1、第 8 章 應(yīng)力狀態(tài)分析與強(qiáng)度理論,8.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念 8.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析 8.3 三向應(yīng)力狀態(tài)簡介 8.4 平面應(yīng)變狀態(tài)分析 8.5 廣義胡克定律 8.6 應(yīng)變能密度 8.7 強(qiáng)度理論,一、什么是一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)？,三、如何描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)?,二、為什么要研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)?,8 . 1 應(yīng)力狀態(tài)的概念,橫截面上的正應(yīng)力分布,橫截面上的切應(yīng)力分布,橫力彎曲,橫截面上正應(yīng)力分析和切應(yīng)力分析的結(jié)果表明：同一面上不同點(diǎn)的應(yīng)力各不相同，此即應(yīng)力的點(diǎn)的概念。,一、什么是一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)？,直桿軸向拉伸,直桿拉伸應(yīng)力分析結(jié)果表明：即使同一點(diǎn)不同方向面上的應(yīng)力也是各不相同的，此即應(yīng)力的面的概念。,

2、受軸向拉力作用的桿件，受力之前，表面的正方形,受拉后，正方形變成了矩形，直角沒有改變。,橫截面上沒有切應(yīng)力。,受拉之前,表面斜置的正方形,在受拉后，正方形變成了菱形。,這表明：拉桿的斜截面上存在切應(yīng)力。,受扭之前，圓軸表面的圓,軸扭轉(zhuǎn)時，其斜截面上存在著正應(yīng)力。,受扭后，變?yōu)橐恍敝脵E圓，長軸方向伸長，短軸方向縮短。這是為什么？,應(yīng) 力,指明,應(yīng)力狀態(tài):,過同一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的集合，稱 為這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。,為什么脆性材料扭轉(zhuǎn)時沿45螺旋面斷開？,低碳鋼扭轉(zhuǎn),鑄鐵扭轉(zhuǎn),二、為什么要研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)?,低碳鋼拉伸,塑性材料拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線？,鑄鐵拉伸,構(gòu)件的強(qiáng)度破壞與構(gòu)件上點(diǎn)的應(yīng)力狀

3、態(tài)有關(guān)。最容易發(fā)生強(qiáng)度破壞的點(diǎn)稱為危險點(diǎn)。,試件的破壞不只在橫截面，,有時也沿斜截面發(fā)生破壞；,為什么要研究應(yīng)力狀態(tài),不僅要研究橫截面上的應(yīng)力，,而且也要研究斜截面上的應(yīng)力。,微元,三、如何描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),微元及其各面上的應(yīng)力來描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。,約定:,微元體的體積為無窮?。?相對面上的應(yīng)力等值、反向；,三個相互垂直面上的應(yīng)力。,一般空間應(yīng)力狀態(tài),一般平面應(yīng)力狀態(tài),單向應(yīng)力狀態(tài),純剪應(yīng)力狀態(tài),一般單向應(yīng)力狀態(tài)或純剪切應(yīng)力狀態(tài),空間應(yīng)力狀態(tài),平面應(yīng)力狀態(tài),一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),：剪應(yīng)力（切應(yīng)力）為零的平面,主應(yīng)力,：主平面上的正應(yīng)力,主方向,：主平面的法線方向,可以證明：通過受力構(gòu)件內(nèi)的任一點(diǎn)

4、，一定存在三個 互相垂直的主平面。,三個主應(yīng)力用1、2 、3 表示，按代數(shù)值大小順序排序，即123。,主平面,應(yīng)力狀態(tài)的分類：,單向應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力中只有一個不等于零 二向應(yīng)力狀態(tài)（平面應(yīng)力狀態(tài)）：兩個主應(yīng)力不等于零 三向應(yīng)力狀態(tài)（空間應(yīng)力狀態(tài)）：三個主應(yīng)力皆不等于零 單向應(yīng)力狀態(tài)也稱為簡單應(yīng)力狀態(tài) 二向和三向應(yīng)力狀態(tài)統(tǒng)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài),提取危險點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)。,本章難點(diǎn),應(yīng)力狀態(tài)是一切應(yīng)力分析的基礎(chǔ)。,1 提取拉壓變形桿件危險點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),單向應(yīng)力狀態(tài),2 提取拉壓變形桿件任一點(diǎn)沿斜截面的應(yīng)力狀態(tài),平面應(yīng)力狀態(tài),3 提取扭轉(zhuǎn)變形桿件危險點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),純剪切應(yīng)力狀態(tài),4 提取橫力彎曲變形桿件

5、下邊緣一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),單向應(yīng)力狀態(tài),5 提取橫力彎曲變形桿件任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),平面應(yīng)力狀態(tài),6 提取橫力彎曲變形桿件中性層上一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),純剪切應(yīng)力狀態(tài),F,橫力彎曲時的應(yīng)力狀態(tài),7提取工字形截面梁上一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),S平面,圓柱型壓力容器,平面（二向）應(yīng)力狀態(tài)實(shí)例,球型壓力容器,圓筒形薄壁壓力容器，平均直徑為 D、壁厚為 ，承受內(nèi)力p作用。,p,p,平面應(yīng)力狀態(tài),二向不等值拉伸,圓桿受扭轉(zhuǎn)和拉伸共同作用,Me,Me,F,F,平面應(yīng)力狀態(tài),三向應(yīng)力狀態(tài)實(shí)例,三向應(yīng)力狀態(tài),滾珠軸承中，滾珠與外圈接觸點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),8 . 2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析,平面應(yīng)力狀態(tài)分析方法解析法,8 . 2 平面應(yīng)力狀態(tài)

6、分析,：拉應(yīng)力為正 ：順時針轉(zhuǎn)動為正 ：逆時針轉(zhuǎn)動為正,8 . 2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析,和 都是的 周期函數(shù)。利用上式便可確定正應(yīng)力和切應(yīng)力的極值。,若 時，能使,8 . 2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析,8 . 2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析,用完全相似的方法可確定切應(yīng)力的極值：,若 時，能使,8 . 2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析,8 . 2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析,即,即：最大和最小切應(yīng)力所在平面與主平面的夾角為45。,8 . 2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析,平面應(yīng)力狀態(tài)分析方法圖解法,8 . 2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析,圓心坐標(biāo)為,半徑為,應(yīng)力圓 莫爾（Mohr）圓,8 . 2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析,下面根據(jù)已知單元體上的應(yīng)力 畫應(yīng)力圓：,8

7、. 2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析,下面利用應(yīng)力圓求任意斜截面上的應(yīng)力：,8 . 2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析,下面利用應(yīng)力圓求主應(yīng)力及最大切應(yīng)力：,8 . 2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析,例：分別用解析法和圖解法求圖示單元體的 (1)指定斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力； (2)主應(yīng)力值及主方向，并畫在單元體上； (3)最大剪應(yīng)力值。,應(yīng)力單位：MPa,8 . 2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析,解：（一）使用解析法求解,8 . 2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析,（二）使用圖解法求解,作應(yīng)力圓，從應(yīng)力圓可量出：,8 . 2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析,8 . 2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析,低碳鋼,鑄鐵,例：討論圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力狀態(tài)，并分析低碳鋼、鑄鐵試件受扭時的破壞現(xiàn)象

8、。,解：,Me,Me,Me,Me,8 . 2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析,平面應(yīng)力狀態(tài)分析方法解析法,平面應(yīng)力狀態(tài)分析方法圖解法,圓心坐標(biāo)為,半徑為,應(yīng)力圓 莫爾（Mohr）圓,8 . 3 三向應(yīng)力狀態(tài)簡介,主單元體：六個平面都是主平面,若三個主應(yīng)力已知，求任意斜截面上的應(yīng)力:,首先分析平行于主應(yīng)力之一（例如3）的各斜截面上 的應(yīng)力。,8 . 3 三向應(yīng)力狀態(tài)簡介,對斜截面上的應(yīng)力沒有影響。這些斜截面上的應(yīng)力對應(yīng)于由主應(yīng)力 和 所畫的應(yīng)力圓圓周上各點(diǎn)的坐標(biāo)。,8 . 3 三向應(yīng)力狀態(tài)簡介,同理，在平行于 的各個斜截面上，其應(yīng)力對應(yīng)于由主應(yīng)力 和 所畫的應(yīng)力圓圓周上各點(diǎn)的坐標(biāo)。,8 . 3 三向應(yīng)力狀態(tài)簡

9、介,在平行于 的各個斜截面上，其應(yīng)力對應(yīng)于由主應(yīng)力 和 所畫的應(yīng)力圓圓周上各點(diǎn)的坐標(biāo)。,8 . 3 三向應(yīng)力狀態(tài)簡介,這樣，單元體上與主應(yīng)力之一平行的各個斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力，可由三個應(yīng)力圓圓周上各點(diǎn)的坐標(biāo)來表示。,8 . 3 三向應(yīng)力狀態(tài)簡介,至于與三個主方向都不平行的任意斜截面，彈性力學(xué)中已證明，其應(yīng)力 和 可由圖中陰影面內(nèi)某點(diǎn)的坐標(biāo)來表示。,8 . 3 三向應(yīng)力狀態(tài)簡介,在三向應(yīng)力狀態(tài)情況下：,作用在與 平行且與 和 的方向成45角的平面上，以 表示。,8 . 3 三向應(yīng)力狀態(tài)簡介,例：求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。 （應(yīng)力單位為MPa）,解：,8 . 3 三向應(yīng)力狀態(tài)簡介,例

10、：求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。 （應(yīng)力單位為MPa）,解：,8 . 3 三向應(yīng)力狀態(tài)簡介,例：求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。 （應(yīng)力單位為MPa）,解：,8 . 4 平面應(yīng)變狀態(tài)分析,伸長的線應(yīng)變和使直角增大的切應(yīng)變規(guī)定為正,設(shè)構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處的應(yīng)變 和 皆為已知量?，F(xiàn)求 和 。,這里所指的平面應(yīng)變狀態(tài)，實(shí)際上是平面應(yīng)力所對應(yīng)的應(yīng)變狀態(tài)，它與彈性力學(xué)中所說的平面應(yīng)變狀態(tài)不同。,由于最大應(yīng)變往往發(fā)生于受力構(gòu)件的表面，而表面上的點(diǎn)一般都可按平面應(yīng)變狀態(tài)進(jìn)行分析。,8 . 4 平面應(yīng)變狀態(tài)分析,8 . 4 平面應(yīng)變狀態(tài)分析,8 . 4 平面應(yīng)變狀態(tài)分析,應(yīng)變的測量： 用應(yīng)變儀直接測出三個選

11、定方向 的線應(yīng)變 ，由下式,求出,8 . 4 平面應(yīng)變狀態(tài)分析,直角應(yīng)變花：,由,可求得：,由 求主應(yīng)變,8 . 5 廣義胡克定律,縱向應(yīng)變：,橫向應(yīng)變：,8 . 5 廣義胡克定律,下面計算沿 方向的應(yīng)變：,引起的應(yīng)變?yōu)?當(dāng)三個主應(yīng)力同時作用時,引起的應(yīng)變?yōu)?8 . 5 廣義胡克定律,廣義胡克定律,對于二向應(yīng)力狀態(tài),8 . 5 廣義胡克定律,下面考慮體積變化：,單位體積的體積改變?yōu)椋?也稱為體積應(yīng)變。,8 . 5 廣義胡克定律,式中：,體積彈性模量,當(dāng) 時，,體積胡克定律,8 . 5 廣義胡克定律,例：圓軸直徑為 ，材料的彈性模量為 ，泊松比為 ?，F(xiàn)測得與軸線成45方向的線應(yīng)變?yōu)?，求扭轉(zhuǎn)外力

12、偶矩 的大小。,解：,8 . 5 廣義胡克定律,例：在一體積較大的鋼塊上開一 貫穿的槽，其寬度和深度都是10mm。在槽內(nèi)緊密無隙地嵌入一鋁質(zhì)立方體，它的尺寸是10mm10mm10mm。當(dāng)鋁塊受到壓力F=6kN的作用時，假設(shè)鋼塊不變形。試求鋁塊的三個主應(yīng)力。,8 . 5 廣義胡克定律,解：,由,得,8 . 6 應(yīng)變能密度,拉壓應(yīng)變能,應(yīng)變能密度,8 . 6 應(yīng)變能密度,應(yīng)變能密度：,8 . 6 應(yīng)變能密度,=,+,應(yīng)變能密度,=,體積改變能密度,+,畸變能密度,=,+,8 . 6 應(yīng)變能密度,8 . 7 強(qiáng)度理論,強(qiáng)度失效的主要形式有兩種,斷裂失效,屈服失效,相應(yīng)地，強(qiáng)度理論也可分為兩類： 一類

13、是關(guān)于脆性斷裂的強(qiáng)度理論； 另一類是關(guān)于塑性屈服的強(qiáng)度理論。,（共四種）,8 . 7 強(qiáng)度理論,常用的四種強(qiáng)度理論,一、關(guān)于脆性斷裂的強(qiáng)度理論,1.最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）,在單向拉伸時，極限應(yīng)力,失效條件可寫為,令,第一強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為,它假定：無論材料內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如何，只要有一點(diǎn)的主應(yīng)力 達(dá)到單向拉伸斷裂時極限應(yīng)力 ，材料就發(fā)生斷裂。,8 . 7 強(qiáng)度理論,試驗(yàn)證明，這一理論與鑄鐵、巖石、砼、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉斷試驗(yàn)結(jié)果相符，這些材料在軸向拉伸時的斷裂破壞發(fā)生于拉應(yīng)力最大的橫截面上。脆性材料的扭轉(zhuǎn)破壞，也是沿拉應(yīng)力最大的斜面發(fā)生斷裂，這些都與最大拉應(yīng)力理論相符，但這個理

14、論沒有考慮其它兩個主應(yīng)力的影響。,8 . 7 強(qiáng)度理論,2.最大伸長線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）,所以發(fā)生脆性斷裂的條件是,它假定：無論材料內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如何，只要有一點(diǎn)的最大伸長線應(yīng)變 達(dá)到單向拉伸斷裂時應(yīng)變的極限值 ，材料就發(fā)生斷裂。,若材料直到脆性斷裂都在線彈性范圍內(nèi)工作，則,由此導(dǎo)出失效條件的應(yīng)力表達(dá)式為,令,第二強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為,8 . 7 強(qiáng)度理論,煤、石料或砼等材料在軸向壓縮試驗(yàn)時，如端部無摩擦，試件將沿垂直于壓力的方向發(fā)生斷裂，這一方向就是最大伸長線應(yīng)變的方向，這與第二強(qiáng)度理論的結(jié)果相近。,8 . 7 強(qiáng)度理論,二、關(guān)于屈服的強(qiáng)度理論,1.最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）,屈

15、服失效條件是,用應(yīng)力表示的屈服破壞條件,它假定：無論材料內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如何，只要有一點(diǎn)的最大切應(yīng)力 達(dá)到單向拉伸屈服切應(yīng)力 時，材料就發(fā)生屈服。,8 . 7 強(qiáng)度理論,令,第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為,第三強(qiáng)度理論曾被許多塑性材料的試驗(yàn)結(jié)果所證實(shí)，且稍偏于安全。這個理論所提供的計算式比較簡單，故它在工程設(shè)計中得到了廣泛的應(yīng)用。該理論沒有考慮中間主應(yīng)力 的影響，其帶來的最大誤差不超過15，而在大多數(shù)情況下遠(yuǎn)比此為小。,8 . 7 強(qiáng)度理論,2.畸變能密度理論（第四強(qiáng)度理論）,屈服失效條件是,簡單拉伸時,它假定：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的畸變能密度達(dá)到單向拉伸時使材料屈服的畸變能密度時，材料就發(fā)生屈服。,8 . 7 強(qiáng)度理論,屈服失效條件是,第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為,此理論和許多塑性材料的試驗(yàn)結(jié)果相符，用此理論判斷碳素鋼的屈服失效是相當(dāng)準(zhǔn)確的。,8 . 7 強(qiáng)度理論,四個強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件可寫成統(tǒng)一形式,稱為相當(dāng)應(yīng)力,8 . 7 強(qiáng)度理論,一般說來，在常溫和靜載的條件下，脆性材料多發(fā)生脆性斷裂，故通常