1、第七章 對數(shù)線性模型,對數(shù)線性模型,Logit模型描述的是概率與協(xié)變量之間的關(guān)系； 對數(shù)線性模型用來描述期望頻數(shù)與協(xié)變量之間的關(guān)系； 考慮期望頻數(shù)m的取值范圍在0到無窮之間，故需要進(jìn)行對數(shù)變換為 ，使它的取值在 之間； 對數(shù)線性模型具有以下形式： 不過，與logit不同的是，對數(shù)模型中沒有解釋變量，是用行列因子的效應(yīng)參數(shù)來表示。,二維列聯(lián)表的對數(shù)線性模型,設(shè) 它的對數(shù)線性模型就是對 進(jìn)行分解，分解的方法與方差分析中效應(yīng)分解的方法完全相同。于是有， 其中， 是總的平均， 和 分別是屬性A在Ai時和屬性B在Bj時的效應(yīng)，而 是屬性A和B的交互作用(關(guān)聯(lián)項(xiàng)或關(guān)聯(lián)參數(shù))。 以上模型是二維列聯(lián)表的飽和模

2、型，其期望頻數(shù)的估計(jì)就是實(shí)際頻數(shù) 。,二維列聯(lián)表的對數(shù)線性模型,二維列聯(lián)表的非飽和模型為： 其中沒有交互效應(yīng)，經(jīng)過轉(zhuǎn)換可以得到 可見，列聯(lián)表獨(dú)立性成立，故稱為獨(dú)立性對數(shù)線性模型。其mij的估計(jì)為 一般認(rèn)為，在對數(shù)線性模型中，當(dāng)?shù)碗A效應(yīng)為0時，其高階效應(yīng)也為0.因此，非飽和模型除以上形式外，還有另外兩種情況：,二維列聯(lián)表的對數(shù)線性模型,分別為： 其中，屬性A與B獨(dú)立，或僅有屬性A的效應(yīng)，或僅有屬性B的效應(yīng)，且期望頻數(shù)的估計(jì)分別為： 獨(dú)立對數(shù)線性模型是否成立的似然比檢驗(yàn)和皮爾遜卡方檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：,二維列聯(lián)表的對數(shù)線性模型,獨(dú)立性對數(shù)線性模型也可以理解為： 根據(jù)獨(dú)立性條件 ，在兩邊取對數(shù)就得到一個相

3、加關(guān)系，即 依賴于一個與樣本量n有關(guān)的項(xiàng)，一個與落入第i行的概率有關(guān)的項(xiàng)，和一個與落入第j列的概率有關(guān)的項(xiàng)，因此獨(dú)立性具有形式： 其中，三個參數(shù)分別對應(yīng)樣本量的總效應(yīng)、行因素的效應(yīng)和列因素的效應(yīng)。 因此，獨(dú)立性的原假設(shè)等價于該模型的原假設(shè)，獨(dú)立性卡方和似然比檢驗(yàn)，就是該模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。,二維列聯(lián)表的對數(shù)線性模型,從獨(dú)立性模型可知，列聯(lián)表的對數(shù)線性模型并不區(qū)分響應(yīng)變量和解釋變量，對單元頻數(shù)的建模，把行和列都看作響應(yīng)變量。 對數(shù)線性模型的優(yōu)點(diǎn)在于：能定量表示屬性A在Ai時和屬性B在Bj時的效應(yīng)，以及它們之間的交互效應(yīng)。 【例】對給出的二維列聯(lián)表(表7.1)，構(gòu)建對數(shù)線性模型。 首先根據(jù)原列聯(lián)表

4、可以計(jì)算出期望頻數(shù)估計(jì)值，進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)， ,df=(3-1)(3-1)=4, p0.3,故獨(dú)立性成立。,二維列聯(lián)表的對數(shù)線性模型,在模型檢驗(yàn)通過后，來進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，方法與方差分析完全相同 總的效應(yīng)平均為： 屬性A在A1時的效應(yīng)(行效應(yīng))為： 類似地，可得到屬性A在A2，A3時的效應(yīng)分別為： 屬性B在B1,B2,B3時的效應(yīng)(列效應(yīng))分別為：,二維列聯(lián)表的對數(shù)線性模型,根據(jù)以上獨(dú)立模型的結(jié)果可知， 在屬性A的效應(yīng)中，A1的行效應(yīng)最大為0.48，A3的行效應(yīng)最小為-0.49； 在屬性B的效應(yīng)中，B1和B3的列效應(yīng)相同為-0.31，B2的列效應(yīng)最大為0.62； 因此，對數(shù)線性模型可以定量給出各種效

5、應(yīng)的值。 從以上對數(shù)線性模型的應(yīng)用可以看出，對數(shù)模型有假設(shè)前提： 上例是假定每個因子的效應(yīng)參數(shù)和等于0. 在一些軟件中通常是假定每個屬性的最后一個類別的參數(shù)等于0.,高維列聯(lián)表的對數(shù)線性模型,高維列聯(lián)表的對數(shù)線性模型,與二維列聯(lián)表的情況類似，高維列聯(lián)表的對數(shù)線性模型也分飽和模型、非飽和模型； 對于三維列聯(lián)表的飽和模型為： 其中，除四個單因子項(xiàng)外，三個雙因子項(xiàng)，一個三因子項(xiàng)； 而它的非飽和對數(shù)模型可能有8種情況： 對于模型 ，等價于三維列聯(lián)表中A,B,C相互獨(dú)立，記為(A,B,C)； 對于模型 ,等價于A與BC,B與AC,C與AB相互獨(dú)立；,高維列聯(lián)表的對數(shù)線性模型,對于模型 ，等價于A給定后B

6、和C條件獨(dú)立， B給定后A和C條件獨(dú)立， C給定后A和B條件獨(dú)立; 對于包括所有一次效應(yīng)和三個二次效應(yīng)的模型，等價于所有的獨(dú)立性被拒絕后的三維列聯(lián)表的相關(guān)模，即兩兩有交互作用，但三個之間沒有交互作用去情形； 【例】對例5.3普通車和高檔車問題構(gòu)建對數(shù)線性模型(齊次關(guān)聯(lián)模型)。 在高維列聯(lián)表的相關(guān)性討論中，該例中所有的獨(dú)立性都被拒絕了，因此判斷是相關(guān)模型，形式為：,高維列聯(lián)表的對數(shù)線性模型,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)軟件可以方便得到模型的參數(shù)估計(jì)； 也可以利用迭代法得到的期望頻數(shù)的估計(jì)值(表5.39)，來計(jì)算模型的效應(yīng)參數(shù)，方法與二維表相類似，與方差分析中效應(yīng)的計(jì)算完全相同； 與二維表相比，需要注意的是交互作用的

7、計(jì)算方法； 在某一格確定后，要用這一格的均值同時減去行效應(yīng)、列效應(yīng)和總效應(yīng)，才是交互效應(yīng)。 在以上齊次關(guān)聯(lián)模型中，條件優(yōu)勢比與分層因素?zé)o關(guān)，只與兩個因子的交互效應(yīng)有關(guān)； 兩因子的交互效應(yīng)決定了條件優(yōu)勢比； 決定的方式與因子效應(yīng)的計(jì)算有關(guān)；,高維列聯(lián)表的對數(shù)線性模型,在上述齊次關(guān)聯(lián)模型下，無論按哪個屬性分層均得到四格表，其對數(shù)優(yōu)勢比為： 因此，條件優(yōu)勢比與交互效應(yīng)的關(guān)系式為： 當(dāng)按照對數(shù)模型每個因子的效應(yīng)參數(shù)和等于0的假設(shè)前提時， ； 當(dāng)按照軟件的處理，令最后一類的參數(shù)等于0時，,不完備列聯(lián)表的對數(shù)線性模型,對于先驗(yàn)0的不完備列聯(lián)表，也可以建立對數(shù)線性模型； 不完備二維列聯(lián)表的對數(shù)線性模型，與完備列聯(lián)表的區(qū)別僅在于定義域僅限于非空格，模型特點(diǎn)和功效與完備表類似； 不完備列聯(lián)表的對數(shù)線性模型所起的作用，與完備表類似，既是擬獨(dú)立性討論的延伸，又具有應(yīng)用上的同一性； 不完備三維列聯(lián)表的情況與完備的三維表相類似，需要借助軟件建立對數(shù)線性模型。,對數(shù)模型與logit模型,區(qū)別： 對數(shù)線性模型關(guān)心的是屬性響應(yīng)變量之間的關(guān)聯(lián)，而lo