1、,第五節(jié),第五章,定積分的應(yīng)用,一、定積分的微元法,二、 平面圖形的面積,三、 旋轉(zhuǎn)體的體積,定積分求曲邊梯形的面積問(wèn)題回顧,設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線,以及兩直線,所圍成 ,求其面積 A .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,一、定積分的微元法,解決步驟 :,1) 分割.,在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個(gè)分點(diǎn),用直線,將曲邊梯形分成 n 個(gè)小曲邊梯形;,2) 作近似.,在第i 個(gè)窄曲邊梯形上任取,作以,為底 ,為高的小矩形,并以此小,梯形面積近似代替相應(yīng),窄曲邊梯形面積,得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,3) 求近似和.,4) 取極限.,令,則曲邊梯形面積,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下

2、頁(yè) 返回 結(jié)束,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,四個(gè)步驟中，由第二步的近似表示式,可以確定出被積表達(dá)式,不妨取,于是,若記 的任一小區(qū)間 為,則,稱為面積微元，即,于是,表示為,1、什么問(wèn)題可以用定積分解決 ?,1) 所求量 U 是與區(qū)間a , b上的某分布 f (x) 有關(guān)的,2) U 對(duì)區(qū)間 a , b 具有可加性 ,即可通過(guò),“大化小, 常代變, 近似和, 取極限”,定積分定義,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,一個(gè)整體量 ;,2 、如何應(yīng)用定積分解決問(wèn)題 ?,第一步 利用“化整為零 , 以常代變” 求出局部量的,微分表達(dá)式,第二步 利用“ 積零為整 , 無(wú)限累加 ” 求出整體量的

3、,積分表達(dá)式,這種分析方法成為微元法(或微元分析法),元素的幾何形狀常取為:,條, 帶, 段, 環(huán), 扇, 片, 殼 等,近似值,精確值,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,二、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積,第二部分,一、 平面圖形的面積,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,一、平面圖形的面積,1. 直角坐標(biāo)情形,設(shè)曲線,與直線,及 x 軸所圍曲,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為,設(shè)曲線,與直線,及 y軸所圍曲,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為,例1. 計(jì)算兩條拋物線,在

4、第一象限所圍,所圍圖形的面積 .,解: 由,得交點(diǎn),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例2. 計(jì)算拋物線,與直線,的面積 .,解: 由,得交點(diǎn),所圍圖形,為簡(jiǎn)便計(jì)算, 選取 y 作積分變量,則有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例3. 求橢圓,解: 利用對(duì)稱性 ,所圍圖形的面積 .,有,利用橢圓的參數(shù)方程,應(yīng)用定積分換元法得,當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例4. 求由擺線,的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 .,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 極坐標(biāo)情形,求由曲線,及,圍成的曲邊扇形的面積 .,在區(qū)間,上任取小區(qū)間,則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲

5、邊扇形面積的近似值為,所求曲邊扇形的面積為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,設(shè),對(duì)應(yīng) 從 0 變,例5. 計(jì)算阿基米德螺線,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,到 2 所圍圖形面積 .,例6. 計(jì)算心形線,所圍圖形的,面積 .,解:,(利用對(duì)稱性),心形線 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,心形線(外擺線的一種),即,尖點(diǎn):,面積:,弧長(zhǎng):,參數(shù)的幾何意義,二、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積,設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x),則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間,的體積元素為,因此所求立體體積為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,上連續(xù),特別 , 當(dāng)考慮連續(xù)曲線段,軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有,

6、當(dāng)考慮連續(xù)曲線段,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例7. 由曲線,與直線 x2 所圍圖形繞 x 軸,旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.,解:取x為積分變量，積分區(qū)間為0,2，相應(yīng)于0,2上任一小區(qū)間x, x+dx上有,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例8. 計(jì)算由橢圓,所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而,轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.,解: 方法1 利用直角坐標(biāo)方程,則,(利用對(duì)稱性),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,方法2 利用橢圓參數(shù)方程,則,特別當(dāng)b = a 時(shí), 就得半徑為a 的球體的體積,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例9. 求底半徑為r高為h的

7、圓錐體體積。,解: 取坐標(biāo)如右圖所示。,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例10. 計(jì)算擺線,的一拱與 y0,所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積 .,解: 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為,利用對(duì)稱性,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為,注意上下限 !,注,注 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,分部積分,注,(利用“偶倍奇零”),注 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,柱殼體積,說(shuō)明:,柱面面積,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,偶函數(shù),奇函數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例11. 設(shè),在 x0 時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù), 且,形繞直線 xt 旋轉(zhuǎn)一

8、周所成旋轉(zhuǎn)體體積 ,證明:,證:,利用柱殼法,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,故,內(nèi)容小結(jié),1. 平面圖形的面積,邊界方程,極坐標(biāo)方程,直角坐標(biāo)方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積,旋轉(zhuǎn)體的體積,繞 x 軸 :,繞 y 軸 :,(柱殼法),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,作業(yè),第三節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,P188 1 (1), (4); 6; 9 ; 11 (1), (3)。,思考與練習(xí),1.用定積分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長(zhǎng) s .,提示: 交點(diǎn)為,弧線段部分,直線段部分,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,以 x

9、為積分變量 , 則要分,兩段積分,故以 y 為積分變量.,2. 試用定積分求圓,繞 x 軸,上,半圓為,下,求體積 :,提示:,方法1 利用對(duì)稱性,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積 V 及表面積 S .,方法2 用柱殼法,說(shuō)明: 上式可變形為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,此式反映了環(huán)體微元的另一種取法(如圖所示).,求側(cè)面積 :,利用對(duì)稱性,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,上式也可寫成,它也反映了環(huán)面微元的另一種取法.,備用題,解：,1. 求曲線,所圍圖形的面積.,顯然,面積為,同理其它.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,又,故在區(qū)域,分析曲線特點(diǎn),2.,解:,與 x 軸所圍面積,由圖形的對(duì)稱性 ,也合于所求., 為何值才能使,與 x 軸圍成的面積等,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,故,3.,求曲線,圖形的公共部分的面積