1、1,第2章 偏微分方程 2.1引言,2,方程的階數(shù)：方程中出現(xiàn)的偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)。 線性方程：方程經(jīng)過(guò)有理化并消去分式后，若方程中沒(méi)有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的乘積或冪等非線性項(xiàng)。 非線性方程：方程經(jīng)過(guò)有理化并消去分式后，若方程中有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的乘積或冪等非線性項(xiàng)。 擬線性方程：在非線性方程中，若僅對(duì)未知函數(shù)的所有最高階導(dǎo)數(shù)是線性的。,3,自由項(xiàng)：在線性方程中，不含未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)。 齊次方程：自由項(xiàng)為零。 非齊次方程：自由項(xiàng)不為零。,一階、線性、非齊次,二階、擬線性、齊次,二階、非線性、非齊次,4,5,結(jié)論：,偏微分方程的通解包含有任意函數(shù)，或者說(shuō)其通解形式是不確定的。 因此解偏微分方

2、程，一般不是先求通解，后由定解條件確定特解（只有少數(shù)情況例外），而是直接求特解。 一個(gè)特定形式的偏微分方程可以描述許多物理現(xiàn)象的共性規(guī)律，它可以有很多不同形式的特解。所以可稱為泛定方程。,6,2.2二階偏微分方程的分類,7,8,9,10,2.3 基本方程的導(dǎo)出,泛定方程的建立也就是把物理規(guī)律“翻譯”成數(shù)學(xué)物理方程。 微元法：先選擇表示系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量，再任取體系中的一個(gè)小部分，分析這一部分所受的作用，以及它在物理規(guī)律的支配下所引起的運(yùn)動(dòng)變化情況，導(dǎo)出泛定方程。,一、弦的橫振動(dòng)方程,幾個(gè)條件：,均勻細(xì)繩：為常數(shù)，作為一維空間來(lái)處理（細(xì)繩）； 輕繩：忽略重力影響； 柔軟：橫截面方向上無(wú)應(yīng)力（無(wú)

3、切變力），張力沿弦切線； 微小振動(dòng)：弦切線與x軸夾角0或； 橫向振動(dòng)：弦上各點(diǎn)的振動(dòng)方向垂直于振動(dòng)的傳播方向.,11,設(shè)弦的平衡狀態(tài)沿x方向，且在同一平面振動(dòng).,由于是微振動(dòng)：,12,根據(jù)牛頓第二定律：,13,弦的自由橫振動(dòng)方程,或?qū)懗桑?14,受迫振動(dòng)情況：,力密度F (x,t)：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的弦所受的橫向外力.,15,單位質(zhì)量的弦所受的橫向外力,16,（二）熱傳導(dǎo)方程,熱傳導(dǎo)：由于溫度不均勻，熱量從溫度高向溫度低的地方轉(zhuǎn)移.熱流通量：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)單位橫截面積的熱量. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果：,哈密頓算符,k導(dǎo)熱系數(shù),17,為系統(tǒng)（x,y,z）點(diǎn)在t時(shí)的溫度,單位時(shí)間沿x方向流入小六面體的熱量：,單位時(shí)間沿

4、x方向流出小六面體的熱量：,單位時(shí)間沿x方向凈流入小六面體的熱量：,18,同理，單位時(shí)間內(nèi)沿y, z方向凈流入小六面體的熱量分別是：,單位時(shí)間內(nèi)沿x, y, z方向凈流入小六面體的總熱量分別是:,19,單位時(shí)間內(nèi)小六面體熱量的增加是:,在各向同性條件下：,20,溫度傳導(dǎo)系數(shù),或?qū)懗桑?熱傳導(dǎo)方程,一維空間：,二維空間：,21,討論： 1、有熱源存在情況下. 熱源強(qiáng)度F (x,y,z,t)：?jiǎn)挝粫r(shí)間單位體積熱源放出的熱量。,f 0稱為熱源，f 0稱為熱匯.,22,2、穩(wěn)定的溫度分布.,泊松方程,拉普拉斯方程（f = 0）,23,2.4 數(shù)理方程的定解條件,一、初始條件,初始條件：給出某一初始時(shí)刻

5、整個(gè)系統(tǒng)的已知條件,1、傳遞過(guò)程（擴(kuò)散、熱傳導(dǎo)）,熱傳導(dǎo)（擴(kuò)散）問(wèn)題只須給出整個(gè)系統(tǒng)的初始溫度（濃度）分布，而振動(dòng)問(wèn)題必須給出整個(gè)系統(tǒng)的初始位移何初始速度。,2、振動(dòng)過(guò)程（弦、桿的振動(dòng)）,從數(shù)學(xué)上來(lái)看，振動(dòng)方程中u對(duì)時(shí)間求二次導(dǎo)數(shù)，而傳遞問(wèn)題中u或N只對(duì)時(shí)間一次導(dǎo)數(shù)。,24,（二）邊界條件,邊界條件：給出系統(tǒng)的邊界在各個(gè)時(shí)刻的已知狀態(tài),1、第一類邊界條件：給出邊界上u的值，,1）弦的橫振動(dòng),兩端固定,x = 0端位移狀態(tài)已知,2）桿的熱傳導(dǎo),兩端處于恒溫uo,兩端的溫度變化已知,總之，這類邊界條件直接規(guī)定了邊界上的數(shù)值（可以是隨時(shí)間變化的數(shù)值）.,25,2、第二類邊界條件：給出邊界上u的梯度值

6、，,1）桿的縱振動(dòng)（兩端自由）,2）桿的熱傳導(dǎo)（兩端絕熱）,x = 0，單位時(shí)間內(nèi)流出小薄層的熱量為：,26,合并寫成：,桿的熱傳導(dǎo)（兩端有熱流強(qiáng)度為f (t)的熱流流出）,在x = 0 端,27,在x = l 端,合并寫成：,3、第三類邊界條件：,在這類邊界條件，即不直接規(guī)定邊界上的數(shù)值，也不直接規(guī)定邊界上法向?qū)?shù)的數(shù)值，而是規(guī)定它們之間的某個(gè)線性關(guān)系。,28,桿的熱傳導(dǎo)（兩端按牛頓冷卻定律與外界進(jìn)行熱交換）,牛頓冷卻定律：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)單位橫截面積與外界熱交換流出的熱量為 ， H 牛頓冷卻系數(shù)，u 系統(tǒng)邊界的溫度， 外界的溫度.,在x = 0 端,將熱流強(qiáng)度f(wàn) (t)寫成牛頓冷卻定律:,29,在x = l 端,合并寫成：,齊次的邊界條件,給出的上述的值為零，則稱為是齊次的邊條件，即f (t) =0.,30,31,32,數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題的適定性,(1) 解的存在性,看所歸結(jié)出來(lái)的定解問(wèn)題是否有解；,(2