1、試驗設(shè)計數(shù)據(jù)的方差分析,試驗設(shè)計,在幾乎所有領(lǐng)域都有各種試驗。比如 如何對不同的土壤、氣候等各種條件找出最合適的作物，使得收益最大 如何使得工業(yè)產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)、價廉 什么環(huán)境下，兒童才能在心理上健康成長 企業(yè)采取的什么主動措施能夠增加收益,一個例子,一個養(yǎng)蟹戶要遇到許多影響生產(chǎn)的因素或因子（factor），比如水溫，飼料，水質(zhì)，疾病等各種問題。 要想穩(wěn)定高產(chǎn)，就要進行各種因素的不同水平(level)的搭配（組合）試驗。這里的“水平”就是一個因素可能取的值。比如對于飼料這個因素，每個水平就是一種飼料；如果有三種可供選擇的飼料，該因素就有三個水平。而如果水溫有四種水平，則水溫和飼料就有12種可能的搭配(

2、組合) 這里，因素就是變量，水平就是該變量的取值；這些名詞是屬性變量所特有的。,試驗設(shè)計模型就是回歸模型,在上面例子中，因變量是產(chǎn)量，自變量是水溫，飼料等。 描述試驗設(shè)計的模型就是回歸模型的一種 但試驗設(shè)計問題本身有很大一部分是如何設(shè)計試驗，使得人們有可能用最少的資源得到最好的結(jié)果。 當(dāng)然，我們不打算詳細(xì)討論如何設(shè)計試驗，而把主要精力放在試驗設(shè)計數(shù)據(jù)的方差分析上。,方差分析,方差分析（analysis of variance，ANOVA）是分析各個自變量對因變量影響的一種方法。 這里的自變量就是定性變量的因子及可能出現(xiàn)的稱為協(xié)變量（covariate）的定量變量。 分析結(jié)果是由一個方差分析表給

3、出的。,方差分析分解因素貢獻的機理,原理為：因變量的值隨著自變量的不同取值而變化。我們把總變化(差的平方和)按照自變量(因素)進行分解，顯示每一個自變量的貢獻；最后剩下無法用已知的因素解釋的則看成隨機誤差的貢獻。 然后用各自變量的貢獻和隨機誤差的貢獻進行比較（F檢驗），以判斷該自變量的不同水平是否對因變量的變化有顯著貢獻。輸出就是F-值和檢驗的一些p-值。 下面看一個例子。,單因素方差分析回顧飼料比較數(shù)據(jù), n=19頭豬, 用p=4種飼料喂養(yǎng)一段時間后的重量增加(data12.01)問題: 四種飼料是否不同?,飼料例子(繼續(xù)):飼料(fodder)為自變量(單因子),重量增加(weight)

4、為因變量(一個數(shù)量變量) (SPSS計算機數(shù)據(jù)形式有所不同),均值A(chǔ)= 133.36 均值B= 152.04 均值C=189.72 均值D= 220.78,各種SPSS輸出: (ANOVA-CONTRASTS/POST HOC-LSD,T2/OPTION-DES.,HOMO./MEAN PLOT),Descriptives WEIGHT,四種飼料的箱圖,四種飼料的均值圖,假設(shè):,檢驗: H0: m1=mp,線性模型:,公式:總平方和=組間平方和+組內(nèi)平方和,其中, SST 有自由度 n-1, SSB有自由度 p-1, SSE 有自由度 n-p,在正態(tài)分布的假設(shè)下, 如果各組增重均值相等(零假設(shè)

5、), 則,有自由度為 p-1 和n-p 的F 分布.,(比較一元總體的) ANOVA WEIGHT(重量),由SPSS可以得到方差分析表:,這里n 為觀測值數(shù)目p 為水平數(shù),Fa滿足P(FFa)=a.這是自由度為p-1和n-p的F-分布的概率,F0.05(3,15),面積=0.05,F (3,15)分布密度圖,ANOVA WEIGHT,由SPSS可以得到方差分析表:,該表說明各飼料之間有顯著不同.,Test of Homogeneity of Variances (A robust test),這是SPSS輸出之一,明白即可,不用記住,SPSS操作Compare MeansOne Way AN

6、OVA:fodder(飼料) FactorWeight(重量) Dependent ListOptions: Descriptive Homogeneity of VarianceMean Plot,銷售數(shù)據(jù)(sales.sav),研究這個數(shù)目的主要目的是看銷售額（因變量）是否受到促銷方式、售后服務(wù)和獎金這三個自變量的影響（頭兩個是定性變量，亦稱為因子，分別有3個和2個水平；而定量變量獎金是協(xié)變量）以及怎樣的影響。,Excel 數(shù)據(jù),多因素方差分析(只考慮主效應(yīng),不考慮交互效應(yīng)及協(xié)變量),首先假定自變量受到的僅僅有不同因素的主效應(yīng)（main effect）而沒有交互效應(yīng)(interaction

7、)和協(xié)變量(covariate)的影響。 主效應(yīng)就是每個自變量對因變量的單獨影響，而交互效應(yīng)是當(dāng)兩個或更多的自變量的某些水平同時出現(xiàn)時除了主效應(yīng)之外的附加影響(“正面”或者“負(fù)面”的影響)。,多因素方差分析(只考慮主效應(yīng),不考慮交互效應(yīng)及協(xié)變量),拿我們例子來說，當(dāng)單獨考慮時，假定主動促銷比被動促銷可以多產(chǎn)生8萬元效益，而有售后服務(wù)比沒有售后服務(wù)多產(chǎn)生9萬元效益。那么在沒有交互作用時，同時采取主動促銷和售后服務(wù)會產(chǎn)生8917萬元的效益（稱為可加的）。 如存在交互效應(yīng)，那么同時采取主動促銷和售后服務(wù)會產(chǎn)生一個附加的效應(yīng)即交互效應(yīng)(可正可負(fù))，這時的總效應(yīng)就不是17萬元了。,方差分析(只考慮主效應(yīng)

8、,不考慮交互效應(yīng)及協(xié)變量),如要分析的只是因變量銷售額和自變量促銷和售后服務(wù)的主效應(yīng)。用y表示銷售額，ai表示促銷（下標(biāo)表示不同水平），bj表示售后服務(wù)；則相應(yīng)的只有主效應(yīng)的線性模型為：,這里的下標(biāo)i代表促銷的水平，下標(biāo)j代表是否有售后服務(wù)，下標(biāo)k代表每種ij組合中的第幾個觀測值。這里的最后一項eijk為隨機誤差項。,公式:總平方和=組間平方和+組內(nèi)平方和,其中, SSA 有自由度 p-1, SSB有自由度 q-1, SSE 有自由度 (p-1)(q-1),在正態(tài)分布的假設(shè)下, 如果各組增重均值相等(零假設(shè)), 則,分別有自由度為 p-1 和(p-1)(q-1) 及自由度為q-1 和(p-1)

9、(q-1)的F 分布.,Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable: XXX,SPSS: GLM-General Factorial-Model, custom (main effect),Note: SS.c=SSA+SSB,對于這個模型，SPSS輸出為,促銷(promot)的F檢驗統(tǒng)計量(其自由度來自promot和error的自由度:2,20)取值為13.880,p-值為0.000(更精確些是0.0001658).而售后服務(wù)的F檢驗統(tǒng)計量為25.497，p-值為0.000(更精確些是0.00006135). R2為0.981.,

10、這里的估計只有相對意義。一定要放在模型中，或者考慮同一因子水平之間的差，比如a1-a3、a2-a3、b1-b2等等。上面的模型還可以有截距有截距時的SPSS默認(rèn)約束是固定a3=b2=0；而目前的沒有截距的a1，a2，a3的估計實際上等于截距的估計加上有截距時的a1，a2，a3的估計。 由于約束條件不一樣，所以各種軟件的各種選項的估計不盡相同，但相對大小是不會變的。,對于這個模型，參數(shù)估計為,根據(jù)上面估計，我們的模型為（各個參數(shù)僅有相對意義，常數(shù)項混合在其中）,沒有交互作用的模型可以從下面點圖中直觀看出。圖10.1中下面一條折線連接了沒有售后服務(wù)時三種促銷狀況的銷售均值，而上面一條連接了有售后服

11、務(wù)時三種促銷狀況的銷售均值。由于模型選擇為無交互作用，所以這兩條線是平行的。從該圖可以看出，兩個因子效應(yīng)綜合效應(yīng)是簡單的加法。,SPSS實現(xiàn)(只有因子主效應(yīng)的方差分析),拿sales.sav為例，在SPSS中選AnalyzeGeneral Linear ModelUnivariate進入主對話框； 然后把sales選入Dependent Variable，把promot和service選入Fixed Factors； 然后點擊Model，選擇Custom，在Build Terms中選擇Main effects,再把promot(F)和service(F)選入Model； 選擇或不選擇Include intercept in model則確定是否在模型中包含常數(shù)項；回到主對話框（Continue），這時點OK即可； 如果要輸出參數(shù)估計可以在Options選諸如Parameter Estimates等。,方差分析,如再加上作為協(xié)變量的定量變量獎金，看它對銷售有沒有影響；模型就又多了一個代表自變量獎金x的一項（加上系數(shù)g）g x：,而計算機的方差分析表的輸出(主要部分)為：,這個模型的交互作用可以用下面的來描述：,還要說明的是，如果