1、第一章 常用邏輯用語,1命題,一,二,思考辨析,一、命題,一,二,思考辨析,名師點(diǎn)撥1.并不是任何語句都是命題,只有那些能判斷真假的語句才是命題.一般來說,疑問句、祈使句、感嘆句都不是命題. 2.對(duì)于含有變量的語句,要注意根據(jù)變量的取值范圍,看能否判斷真假,若能,就是命題;若不能,就不是命題. 3.數(shù)學(xué)中的定義、公理、公式、定理都是命題,但命題不一定都是定理,因?yàn)槊}有真假之分,而定理一定是真命題. 4.數(shù)學(xué)上有一些命題雖然表面上不是“若p,則q”的形式,但可以將它的表述做適當(dāng)改變,寫成“若p,則q”的形式,從而得到該命題的條件和結(jié)論.,一,二,思考辨析,解析:(1)不能判斷真假,故不是命題;

2、(2)(3)(4)都可以判斷真假,故都是命題.因?yàn)槭敲}的序號(hào)為(2)(3)(4).故填(2)(3)(4). 答案:(2)(3)(4),【做一做2】 把下列命題改寫成“若p,則q”的形式. (1)偶數(shù)能被2整除.,解:(1)若一個(gè)數(shù)是偶數(shù),則這個(gè)數(shù)能被2整除.,一,二,思考辨析,二、四種命題及其關(guān)系 1.四種命題之間的關(guān)系,一,二,思考辨析,2.四種命題的真假關(guān)系 四種命題的真假性,有且僅有下面的四種情況:,四種命題的真假性之間的關(guān)系如下: (1)兩個(gè)命題互為逆否命題,它們有相同的真假性; (2)兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒有關(guān)系.,一,二,思考辨析,特別提醒1.“逆命題、否命

3、題、逆否命題”都是相對(duì)于原命題而言的,都是相對(duì)概念,如命題“若x2,則x24”相對(duì)于命題“若x=2,則x2=4”是否命題,而相對(duì)于命題“若x2=4,則x=2”則是逆否命題. 2.不是“若p,則q”形式的命題,最好先改寫成“若p,則q”的形式,再討論其他三種命題,這樣容易分清條件和結(jié)論.,一,二,思考辨析,【做一做3】 “若xy,則x2y2”的逆否命題是() A.若xy,則x2y2B.若xy,則x2y2 C.若x2y2,則xyD.若xy,則x2y2 答案:C,一,二,思考辨析,【做一做4】 已知命題:“若x0,y0,則xy0”,則原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四個(gè)命題中,真命題的個(gè)數(shù)為()

4、A.1B.2C.3D.4 解析:原命題是“x0,y0 xy0”. 原命題正確, 它的逆否命題也是正確的. 逆命題為“若xy0,則x0,y0”. xy0時(shí)也可能x0,y0, 故逆命題為假命題,而否命題與逆命題是等價(jià)命題, 否命題也為假命題,故真命題有兩個(gè). 答案:B,一,二,思考辨析,判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“”,錯(cuò)誤的打“”. (1)含有變量的語句也可能是命題. () (2)如果一個(gè)語句判斷為假,那么它就不是命題. () (3)有些命題在形式上可以不是“若p,則q”的形式. (),探究一,探究二,探究三,思維辨析,命題的判斷 【例1】 下列語句是不是命題?若是,判斷其真假;

5、若不是,請(qǐng)說明理由. (1)矩形是平行四邊形; (2)垂直于同一條直線的兩條直線一定平行嗎? (3)一個(gè)數(shù)不是合數(shù)就是質(zhì)數(shù); (4)大角所對(duì)的邊大于小角所對(duì)的邊; (5)若x+y是有理數(shù),則x,y都是有理數(shù); (6)求證方程x2+x+1=0無實(shí)根. 思維點(diǎn)撥:判斷一個(gè)語句是不是命題,就是看它能否判斷真假,一個(gè)命題不是真就是假,二者必居其一,而不能模棱兩可;不能辨別真假的語句,一定不是命題.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解:(1)是命題,是真命題. (2)不是命題,沒有對(duì)垂直于同一條直線的兩條直線平行與否進(jìn)行判斷. (3)是命題,1既不是合數(shù)也不是質(zhì)數(shù),是假命題. (4)是命題,在同一個(gè)三

6、角形或全等三角形中才符合上述結(jié)論,是假命題. (5)是命題,是假命題. (6)不是命題,因?yàn)樗瞧硎咕?不涉及真假. 反思感悟判定一個(gè)語句是不是命題,主要把握以下兩點(diǎn): (1)含義模糊不清,不能辨其真假的語句,不是命題.另外,在語句中含有比喻、形容等詞的詞義模糊不清的,都不是命題. (2)不要誤以為判斷為假的語句不是命題,只不過它是假命題而已.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練1判斷下列語句是不是命題,若是,判斷其真假,并說明理由. (1)請(qǐng)你把這道題解出來. (2)若xR,則x2+4x+40. (3)你是高一的學(xué)生嗎? (4)并非所有的人都喜歡蘋果. (5)方程x2-5x+6=0的

7、根是x=2. (6)60 x+94.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解:(1)是祈使句,不是命題. (2)x2+4x+4=(x+2)20,可以判斷真假,是命題,且是真命題. (3)是疑問句,不涉及真假,不是命題. (4)是命題,真命題,有的人喜歡蘋果,有的人不喜歡蘋果. (5)是命題,假命題,因?yàn)檫€有一根是x=3. (6)不是命題,這種含有未知數(shù)的語句,在沒有給定變量的值之前,是無法確定其真假的.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,命題的結(jié)構(gòu) 【例2】 指出下列命題中的條件p和結(jié)論q. (1)若a,b,c成等差數(shù)列,則2b=a+c. (2)若兩個(gè)三角形相似,則它們的對(duì)應(yīng)角相等. (3)偶函

8、數(shù)的圖像關(guān)于y軸成軸對(duì)稱. (4)菱形的對(duì)角線互相垂直. 思維點(diǎn)撥:一般而言,“若”“如果”“只要”后面是條件,“則”“那么”“就有”后面是結(jié)論. 解:(1)條件p:a,b,c成等差數(shù)列,結(jié)論q:2b=a+c. (2)條件p:兩個(gè)三角形相似,結(jié)論q:這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等. (3)條件p:一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù),結(jié)論q:這個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于y軸成軸對(duì)稱. (4)條件p:一個(gè)四邊形是菱形,結(jié)論q:該四邊形的對(duì)角線互相垂直.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟當(dāng)一個(gè)命題的條件和結(jié)論不是很明顯時(shí),我們可以把它的表述作適當(dāng)改變,寫成“若p,則q”的形式,如(3)改寫成“如果一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù),那么它的

9、圖像關(guān)于y軸成軸對(duì)稱”,再分別指出條件p、結(jié)論q.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練2把下列命題寫成“若p,則q”的形式,并指出條件與結(jié)論. (1)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例; (2)當(dāng)0a1時(shí),函數(shù)y=ax是減函數(shù); (3)平行于同一個(gè)平面的兩平面平行. 解:(1)若兩個(gè)三角形相似,則它們的對(duì)應(yīng)邊成比例. 條件p:兩個(gè)三角形相似,結(jié)論q:兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例. (2)若0a1,則函數(shù)y=ax是減函數(shù). 條件p:0a1,結(jié)論q:函數(shù)y=ax是減函數(shù). (3)若兩個(gè)平面平行于同一個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行. 條件p:兩個(gè)平面平行于同一個(gè)平面,結(jié)論q:這兩個(gè)平面平行.,探究一,探究二,探

10、究三,思維辨析,四種命題及其關(guān)系 【例3】寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷其真假. (1)等底等高的兩個(gè)三角形是全等三角形; (2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并平分弦所對(duì)的弧; (3)若m0或n0,則m+n0. 思維點(diǎn)撥:判斷命題的真假要抓住原命題與逆否命題是等價(jià)命題,否命題與逆命題是等價(jià)命題.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解:(1)逆命題:若兩個(gè)三角形全等,則這兩個(gè)三角形等底等高,真命題. 否命題:若兩個(gè)三角形不等底或不等高,則這兩個(gè)三角形不全等,真命題. 逆否命題:若兩個(gè)三角形不全等,則這兩個(gè)三角形不等底或不等高,假命題. (2)逆命題:若一條直線經(jīng)過圓心,且平分弦所對(duì)的

11、弧,則這條直線是弦的垂直平分線.真命題. 否命題:若一條直線不是弦的垂直平分線,則這條直線不經(jīng)過圓心或不平分弦所對(duì)的弧.真命題. 逆否命題:若一條直線不經(jīng)過圓心或不平分弦所對(duì)的弧,則這條直線不是弦的垂直平分線.真命題.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,(3)逆命題:若m+n0, 則m0或n0.真命題. 否命題:若m0,且n0, 則m+n0.真命題. 逆否命題:若m+n0, 則m0,且n0.假命題. 反思感悟命題的四種形式之間的關(guān)系,提供了一個(gè)判斷命題真假的變通手段,由于互為逆否命題的兩個(gè)命題是等價(jià)命題,它們同真或同假,所以當(dāng)一個(gè)命題不易判斷時(shí),可以通過判斷其逆否命題的真假來判斷原命題的真假,

12、如判斷“若ab0,則a0或b0”的真假,直接去看,是不易判斷其真假的,但判斷其逆否命題“若a0,且b0,則ab0”就容易多了.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練3給出下列命題: “等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都是60”的逆命題; “若k0,則一元二次方程x2+2x-k=0有實(shí)根”的逆否命題; “全等三角形的面積相等”的否命題. 其中真命題的個(gè)數(shù)是() A.0B.1C.2D.3 解析:中的逆命題為“三個(gè)內(nèi)角都是60的三角形是等邊三角形”,顯然這是真命題; 中,由k0,得=4+4k0,因此一元二次方程x2+2x-k=0有實(shí)根,因此原命題正確,再根據(jù)原命題與其對(duì)應(yīng)的逆否命題同真同假,故為真命題;

13、為假命題,也就是說“不全等的三角形,面積不相等”是錯(cuò)誤的. 答案:C,探究一,探究二,探究三,思維辨析,改寫命題時(shí)忽略大前提致誤 【典例】 將命題“當(dāng)a0時(shí),函數(shù)y=ax+b的值隨x的增大而增大”寫成“若p,則q”的形式,并寫出其否命題. 易錯(cuò)分析:原命題有兩個(gè)條件:“a0”和“x增大”,其中“a0”是大前提,將原命題改寫為“若p,則q”的形式時(shí),要把“a0”置于“若”字的前面,把“x增大”作為條件.在寫其他命題時(shí),“a0”都必須置于“若”字的前面. 正解:“若p,則q”的形式:當(dāng)a0時(shí),若x增大,則函數(shù)y=ax+b的值也增大. 否命題:當(dāng)a0時(shí),若x不增大,則函數(shù)y=ax+b的值也不增大.,

14、探究一,探究二,探究三,思維辨析,糾錯(cuò)心得1.含有大前提的命題,改寫成“若p,則q”的形式時(shí),要注意其書寫格式為“大前提,若p,則q”. 2.對(duì)于含有大前提的命題,在寫其他三種命題時(shí),應(yīng)保持大前提不變.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練命題“已知x,y為正整數(shù),當(dāng)y=x+1時(shí),y=3,x=2”的逆否命題為. 答案:已知x,y為正整數(shù),若y3且x2,則yx+1,1 2 3 4,1.下列語句中,不能稱為命題的是() A.512 B.x0 C.若ab,則a+cb+c D.三角形的三條中線交于一點(diǎn) 解析:分析各語句能否判斷出真假,選項(xiàng)A能判斷為假,選項(xiàng)C,D能判斷為真,而選項(xiàng)B中,因?yàn)樵诮ox

15、賦值之前,不能判斷x0的真假,所以x0不是命題. 答案:B,1 2 3 4,2.給出命題:“已知a,b,c,d是實(shí)數(shù),若ab,且cd,則a+cb+d.”對(duì)原命題、逆命題、否命題、逆否命題而言,其中的真命題有個(gè). 解析:從表面上看需要判定原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四個(gè)命題的真假,若利用互為逆否命題的等價(jià)性,其實(shí)只需要判定兩個(gè)命題的真假就可以了.為了簡(jiǎn)化解題過程,我們采用特例法. 令a=1,b=2,c=4,d=3滿足ab,且cd這一條件,但是有a+c=5=b+d這一結(jié)論成立,故原命題是錯(cuò)誤的,當(dāng)然其逆否命題也是錯(cuò)誤的.原命題的否命題為“若a=b或c=d,則a+c=b+d”,令a=b=1,c=2,d=3,則a+cb+d,這說明其否命題是錯(cuò)誤的,從而其逆命題也是錯(cuò)誤的. 答案:0,1 2 3 4,3.逆否命題為“菱形的對(duì)角線互相垂直”的原命題是.