1、1,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí),一、內(nèi)容提要 二、典型例題,2,隨機(jī)試驗(yàn),可能結(jié)果,基本事件Ai,不含任何,Ai任何組合,事件A,不可能,必然,完備事件組Ai,等概完備事件組,貝努利試驗(yàn),獨(dú)立試驗(yàn) 概型,只有兩個(gè) 可能結(jié)果,n次重復(fù),古典概型,B由其中m個(gè)事件組成公式,（一）概念之間的關(guān)系,一、隨機(jī)變量與概率,3,1、運(yùn)算關(guān)系,包含： A 則 B,相等： A = B,和：至少有一個(gè)發(fā) 生 AUB,積：同時(shí)發(fā)生 AB,A、B不相容,A、B 對(duì)立 記為,差： AB,B =SA,（二）事件的關(guān)系,4,除與一般代數(shù)式運(yùn)算相同的法則以外，注意,1）對(duì)偶律,2）其他,3）獨(dú)立性,事件的獨(dú)立性是由概率定義的；,

2、n個(gè)事件的獨(dú)立性要求,個(gè)等式成立。,（三） 解題方法,1、一般概率,1） 利用兩種概型,10 古典,20 n重貝努利概型,2） 利用事件間的運(yùn)算,2、運(yùn)算法則,5,化為事件的和,利用對(duì)立事件,A、B相互獨(dú)立,分解到完備組中： 全概公式,利用隨機(jī)變量及其分布計(jì)算。,一般情況,化為事件的積,一般情況,是完備組，,6,2） 用乘法公式,1） 在縮減完備組中計(jì)算，方法同 1。,3） 用貝葉斯公式,2、條件概率,7,一實(shí)數(shù)值X(i),（一）隨機(jī)變量的定義,對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)E的每一個(gè)可能結(jié)果i,的變量，,則稱(chēng)實(shí)數(shù)變量X(i)為一個(gè)隨機(jī)變量，,簡(jiǎn)記為X。,注意：,1、X 是定義在隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的集合i 上,按試驗(yàn)

3、的不同結(jié)果而取不同的值.,取值是隨機(jī)的.,2、在一定的試驗(yàn)下，,二、隨機(jī)變量及其分布,都唯一地對(duì)應(yīng)著,因此X的,可以依據(jù)我們所關(guān)心的結(jié)果的,數(shù)值特征選取 X 所代表的具體意義。,3、X 的引入使我們便于研究隨機(jī)試驗(yàn)的全貌，,并使用分析的工具。,8,1、離散型隨機(jī)變量,隨機(jī)變量 X 的取值可以一一列舉（有限或無(wú)限）,定義,分布律（分布列） 表示法,稱(chēng)X 為離散型隨機(jī)變量。,（二）隨機(jī)變量的分布及性質(zhì),公式法,列表法,性質(zhì),9,定義,對(duì)于隨機(jī)變量X，若存在非負(fù)函數(shù),，使對(duì)任意實(shí)數(shù),則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，,的概率密度.,都有,其圖形：,(2) 歸一性,(1) 非負(fù)性,密度函數(shù)的性質(zhì),2、連續(xù)性隨機(jī)

4、變量,10,3、分布函數(shù),為X的分布函數(shù). 記作,設(shè) X是一個(gè)隨機(jī)變量，稱(chēng),定義,分布函數(shù)的性質(zhì),1、單調(diào)不減性：,3、右連續(xù)性：對(duì)任意實(shí)數(shù) ，,2、歸一 性：,若 x1x2, 則 F (x1) F (x2);,對(duì)任意實(shí)數(shù)x， 0 F(x) 1，且,11,1）分布函數(shù),的值表示了X 落在,2）離散型： 若,分布函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明,是一個(gè)普通的函數(shù)，,內(nèi)的概率。,由于,是X 取,的諸值,的概率之和，故又稱(chēng),為累積概率函數(shù).,圖形特點(diǎn)：,是一條有跳躍的上升,階梯形曲線(xiàn)。,12,3） X為連續(xù)性隨機(jī)變量,在,13,3）把Y的分布用表（離散型）或Y的密度（連續(xù)性）,1、問(wèn)題：若,之間的事件等價(jià)關(guān)系。,關(guān)系

5、和分布函數(shù)關(guān)系。,是隨機(jī)變量，,表述出來(lái)。,其中,已知X 的分布，求,的分布。,2、基本方法,4、隨機(jī)變量函數(shù)的分布,是 x的函數(shù)。,研究,1）由,2）由,之間的事件的關(guān)系再求,之間的分布,3、具體討論,14,則,當(dāng),若X的分布律,當(dāng),則,1） 離散型,推廣得：,15,及有關(guān)函數(shù)表述出來(lái)。,求,其為等價(jià)的事件,將,用,利用,求出Y的密度函數(shù)。,2） 連續(xù)性,設(shè) X是一個(gè)取值于區(qū)間,具有概率密度,的連續(xù)型隨機(jī)變量，,16,性質(zhì)：,（一）二維隨機(jī)變量（X,Y) 的分布函數(shù),定義,對(duì)于任意實(shí)數(shù),二元函數(shù),稱(chēng)為二維隨機(jī)變量（X,Y)的分布函數(shù),的聯(lián)合分布函數(shù)。,或稱(chēng)為X和Y,三、二維隨機(jī)變量及其分布,

6、2.,且,是變量,的不減函數(shù)。,17,（二）離散型,的所有可能取值為,設(shè),則,和Y的聯(lián)合分布列。,稱(chēng)為二維隨機(jī)變量,的分布列，,或隨機(jī)變量X,（非負(fù)性）,（歸一性）,18,二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列,關(guān)于X的邊緣分布,19,（X,Y )的邊緣分布,設(shè),的分布列為 :,分別記,20,(三）連續(xù)型,總有,的聯(lián)合概率密度。,其具有以下性質(zhì)：,定義 設(shè)二維隨機(jī)變量,的分布函數(shù)為,，對(duì)任意實(shí)數(shù),為,的概率密度，或稱(chēng)為隨機(jī)變量,和,對(duì)于非負(fù)可積的函數(shù),（非負(fù)性）,（歸一性）,21,的關(guān)于X 和Y 的邊緣概率密度。,定義 設(shè),則,分別是,邊緣概率密度,22,均有,（四）兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性,若二維隨機(jī)變

7、量,對(duì)任意的實(shí)數(shù),成立，則稱(chēng)隨機(jī)變量,與,是相互獨(dú)立的。,若記,且,成立，,可見(jiàn)X，Y 相互獨(dú)立的定義與兩個(gè)事件相互,獨(dú)立的定義是一致的。,判斷X，Y 相互獨(dú)立的辦法：,23,其的概率密度為,的邊緣概率密度分別為,24,四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征,（一）數(shù)學(xué)期望 E X,定義,X為離散型,X為連續(xù)型,若,X為離散型,X為連續(xù)型,X為離散型其分布列為,X為連續(xù)型其密度函數(shù)為,25,若 （X,Y ) 有聯(lián)合密度,26,期望的性質(zhì),其中 C 為常數(shù)。,2. 對(duì)于任何常數(shù),及 b.,3. 若,相互獨(dú)立， 則,27,定義,計(jì)算公式,（二）方差,X為離散型其分布列為,X為連續(xù)型其密度函數(shù)為,X為離散型,X為連

8、續(xù)型,28,其中 k 為常數(shù)。,3. 對(duì)于任何常數(shù),及 b.,相互獨(dú)立， 則,方差的性質(zhì),29,均勻分布,泊松分布,二項(xiàng)分布,0-1分布,參數(shù)范圍,方差,均值,概率分布,名稱(chēng),(三)常用的六個(gè)分布,指數(shù)分布,30,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,參數(shù)范圍,方差,均值,概率分布,名稱(chēng),(三)常用的六個(gè)分布,正態(tài)分布,任意,31,稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量，有,2、正態(tài)分布隨機(jī)變量函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化.,表可查。,注意,32,COV ( X,Y )=E(XE X ) (YE Y ),若隨機(jī)變量 X, Y 為離散型.,若隨機(jī)變量 X, Y 為連續(xù)型.,協(xié)方差,相關(guān)系數(shù),COV( X,Y )E( XY ) EXEY,一般計(jì)算公式,3

9、3,COV( X,Y )E(XY) EXEY,可見(jiàn)，,存在的必要條件為,COV( X,Y ) 0 .,即,定義： 若,可見(jiàn)，若X與Y 獨(dú)立，,稱(chēng)X與Y不相關(guān)。,D(X士Y) = D X + DY士2COV( X,Y ),D(X士Y) = D X + DY,即,34,1. COV( X,X ) E( X- EX )2 = DX ；,3. COV( aX, bY ) ab COV( X,Y ), a,b是常數(shù)；,4. COV( X1+X2 ，Y ) COV( X1,Y )+ COV( X2,Y ).,二、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),2. COV( X,Y ) COV( Y , X ) ；,COV (

10、X,Y )=E(XE X ) (YE Y ),5.,35,2）,3）,4）,1）相關(guān)系數(shù),則稱(chēng)X與Y不相關(guān)；,四個(gè)等價(jià)命題：,36,或,（一） 切比雪夫不等式,五、大數(shù)定理與中心極限定理,設(shè),對(duì)任意,不等式,成立，,則稱(chēng)此式為切比雪夫不等式,切比雪夫大數(shù)定律,獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律,貝努里大數(shù)定律,37,之和總可以近似服從正態(tài)分布.,（二）獨(dú)立同分布下的中心極限定理,設(shè)X1,X2, Xn , 相互獨(dú)立，,且服從同一分布，,具有相同的期望和方差,則,此定理表明，無(wú)論,原來(lái)服從什么,分布，,當(dāng)n 充分大時(shí)，,即,38,（三）棣莫夫拉普拉斯中心極限定理,設(shè)隨機(jī)變量,此定理的常用公式有：,39,數(shù)理統(tǒng)

11、計(jì),一、 總體和樣本,一個(gè)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題總有它明確的研究對(duì)象.,總體 ,個(gè)體總體中每個(gè)成員（元素）稱(chēng)為個(gè)體.,所抽取的部分個(gè)體稱(chēng)為樣本.,組成樣本的個(gè)體稱(chēng)為樣品。,1、樣本均值,設(shè),是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，,2、樣本方差,40,二、極大似然估計(jì)法:,事件 發(fā)生的概率為,為 的函數(shù)，,形式已知,(如離散型) X的分布列為,的聯(lián)合分布列為：,為樣本的似然函數(shù)。,定義7.1,41,若總體X屬連續(xù)型, 其概率密度,的形式已知，,為待估參數(shù)；,則,的聯(lián)合密度：,一般，,關(guān)于可微，故可由下式求得：,因此,的極大似然估計(jì)也可從下式解得：,在同一點(diǎn)處取極值。,42,43,則,結(jié)論：設(shè)為來(lái)自總體 的一個(gè)樣本，,任何總

12、體的樣本矩都是統(tǒng)計(jì)量。,44,的證明都可以在教材上找到.,當(dāng)總體為正態(tài)分布時(shí)，,教材上給出了幾個(gè)重要的,抽樣分布定理.,這里我們不加證明地?cái)⑹?,幾個(gè)定理,定理 1 (樣本均值的分布),設(shè) X1,X2,Xn 是取自正態(tài)總體,則有,的樣本，,n取不同值時(shí)樣本均值 的分布,三、幾個(gè)重要的抽樣分布定理,45,對(duì)于給定的 算出1-,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表便可求得,46,設(shè) X1, X2, , Xn 是取自正態(tài)總體,分別為樣本均值和樣本方差,則有,的樣本,的分布,定理 2 (樣本方差的分布),47,分布,分布是由正態(tài)分布派生出來(lái)的一種分布.,定義: 設(shè)隨機(jī)變量,相互獨(dú)立,都服從,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1), 則

13、稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量：,所服從的分布為自由度為 n1 的,分布.,分布的密度函數(shù)為,48,c2 分布的分位點(diǎn),對(duì)于給定的正數(shù),稱(chēng)滿(mǎn)足條件,分位點(diǎn).,分布的上,來(lái)定義.,通過(guò)積分,其中伽瑪函數(shù),的點(diǎn),49,設(shè) X1, X2 , Xn 是取自正態(tài)總體,的樣本,分別為樣本均值和樣本方差, 則有,（與樣本均值和樣本方差有關(guān) 的一個(gè)分布）,定理 3,定義: 設(shè)XN(0,1) , Y , 且X與Y相互獨(dú)立，則稱(chēng)變量,所服從的分布為自由度為 n的 t 分布.,記為T(mén) .,50,t 分布的分位點(diǎn),對(duì)于給定的正數(shù),稱(chēng)滿(mǎn)足條件,的點(diǎn),為,分位點(diǎn)”。,分布的“上,51,四、正態(tài)總體均值和方差的區(qū)間估計(jì),設(shè),為總體,的樣本，,分

14、別是樣本均值和樣本方差。,1、已知2時(shí)，的置信區(qū)間,設(shè),2、未知2時(shí)，的置信區(qū)間,則的置信度為1的置信區(qū)間為,52,3、方差2的置信區(qū)間,這就是2的置信度為1的置信區(qū)間。,53,提出原假設(shè)和備擇假設(shè),第一步：,1、已知,第二步：,取統(tǒng)計(jì)量，在H0成立下求出它的分布,第三步：,查表確定臨界值,使,對(duì)給定的顯著性水平,均值假設(shè)檢驗(yàn)過(guò)程分為五個(gè)步驟：,或,得H0否定域,一、單個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn),設(shè)總體,其樣本為,54,選擇假設(shè)H1 表示U可能大于0，也可能小于0。,這稱(chēng)為雙邊假設(shè)檢驗(yàn)。,由于取用的統(tǒng)計(jì)量服從 U分布，,第五步：判斷,則否定H0，接受H1,則H0相容，接受H0,故稱(chēng)其為,U檢驗(yàn)法

15、。,第四步：,將樣本值 代入算出統(tǒng)計(jì)量,55,2、未知2，均值的假設(shè)檢驗(yàn),未知2，可用樣本方差,代替2,檢驗(yàn)步驟,提出原假設(shè)和備擇假設(shè),第一步：,第二步：,取一檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在H0成立下求出它的分布,第三步：,查表確定臨界值,使,對(duì)給定的顯著性水平,確定H0的否定域。,56,即“ ”是一個(gè)小概率事件 .,或,由于取用的統(tǒng)計(jì)量服從t分布，,第四步：,得H0否定域,將樣本值 代入算出統(tǒng)計(jì)量,第五步：判斷,則否定H0，接受H1,則H0相容，接受H0,故稱(chēng)其為t 檢驗(yàn)法。,57,提出假設(shè),取統(tǒng)計(jì)量,當(dāng)H0成立有,或,是小概率事件。,在顯著性水平條件下檢驗(yàn)假設(shè),則H0相容。,二、單個(gè)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)

16、,58,三、兩個(gè)正態(tài)總體均值差的雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn),59,提出原假設(shè)和備擇假設(shè),第一步：,第二步：,取統(tǒng)計(jì)量，在H0成立下求出它的分布,第三步：,查表確定臨界值,使,對(duì)給定的顯著性水平,假設(shè)檢驗(yàn)過(guò)程分為五個(gè)步驟：,其中,60,第四步：,將樣本值 代入算出統(tǒng)計(jì)量,其中,61,第五步：判斷,則否定H0，接受H1,則H0相容，接受H0,62,四、兩個(gè)正態(tài)總體方差比的雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn),63,提出原假設(shè)和備擇假設(shè),第一步：,第二步：,取統(tǒng)計(jì)量，在H0成立下求出它的分布,第三步：,查表確定臨界值,使,對(duì)給定的顯著性水平,假設(shè)檢驗(yàn)過(guò)程分為五個(gè)步驟：,及,64,第四步：,將樣本值 代入算出統(tǒng)計(jì)量,第五步：判斷,若,或,

17、則否定H0，接受H1,若,則H0相容，接受H0,65,例：某行業(yè)進(jìn)行專(zhuān)業(yè)勞動(dòng)技能考核，一個(gè)月安排一次，每人最多參加3次；某人第一次參加能通過(guò)的概率為60%；如果第一次未通過(guò)就去參加第二次，這時(shí)能通過(guò)的概率為80%；如果第二次再未通過(guò)，則去參加第三次，此時(shí)能通過(guò)的概率為90%。求這人能通過(guò)考核的概率。,65,解： 設(shè) Ai= 這人第i次通過(guò)考核 ，i=1,2,3 A= 這人通過(guò)考核 ，,亦可：,典型例題,66,例：一單位有甲、乙兩人，已知甲近期出差的概率為80%，若甲出差，則乙出差的概率為20%；若甲不出差，則乙出差的概率為90%。(1)求近期乙出差的概率； (2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。,66,Bayes公式,全概率公式,解：設(shè)A=甲出差，B=乙出差,67,67,例3：設(shè)X的概率密度為 (1)求常數(shù)c的值； (2) 寫(xiě)出X的概率分布函數(shù)； (3) 要使 求k的值。 解：,68,68,例：,解：,例：,解：,69,例 設(shè)隨機(jī)變量 的概率密度為,（1）確定常數(shù) ； （2）求 ； （3）求 ； （4）求,70,解：（1）由 得,所以：,（2）,71,（3）,（4）在 的區(qū)域 ： 上作直線(xiàn) ，并記 則,7