高題：,在驗(yàn)