1、第四節(jié),一元復(fù)合函數(shù),求導(dǎo)法則,內(nèi)容:,一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t,二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分,微分法則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t,定理. 若函數(shù),處偏導(dǎo)連續(xù),在點(diǎn) t 可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù),且有鏈?zhǔn)椒▌t,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,( 全導(dǎo)數(shù)公式 ),推廣:,1) 中間變量多于兩個(gè)的情形. 例如,設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微 .,2) 中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,又如,當(dāng)它們都具有可微條件時(shí), 有,注意:,這里,表示固定 y 對(duì) x 求導(dǎo),表示固定 v 對(duì) x 求導(dǎo),口訣 :,分段用乘

2、, 分叉用加, 單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo),與,不同,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 設(shè),解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2.,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 設(shè),求全導(dǎo)數(shù),解:,注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,驗(yàn)證解的問題中經(jīng)常遇到,下列例題有助于掌握,這方面問題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號(hào).,為簡便起見 , 引入記號(hào),例4. 設(shè),f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求,解: 令,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分,設(shè)函數(shù),的全微分為,可見無論 u , v 是自變量還是中間變量,則復(fù)合函數(shù),都

3、可微,其全微分表達(dá),形式都一樣,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1 .,例 6.,利用全微分形式不變性再解例1.,解:,所以,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù),二、方程組所確定的隱函數(shù)組 及其導(dǎo)數(shù),隱函數(shù)的求導(dǎo)方法,兩邊對(duì) x 求導(dǎo),回顧, 利用隱函數(shù)求導(dǎo),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),兩邊對(duì) x 求導(dǎo),在,的某鄰域內(nèi),則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,若F( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù) :,則還有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁

4、 下頁 返回 結(jié)束,例1. 方程,解: 令,則,求,兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo),同樣可得,則,解法1 利用公式,設(shè),則,兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 設(shè),解法2 利用隱函數(shù)求導(dǎo),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,再對(duì) x 求導(dǎo),例2. 設(shè),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 設(shè),解法3. 利用全微分形式不變性同時(shí)求出各偏導(dǎo)數(shù).,思路：,解,令,則,整理得,整理得,整理得,解法2.利用公式,第六節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè),則,解法3. 利用全微分形式不變性同時(shí)求出各偏導(dǎo)數(shù).,第六節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,由d y, d z 的系數(shù)即可得,有隱

5、函數(shù)組,則,兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得,設(shè)方程組,公式 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù),隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.,由 F、G 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式,稱為F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.,雅可比 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解:,二元線性代數(shù)方程組解的公式,例4. 設(shè),解:,方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，并移項(xiàng)得,求,練習(xí): 求,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,答案:,故有,內(nèi)容小結(jié),1. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t,“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”,例如,2. 全微分形式不變性,不論 u , v 是自變量還是因變量,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3、 隱函數(shù) ( 組) 求導(dǎo)方法,方法1. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算 ;,方法2. 代公式;,方法3. 利用微分形式不變性,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考題,1. 已知,求,解: 由,兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,分別由下列兩式確定 :,又函數(shù),有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,3. 設(shè),解: 兩個(gè)隱函數(shù)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得,(2001考研),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解得,因此,4. 設(shè),是由方程,和,所確定的函數(shù) , 求,解法1 分別在各方程兩端對(duì) x