1、第四講 基本初等函數(shù)一、知識梳理1.指數(shù)與對數(shù)的概念N（0，1）2.指數(shù)與對數(shù)的性質(zhì) 指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、Q），、 Q）， Q）（注）上述性質(zhì)對r、R均適用.對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)logloglog（M、N0, 0, 1）推廣：換底公式：（，0，1，1）3.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念形如（0且1，0）叫做指數(shù)函數(shù)（exponential function），其中是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽.形如（0且1，0）的函數(shù)，叫做對數(shù)函數(shù)（logarithmic function）.（1） 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義是一個(gè)形式定義，注意指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的區(qū)別；（2） 注意底數(shù)的取值范圍.4.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)（略

2、）.5.冪函數(shù)（1）冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù).（2）冪函數(shù)性質(zhì)： 所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義并且圖象都過點(diǎn)（1，1）；時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù).特別地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸.二、方法歸納1.解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題，要特別重視定義域； 2.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于底數(shù)大于1還是小于1，要注意對底數(shù)的討論；3.比較幾個(gè)數(shù)（冪或?qū)?shù)值）的大小的常用方法有：以和為橋梁；利

3、用函數(shù)的單調(diào)性；作差.4.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)中的絕大部分問題是指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)的復(fù)合問題，討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是解決問題的重要途徑.三、典型例題精講【例1】比較下列各數(shù)的大小： 解析：0 ，其他各數(shù)都大于零，故最小；又1，2， 128，對于與 ，首先，它們都屬于區(qū)間（0,1），且是同底的冪，考慮函數(shù) 為減函數(shù)，.于是有.又例:比較下列各組數(shù)的大小：（1），；（2）， 解析：（1）1， 01，0 ，.（2），.又函數(shù)為減函數(shù)， 0.再例：當(dāng)1，下列不等式正確的有（ ）A. B.C. D.解析：01，又函數(shù) 為減函數(shù)，在（0,1）上為增函數(shù)，故選D.技巧提示：利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪

4、函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)充分利用和為橋梁，能使比較大小的問題得到解決. 【例2】已知函數(shù) （0，1）在區(qū)間1，1上的最大值為14，求的值.解析：，又，當(dāng)1時(shí)，為的增函數(shù).函數(shù)的最大值為當(dāng)01時(shí)，為的增函數(shù).函數(shù)的最大值為綜上得，.技巧提示：指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是解決問題的重要途徑又例：已知.求（1）的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的最大值及對應(yīng)的的值. 解析：（1）由，得的定義域?yàn)椋?記（1）24，對稱軸為1.的增區(qū)間為（1，1】，減為區(qū)間【1，3）.（2）（1）244，當(dāng)1 時(shí)有最大值1.【例3】函數(shù)的定義域是（ ）A. B. C. D.解析：由 ，得，即，由 為減函數(shù)，.故

5、所求定義域?yàn)?選A.技巧提示：這里充分利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通過解簡單的指數(shù)不等式得到所求定義域.同樣，可以充分利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通過解簡單的對數(shù)不等式得到某些問題的解.又例：若，則的取值范圍是 .解析：由 ，即，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，于是，.當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，于是，.綜上可知的取值范圍是或.再例：解不等式（0，0）.解析：由，得0，即. 或（舍去）.當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不等式無解.【例4】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 .解析：由，得，而函數(shù)，即在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).又是減函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是.技巧提示：對于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一要注意在定義域內(nèi)研究問題；二是對組成復(fù)合函數(shù)的每一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性作出

6、判斷；最后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原則做出結(jié)論.又例：求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.解析：顯然的定義域是.設(shè)，則.的單調(diào)遞增區(qū)間為有是的減函數(shù)，的單調(diào)遞減區(qū)間為.再例：已知0且1,函數(shù)在定義域2,3上的最大值比最小值大1 ,則的值為 .解析：由題意，有，即 ，.【例5】當(dāng)1時(shí)，證明函數(shù)是奇函數(shù).解析：由10得0.故函數(shù)定義域0是關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)集.又，.所以函數(shù)是奇函數(shù).技巧提示：對于指數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)的奇偶性的證明，在判定與關(guān)系時(shí)，也可采用如下等價(jià)證法.（），（）.如本題可另證如下：，即，所以函數(shù)是奇函數(shù).又例：設(shè)是實(shí)數(shù)，（R）（1）試證明對于任意，為增函數(shù)；（2）試確定值，使為奇函數(shù).解析：（1）設(shè)，

7、R，且，則（由于指數(shù)函數(shù)在R上是增函數(shù)，且，所以，即0，又由2x0得10，10，所以0.即.因?yàn)榇私Y(jié)論與取值無關(guān)，所以對于取任意實(shí)數(shù)，為增函數(shù).（2）若為奇函數(shù)，則，即，變形得：，解得1.所以當(dāng)1時(shí)，為奇函數(shù).【例6】已知01，0，1，比較和的大小. 解析：方法一：當(dāng)1時(shí)， 0，.當(dāng)01時(shí)，+0，.綜上所述，在題設(shè)條件下，總有.方法二：1.技巧提示：比較大小通常采取作差變形判定符號.如果比較兩個(gè)正數(shù)的大小時(shí)，亦可采取作商變形與“1”比較的辦法.又例：解不等式 解析：原不等式可化為 ， 即等價(jià)于，即，解得：，所以原不等式的解集為.【例7】（1）已知，用，表示； （2）已知求的值.解析：（1）又

8、.（2），.技巧提示：掌握對數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是本部分的基本要求.盡管近幾年高考中很少直接考查對數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算，但由于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)幾乎是必考內(nèi)容，不能熟練的進(jìn)行對數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算，會(huì)影響解題技巧的把握，至少會(huì)影響解題速度.又例：判斷下列函數(shù)的奇偶性（1）； （2）.解析:（1），為奇函數(shù).（2） 0.為奇函數(shù).四、課后訓(xùn)練1.已知，那么等于（ ） A. B. C. D.2.函數(shù)的圖像關(guān)于（ ）A.軸對稱 B.軸對稱 C.原點(diǎn)對稱 D.直線對稱3.函數(shù)的定義域是（ ）A. B. C. D.4.函數(shù)的值域是（ ）A. B. C. D.5.下列函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（ ）A. B.C. D.

9、6.已知在上有，則是（ ）A.在上是增加的 B.在上是減少的C.在上是增加的 D.在上是減少的7.函數(shù)是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .8.計(jì)算 .9.已知是奇函數(shù) （其中，（1）求的值；（2）討論的單調(diào)性；（3）求的反函數(shù)；（4）當(dāng)定義域區(qū)間為時(shí)，的值域?yàn)椋蟮闹?10.對于函數(shù)，解答下述問題：（1）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)在內(nèi)有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（4）若函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?shí)數(shù)a的值；（5）若函數(shù)的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)a的值；（6）若函數(shù)在內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.五、參考答案1.C.2.C. 3.A. 4.C. 5.D. 6.C.7. 8.109.解析：（1）對定義域內(nèi)的任意恒成立，當(dāng)，無意義，舍去， ，（2）， 定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，在上都是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上都是增函數(shù)；（3）， ， .（4）上為減函數(shù)，命題等價(jià)于，即，解得.10.解析：記，（1）恒成立，的取值范圍是；（2）這是一個(gè)較難理解的問題。從“的值域?yàn)镽”這點(diǎn)思考，“的值域?yàn)镽”等價(jià)于“能取遍的一切值”，或理解為“的值域包含了區(qū)間”的值域?yàn)槊}等價(jià)于，的取值范圍是；（3）應(yīng)注意“在內(nèi)有意義”與定義域的概念是不同的，命題等價(jià)于“恒成立”，應(yīng)按的對稱軸分