1、4.2數(shù)列大題,-2-,-3-,-4-,-5-,-6-,1.由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式 (1)形如an+1=an+f(n),利用累加法求通項. (2)形如an+1=anf(n),利用累乘法求通項. (3)形如an+1=pan+q,等式兩邊同時加 轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項.,-7-,2.數(shù)列求和的常用方法 (1)公式法:利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式. (2)錯位相減法:適合求數(shù)列anbn的前n項和Sn,其中an,bn一個是等差數(shù)列,另一個是等比數(shù)列. (3)裂項相消法:即將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和,通過累加抵消中間若干項的方法. (4)拆項分組法:先把數(shù)列的每一項拆成兩項(或多項),再重

2、新組合成兩個(或多個)簡單的數(shù)列,最后分別求和. (5)并項求和法:把數(shù)列的兩項(或多項)組合在一起,重新構(gòu)成一個數(shù)列再求和,適用于正負相間排列的數(shù)列求和.,4.2.1等差、等比數(shù)列的綜合問題,-9-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,等差(比)數(shù)列的判斷與證明 例1已知數(shù)列an滿足an+1=2an+n-1,且a1=1. (1)求證:數(shù)列an+n為等比數(shù)列; (2)求數(shù)列an的前n項和Sn.,-10-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解題心得1.判斷和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的三種方法. (1)定義法:對于n1的任意自然數(shù),驗證an+1-an 為同一常數(shù). (2)通項公式法:若a

3、n=kn+b(nN*),則an為等差數(shù)列;若an=pqkn+b(nN*),則an為等比數(shù)列. (3)中項公式法:若2an=an-1+an+1(nN*,n2),則an為等差數(shù)列;若 =an-1an+1(nN*,n2),則an為等比數(shù)列. 2.對已知數(shù)列an與Sn的關(guān)系,證明an為等差或等比數(shù)列的問題,解題思路是:由an與Sn的關(guān)系遞推出n+1時的關(guān)系式,兩個關(guān)系式相減后,進行化簡、整理,最終化歸為用定義法證明.,-11-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,對點訓(xùn)練 1設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項和,已知S2=2,S3=-6. (1)求an的通項公式; (2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,S

4、n+2是否成等差數(shù)列.,-12-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,等差數(shù)列的通項及求和 例2(2018北京卷,文15)設(shè)an是等差數(shù)列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2. (1)求an的通項公式;,-13-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解: (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d, a2+a3=5ln 2. 2a1+3d=5ln 2, 又a1=ln 2,d=ln 2. an=a1+(n-1)d=nln 2. (2)由(1)知an=nln 2.,-14-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解題心得已知等差數(shù)列前幾項或者前幾項的關(guān)系,求其通項及前n項和時,只需利用等差數(shù)列

5、的通項公式及求和公式得到幾個方程求解即可.,-15-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,對點訓(xùn)練 2(2018全國卷2,文17)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求an的通項公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值.,解: (1)設(shè)an的公差為d,由題意得3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2. 所以an的通項公式為an=2n-9. (2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以當(dāng)n=4時,Sn取得最小值,最小值為-16.,-16-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,等比數(shù)列的通項及求和 例3(2018全國卷3,文17)等比數(shù)列a

6、n中,a1=1,a5=4a3. (1)求an的通項公式; (2)記Sn為an的前n項和,若Sm=63,求m.,解: (1)設(shè)an的公比為q, 由題設(shè)得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. (2)若an=(-2)n-1,則 .由Sm=63得(-2)m=-188,此方程沒有正整數(shù)解.若an=2n-1,則Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.綜上,m=6.,-17-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解題心得已知等比數(shù)列前幾項或者前幾項的關(guān)系,求其通項及前n項和時,只需利用等比數(shù)列的通項公式及求和

7、公式得到幾個方程求解即可.,-18-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,對點訓(xùn)練 3(2018北京朝陽期末,文15)已知由實數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列an滿足a1=2,a1+a3+a5=42. (1)求數(shù)列an的通項公式; (2)求a2+a4+a6+a2n.,-19-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,等差、等比數(shù)列的綜合問題 例4(2018北京海淀模擬,文15)已知等差數(shù)列an的前n項和Sn,且a2=5,S3=a7. (1)數(shù)列an的通項公式; (2)若bn= ,求數(shù)列an+bn前n項和.,-20-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-21-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,

8、解題心得對于等差、等比數(shù)列的綜合問題,解決的思路主要是方程的思想,即運用等差、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式將已知條件轉(zhuǎn)化成方程或方程組,求出首項、公差、公比等基本量,再由基本量求出題目要求的量.,-22-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,對點訓(xùn)練4已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,等比數(shù)列bn的前n項和為Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若a3+b3=5,求bn的通項公式; (2)若T3=21,求S3.,解 (1)設(shè)an的公差為d,bn的公比為q,則an=-1+(n-1)d,bn=qn-1. 由a2+b2=2得d+q=3. 由a3+b3=5,得2d+q2=6. 因

9、此bn的通項公式為bn=2n-1. (2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0,解得q=-5或q=4. 當(dāng)q=-5時,由得d=8,則S3=21. 當(dāng)q=4時,由得d=-1,則S3=-6.,-23-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的問題,例5(2018全國卷1,文17)已知數(shù)列an滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an.設(shè) (1)求b1,b2,b3; (2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列,并說明理由; (3)求an的通項公式.,-24-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解題心得無論是求數(shù)列的通項還是求數(shù)列的前n項和,通過變形、整理后,能夠把數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,進而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式或求和公