1、第6章 數(shù)值積分與數(shù)值微分,劉東毅 天津大學理學院數(shù)學系,第6章 數(shù)值積分與數(shù)值微分,主要目的： 討論數(shù)值積分的基本理論與方法 代數(shù)精度的概念 數(shù)值穩(wěn)定性 插值型數(shù)值積分的思想 復(fù)化求積方法的思想 變步長的求積方法 Guass 求積公式 討論求數(shù)值微分的各種方法,主要內(nèi)容: 數(shù)值積分公式及其代數(shù)精度 插值型數(shù)值積分公式 與 Newton-Cotes 公式 復(fù)化求積法 變步長的梯形公式 與 Romberg 算法 Guass 求積公式 數(shù)值微分,6.1 數(shù)值積分公式及其代數(shù)精度,1.數(shù)值積分公式的定義：,作為 的近似值,稱上式為數(shù)值積分公式。 xk (k = 0 , 1 , . . . , n)

2、稱為求積節(jié)點。權(quán) Ak 又稱求積系數(shù), Ak 僅與 xk 的選取有關(guān)。,稱 為數(shù)值求積公式的余項。,(6.1.1),2.數(shù)值積分公式的代數(shù)精度,利用余項 R(f) 可以描述數(shù)值積分公式的精度, 而刻畫其精度的另一概念是代數(shù)精度.,定義6.1.1 若數(shù)值積分公式對于一切次數(shù) m 的代數(shù)多項式, 都準確成立, 稱其至少具有 m 次代數(shù)精度; 若數(shù)值積分公式對于一切次數(shù)m 的代數(shù)多項式都準確成立, 而對于某個 m +1 次代數(shù)多項式不準確成立, 則稱此求積公式具有m 次代數(shù)精度.,定理6.1.1 數(shù)值積分公式具有 m 次代數(shù)精度的充分必要條件是當 f (x) =1, x , x2 , . . . ,

3、 xm 時數(shù)值積分公式準確成立, 而當 f (x) = xm+1 時其不準確成立.,按以上定義易知,中的待定系數(shù) A0 , x1 , A1 , 使其代數(shù)精度盡量高, 并指出所確定的求積公式的代數(shù)精度.,解：令 f (x) = 1 , x , x2 使之準確成立, 則有,例6.1.1. 確定下列數(shù)值積分公式,取 f (x) = x3 時, 上式左邊 = 右邊 = 1/4 。,取 f (x) = x4 時，上式左邊 = 1/5，右邊 = 5/24， 左邊 右邊。 所以確定的求積公式具有3 次代數(shù)精度。,6.2 插值型數(shù)值積分公式與 Newton-Cotes 公式,插值型數(shù)值積分公式 設(shè) f (x)

4、 在插值節(jié)點 a x0 x1 . . . xn b 處的函數(shù)值為f (xk) (k = 0 , 1 , . . . , n ) ,作 n 次 Lagrange 插值多項式,于是,其中,定義6.2.1 對于數(shù)值積分公式 (6.1.2),易知插值型數(shù)值積分公式的余項為,(6.2.3),若其求積系數(shù),其中l(wèi)k(x)是n次Lagrange插值基函數(shù)，則稱該數(shù)值積分公式是插值型的數(shù)值積分公式.,定理 6.2.1 插值型數(shù)值積分公式至少具有n 次代數(shù)精度。,特別地,當 時,可得,2. Newton-Cotes公式,將區(qū)間 a , b 分為 n 等分, 步長 , 取等距節(jié)點,利用這些節(jié)點處的函數(shù)值 f (x

5、k) 作 f (x) 的 n 次 Lagrange 插值公式,則有,其中 。,Newton-Cotes 公式是等距節(jié)點插值型求積公式.,令 x = a + th , 由,因此有,上式稱為 Newton-Cotes 公式, 稱為 Cotes 系數(shù)。,可求得,其中,Cotes 系數(shù)滿足：,n = 18 的Cotes系數(shù),當 n = 1 時, 可得到基本梯形公式,當 n = 2 時, 可得到基本 Simpson 公式,當 n = 4 時, 可得基本 Cotes 公式,其中,可以證明當 n 為偶數(shù)時 Newton-Cotes公式至少 具有 n+1 次代數(shù)精度,可證明其具有一次代數(shù)精度.,可證明其具有3

6、次代數(shù)精度.,可證明其具有5次代數(shù)精度.,Newton-Cotes公式的余項,當 時, 基本梯形公式的余項,當 時, 基本Simpson 公式的余項,當 時, 基本Cotes 公式的余項,Newton-Cotes公式數(shù)值穩(wěn)定性,什么是數(shù)值穩(wěn)定性？,設(shè)在節(jié)點 xk ( k = 0, 1, . . ., n ) 處 f (x) 的精確值為 f (xk),而實際參加運算的近似值為 ,對于某一給定的算法，原始數(shù)據(jù)的誤差為，且假設(shè)在運算過程中的其他誤差都是由引起的，如果誤差在一定條件下能夠得到控制，即數(shù)值計算結(jié)果的誤差至多是原始數(shù)據(jù)誤差的同階無窮小量，則稱該算法是數(shù)值穩(wěn)定的；否則稱該算法是數(shù)值不穩(wěn)定的。

7、,令,利用 Newton-Cotes 公式求解, 由此引起的計算結(jié)果的絕對誤差為,若 同號,則有,這表明, 由輸入數(shù)據(jù) f (xk) 的誤差 被 控制,當 不同號時, 盡管 但 仍可能很大,從表 中可以看出, 當 n8時,它們不同號, 故一般不采用n8 的 Newton-Cotes公式.,此時,此時是數(shù)值積分公式是穩(wěn)定的。,6.3 復(fù)化求積法,若積分區(qū)間較長, 直接利用梯形公式、Simp -son公式或 Cotes 公式計算, 則誤差較大, 為了提高精度, 通常采用復(fù)化求積方法。,首先將區(qū)間a , b n等分, 步長 分點坐標為 xk = a+kh，(k = 0, 1, . . ., n) 。

8、然后在每個小子區(qū)間 xk , xk+1 (k = 0 , 1, . . . , n-1)上應(yīng)用數(shù)值積分公式求得積分的近似值 Ik ,將 Ik 求和便得到復(fù)化求積公式.,1.幾個常用的復(fù)化求積法,余項,注：由以上各余項公式很容易看出，當h 0時，Tn(Sn或Cn) I ( f )。,復(fù)化 Cotes 公式,而實際上，根據(jù)黎曼積分的定義，只要f (x)可積即可。,定義6.3.1 若復(fù)化求積公式 In ( f ) 滿足,（C 為定常數(shù)) ,則稱該求積公式 In ( f ) 是 P 階收斂的.,可知：復(fù)化梯形公式, 復(fù)化 Simpson 公式和復(fù)化 Cotes 公式分別為 2 階, 4 階, 6階收斂

9、的.,為了描述隨著區(qū)間等分個數(shù)n時，In ( f ) 逼近I ( f ) 的程度，我們引入收斂階的概念。,例6.3.1 利用復(fù)化梯形公式和simpson公式計算,，為使誤差不超過10-5，需要將各分為多少等份，由此可得出什么結(jié)論？,解：利用復(fù)化梯形公式余項公式，有：,為使誤差不超過10-5, 如何做？,令：,，于是,，,解得 。,即至少需要將區(qū)間 分509等份。,類似地，利用復(fù)化Simpson公式余項公式，有：,即至少需要將區(qū)間 11等分。,解得 。,由于利用復(fù)化Simpson公式計算時，又要用到每一個小區(qū)間的中點，故實際至少需要將區(qū)間 分22等份。,由此可以看出，在精度相同的條件下，復(fù)化Si

10、mpson公式要利用23個函數(shù)值，而復(fù)化梯形公式要利用510個函數(shù)值。利用復(fù)化Simpson公式計算時，計算量要少得多。,例6.3.2 利用復(fù)化求積公式計算積分,解：,(1) 將區(qū)間 0, 1 8等分, 步長 分點,采用復(fù)化梯形計算, 求得,(2) 將區(qū)間 0, 1 4等分, 步長 采用復(fù)化 Simpson 公式計算, 仍然利用原來 9 個分點處的函數(shù)值, 求得,這兩種方法計算量基本相同, 但所得到的結(jié)果與真值= 3.1415926 . 比較可以看出復(fù)化 Simpson 公式求得的結(jié)果要精確得多.,6.4 變步長的梯形公式與Romberg算法,1.變步長的梯形公式 復(fù)化求積公式稱為定步長的求積

11、公式，它對提高精度是行之有效的。但對于給定的精度，要確定一個合適的步長往往難以辦到。因此實際上一般常采用變步長的求積公式。即讓步長逐次折半的過程中，反復(fù)使用復(fù)化求積公式進行計算，直到相鄰兩次計算結(jié)果之差的絕對值小于允許精度的要求時終止計算，這種方法稱為變步長的求積方法。,例如: 對于積分,采用變步長的梯形公式進行計算.,將區(qū)間 a , b n 等分 , 步長 , 按復(fù)化梯形公式,計算時, 需調(diào)用 n +1 個函數(shù)值。,現(xiàn)在將 h 折半, 再將上述每個區(qū)間 xk , xk+1 對分一次, 分點增至 2n + 1 個, 設(shè)上述小子區(qū)間的中點為,在 xk , xk+1 上用復(fù)化梯形公式并求和得,上式

12、稱為變步長的梯形公式. 即在求 T2n 時, 可以利用前面已求出的結(jié)果Tn , 剩下的僅僅需要求出 n 個新分點處的函數(shù)值.,注意：h = xk+1-xk,變步長的梯形公式的算法,Step 1. 給定精度 0，m為正整數(shù)，步長h =(b - a)/2m。,即將積分區(qū)間分割成2m等份。,將每一個小子區(qū)間二等分，即步長折半。,例6.4.1 用變步長的梯形公式計算積分（精確到10-6）,解: 對于 , 定義 f (0) = 1, 首先在區(qū)間 0 , 1 上用梯形公式（即步長 h = 1）,求得,將 0 , 1 對分, 它的中點函數(shù)值 , 則有,如此繼續(xù)下去, 計算結(jié)果如下表,從上表可看出, 將積分區(qū)

13、間對分了10次, 求得 I 的近似值為0.9460831 (積分精確值為0.9460831. . . ), 可見收斂速度比較緩慢。,2. Richardson外推算法,若用一個步長為 h 的函數(shù) I1( h ) 去逼近問題 I , 設(shè)其 截斷誤差可表示為,為了提高逼近的精度，選取 q 為滿足 的 正數(shù), 將上式(1)中的 h 換為 qh , 則有,(1),(2),(2) 式減上式 , 得,則 I2(h) 逼近I 誤差降為,，,如此繼續(xù)。,一般地, 選取 q 為滿足 的正數(shù), 由此得到序列,則 Im+1 ( h ) 逼近 I 的誤差由下面的定理給出。,定理 6.4.1 設(shè) I1 ( h ) 逼近

14、 I 的截斷誤差由下式給出,則 Im+1 ( h )逼近 I 的截斷誤差為,其中 是與 h 無關(guān)的常數(shù)。,這種利用序列Im+1(h) 逐步加速去逼近 I 的方法 稱為Richardson外推算法,Richardson外推公式,3. Romberg 算法,Romberg 算法是利用變步長的梯形求積序列 外推加速來逼近積分真值的算法.,考慮積分,由復(fù)化梯形公式有,現(xiàn)在將 Tn 記為 T1( h ), 即,設(shè) f (x) 在區(qū)間 a , b 上任意次可微, 根據(jù) Euler-Maclaurin公式有,其中 是與 h 無關(guān)的常數(shù)。,因為Pm = 2m , 帶入上式整理后得,易知 Tm+1( h ) 逼

15、近 I 的誤差為 O ( h2(m+1) ) ，這種算法稱為 Romberg算法。,，,。,則有,選取 利用 Richardson 外推公式,知T2 ( h ) = Sn，,當m =1時，由上式得,則 T2 ( h ) 逼近 I 的誤差為 O ( h4 )。,由 T1 ( h ) = Tn 和,故有,這是因為,從二分前后兩個復(fù)化梯 形值生成復(fù)化 Simpson 值 Sn , 將誤差 O( h2 )變 為O( h4 ), 從而提高了逼 近精度,當 m = 2 時 ,則 T3 ( h ) 逼近 I 的誤差為 O ( h6 )。,由T2 ( h ) = Sn ,可以證明 T3 ( h ) = Cn

16、, 故有,能從二分前后兩個復(fù)化Simpson值生成復(fù)化Cotes值Cn ,將誤差O( h4 )變?yōu)镺( h6 ), 從而提高了逼近精度。,則 T4 ( h ) 逼近 I 的誤差為 O ( h8 )。,上式稱為 Romberg 公式, 利用此公式能從二分前后的兩個復(fù)化 Cotes值生成 Romberg 值 Rn , 且 Rn 逼近 I 的誤差為 O ( h8 ) .,由 T3 ( h ) = Cn 知,則有,令 Rn = T4 ( h )，,當 m = 3 時 ,這樣可以從變步長的梯形序列 出發(fā), 可逐次 求 得 Simpson 序列 , Cotes 序列 , Romberg 序列 ，利用 Romberg 序列 還可以繼續(xù)外推，但由于繼續(xù)外推后構(gòu)成的新的求積序列與原來的序列差別不大, 故通常只外推到 Romberg 序列為止。, T 1, T 2, T 4, T 8, S 1, S 2, S 4, C 1, C 2, R 1,其中 表示計算順序,k代表二分次數(shù).,如果 f ( x ) 在區(qū)間 a , b 上充分光滑, 可以證明上表中各列都收斂到積分 所以當同一列中相鄰兩個數(shù)之差的絕對值小于預(yù)給精度時終止計算.,Romberg 算法的計算過程,例6.4.2 用 Romberg 算法計算下列積分,解: 由變步長梯形公式求得二分 3