1、八年級 上冊,13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題,引言： 前面我們研究過一些關(guān)于“兩點的所有連線中，線 段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段 中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾?題現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié) 將利用數(shù)學(xué)知識探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問題”,引入新知,問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久 負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪 海倫，求教一個百思不得其解的問題： 從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然 后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程 最短？,探索新知,精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的

2、 知識回答了這個問題這個問題后來被稱為“將軍飲馬 問題” 你能將這個問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？,探索新知,追問1這是一個實際問題，你打算首先做什么？,將A，B 兩地抽象為兩個點，將河l 抽象為一條直 線,探索新知,（1）從A 地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到B 地； （2）在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A， B 連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A 地 到飲馬地點，再回到B 地的路程之和；,探索新知,追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思， 并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？,探索新知,追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思， 并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？,（3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度

3、之和為最 短的直線l上的點設(shè)C 為直線上的一個動點，上 面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點C 在l 的什么位置時， AC 與CB 的和最?。ㄈ鐖D）,追問1對于問題2，如何 將點B“移”到l 的另一側(cè)B 處，滿足直線l 上的任意一點 C，都保持CB 與CB的長度 相等？,探索新知,問題2 如圖，點A，B 在直線l 的同側(cè)，點C 是直 線上的一個動點，當(dāng)點C 在l 的什么位置時，AC 與CB 的和最??？,追問2你能利用軸對稱的 有關(guān)知識，找到上問中符合條 件的點B嗎？,探索新知,問題2 如圖，點A，B 在直線l 的同側(cè)，點C 是直 線上的一個動點，當(dāng)點C 在l 的什么位置時，AC 與CB 的和最??？,作法：

4、（1）作點B 關(guān)于直線l 的對稱 點B； （2）連接AB，與直線l 相交 于點C 則點C 即為所求,探索新知,問題2 如圖，點A，B 在直線l 的同側(cè)，點C 是直 線上的一個動點，當(dāng)點C 在l 的什么位置時，AC 與CB 的和最??？,探索新知,問題3你能用所學(xué)的知識證明AC +BC最短嗎？,證明：如圖，在直線l 上任取一點C（與點C 不 重合），連接AC，BC，BC 由軸對稱的性質(zhì)知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC,探索新知,問題3你能用所學(xué)的知識證明AC +BC最短嗎？,探索新知,問題3你能用所學(xué)的知識證明AC +BC最短嗎

5、？,證明：在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC 即AC +BC 最短,若直線l 上任意一點（與點 C 不重合）與A，B 兩點的距離 和都大于AC +BC，就說明AC + BC 最小,探索新知,追問1證明AC +BC 最短時，為什么要在直線l 上 任取一點C（與點C 不重合），證明AC +BC AC +BC？這里的“C”的作用是什么？,探索新知,追問2回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的 過程、借助什么解決問題的？,運用新知,練習(xí)如圖，一個旅游船從大橋AB 的P 處前往山 腳下的Q 處接游客，然后將游客送往河岸BC 上，再返 回P 處，請畫出旅游船的最短路徑,運用新知,基本思路： 由于兩點之間線段最短，所以首先可連接PQ，線 段PQ 為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路將河岸抽象為 一條直線BC，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點P，Q 在直線BC 的同側(cè)，如何在BC上找