1、4.1 數(shù)學期望,一、數(shù)學期望的概念 二、隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望 三、數(shù)學期望的性質,一、數(shù)學期望的概念,1、離散型隨機變量的數(shù)學期望,引例1 分賭本問題(產(chǎn)生背景),A, B兩人賭技相同, 各出賭金100元, 并約定先勝三局者為勝, 取得全部200元。由于出現(xiàn)意外情況, 在A勝2局B勝1局時, 不得不終止賭博, 如果要分賭金, 該如何分配才算公平?,A 勝 2 局 B 勝 1 局,前三局:,后二局:,A A,A B,B A,B B,A 勝,B 勝,分析,假設繼續(xù)賭兩局,則結果有以下四種情況:,A A,A B,B A,B B,A勝B負,A勝B負,A勝B負,B勝A負,B勝A負,A勝B負,B勝A

2、負,B勝A負,因此, A 能“期望”得到的數(shù)目應為,而B 能“期望”得到的數(shù)目, 則為,故有, 在賭技相同的情況下,A, B 最終獲勝的,可能性大小之比為,即A 應獲得賭金的 而 B 只能獲得賭金的,因而A期望所得的賭金即為X的 “期望”值,等于,X 的可能值與其概率之積的累加.,即為,若設隨機變量 X 為:在 A 勝2局B 勝1局的前提 下, 繼續(xù)賭下去 A 最終所得的賭金.,則X 所取可能值為:,其概率分別為:,設某射擊手在同樣的條 件下,瞄準靶子相繼射擊90次, (命中的環(huán)數(shù)是一個隨機變量). 射中次數(shù)記錄如下,引例2 射擊問題,試問:該射手每次射擊平均命中靶多少環(huán)?,解,平均射中環(huán)數(shù),

3、設射手命中的環(huán)數(shù)為隨機變量 Y .,平均射中環(huán)數(shù),“平均射中環(huán)數(shù)”的穩(wěn)定值,“平均射中環(huán)數(shù)”等于,射中環(huán)數(shù)的可能值與其概率之積的累加,定義1.1 設離散型隨機變量X的分布律為 為X的數(shù)學期望，亦稱為概率均值，簡稱均值或期望。,分賭本問題,A期望所得的賭金即為 X 的數(shù)學期望,射擊問題,“平均射中環(huán)數(shù)”應為隨機變量Y 的數(shù)學期望,關于定義的幾點說明,(3) 隨機變量的數(shù)學期望與一般變量的算術平均值不同。,(1) E(X)是一個實數(shù), 而非變量, 它是一種加權平均, 與一般的平均值不同, 它從本質上體現(xiàn)了隨機變量 X 取可能值的真正的平均值, 故也稱均值。,(2) 級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不

4、隨級數(shù)各項次序的改變而改變, 之所以這樣要求是因為數(shù)學期望是反映隨機變量 X 取可能值的平均值, 它不應隨可能值的排列次序而改變。,隨機變量 X 的算術平均值為,假設,它從本質上體現(xiàn)了隨機變量X 取可能值的平均值。,當隨機變量 X 取各個可能值是等概率分布時，X 的期望值與算術平均值相等。,例1.1 甲乙兩射手打靶，擊中的環(huán)數(shù)分別為X、Y，其分布律為 試評定他們的成績好壞。,例1.2 某公共汽車站每天8:009:00, 9:0010:00都有一輛客車到站, 可到站時間隨機, 且兩次到站時間相互獨立, 其規(guī)律為:,(1)一旅客8:00到站, 求其候車時間的數(shù)學期望。 (2)一旅客8:20到站,

5、求其候車時間的數(shù)學期望。,解：設旅客的候車時間為X分鐘,(1) X的分布律為:,(2) X的分布律為:,故, 候車時間的數(shù)學期望為,故, 候車時間的數(shù)學期望為,2、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望,定義1.2 設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x), 若積分 為X的數(shù)學期望, 簡稱期望或均值。,例1.3 設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為 試求E(X)。,例1.4 設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為 試求E(X)。,(1)若將5個電子裝置串聯(lián)組成整機，求整機壽命N的期望。 (2)若將5個電子裝置并聯(lián)組成整機，求整機壽命M的期望。,例1.5 有5個相互獨立工作的電子裝置, 其壽命Xk (k=1, 2, 3, 4

6、, 5)服從同一指數(shù)分布, 其概率密度為,(1) N=min(X1, X2,X5)的分布函數(shù)為,(2) M=max(X1, X2,X5)的分布函數(shù)為,二、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望,1、離散型隨機變量的函數(shù)的期望,例1.6 設X的分布律如下表，試求Y=X21的期望。,解：法一：先求Y=X21的分布律為,2、連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的期望,例1.7 設風速V在(0,)上服從均勻分布, 又設飛機機翼所受的正壓力為W=kV2 (k0常數(shù)), 試求W的數(shù)學期望。,例1.8 游客乘電梯從底層到電視塔觀光, 電梯于每個整點的第5分鐘, 25分鐘, 55分鐘從底層起行, 假設一游客是在早上8點第X分鐘到達底層電梯處

7、, 且X在0,60上服從均勻分布, 試求該游客等候時間的數(shù)學期望。,解：已知XU0,60，其概率密度為,再設Y=游客等候電梯的時間(分鐘)，則有,例1.9 國際市場每年對我國某種出口商品的需求量X是一個隨機變量，它在2000,4000(單位：噸)上服從均勻分布，若每售出一噸，可獲利3萬美元，若銷售不出而積壓，則每噸需保養(yǎng)費1萬美元。問應組織多少貨源，才能使平均收益最大？,所以，組織3500噸貨源時，平均收益最大。,解：應組織a噸貨源，則收益為,3、多維隨機變量的函數(shù)的期望,注1：上二式中的級數(shù)與積分均要求絕對收斂。,注2：對二維以上的函數(shù)的期望公式與之類似。,(2) 設(X,Y)的概率密度為f

8、(x,y), 則函數(shù)Z=g(X,Y)的數(shù)學期望為,例1.10 設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為,例1.11 設點(X,Y)在正方形D=(x,y)|0 x1,0y1上隨機取值，試求E(X2+Y2)。,解: 依題意, (X,Y)服從D上的均勻分布, D的面積為1, 則其聯(lián)合概率密度為,三、數(shù)學期望的性質,1、(線性法則) 設X為隨機變量, 其期望為E(X), 對任意常數(shù)a, b, 有 E(aX+b)=aE(X)+b,例1.12 設X的分布函數(shù)為,特別地, 當a=0時, E(b)=b, 即常數(shù)的期望為其本身;,當b=0時, E(aX)=aE(X)。,2、(加法法則) 設X,Y為隨機變量，同為離散型或連續(xù)型，則有 E(X+Y)=E(X)+E(Y),例1.13 將n個球隨機地放入M個盒子中，設每個球放入各個盒子是等可能的，求有球盒子數(shù)X的期望。,3、(乘法法則) 設X,Y為同類型隨機變量，且相互獨立，則有 E(XY)=E(X)E(Y),推廣：若X1,X2,Xn是相互獨立的隨機變量，則 E(X1X2Xn)=E(X1)E(X2)E(Xn),例1.14 設一電