1、第三章 平面與空間直線,主要內(nèi)容 1、平面的方程 2、平面與點(diǎn)的相關(guān)位置 3、兩平面的相關(guān)位置 4、空間直線的方程 5、直線與平面的相關(guān)位置 6、空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置 7、空間兩直線的相關(guān)位置 8、平面束,第一節(jié) 平面及其方程,一、由平面上一點(diǎn)與平面的方位向量決定的平面的方程,1、方位向量,在空間給定一個(gè)點(diǎn)M0與兩個(gè)不共線的向量a,b，則 通過點(diǎn)M0且與a,b平行的平面就被唯一確定。向量a, b稱為平面的方位向量。,顯然，任何一對(duì)與平面平行的不共線向量都可作 為平面的方位向量。,2、平面的向量式參數(shù)方程,又因?yàn)?所以,r-r0= ua+vb,即,r=r0+ ua+vb （1）,方程（1）稱為

2、平面的向量式參數(shù)方程。,顯然,3、平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程,若設(shè)M0，M的坐標(biāo)分別為(x0,y0,z0),(x,y,z),則,r0=x0,y0,z0,r=x,y,z,并設(shè),a=X1,Y1,Z1,b=X2,Y2,Z2,則由（1）可得,（2）式稱為平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程。,r=r0+ ua+vb （1）,例1、已知不共線的三點(diǎn)M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3),求過這三點(diǎn)的平面的方程。,解：,因此，平面的向量式參數(shù)方程為,r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1) (3),坐標(biāo)式參數(shù)方程為,從（3），（4）中分別消去參數(shù)u,v可得：,（r-r1,r2-r1,

3、r3-r1)=0 （5）,與,或,（5）（6）（7）都有叫做平面的三點(diǎn)式方程。,特別地，若平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別 為M1(a,0,0) M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc0,則平面的方程為,稱為平面的截距式方程。 其中a,b,c分別稱為平面在 三坐標(biāo)軸上的截距。,如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法向量,法向量的特征：,垂直于平面內(nèi)的任一向量,二、平面的點(diǎn)法式方程,1. 法向量:,注: 1 對(duì)平面, 法向量n不唯一;,2 平面 的法向量n與 上任一向量垂直.,2. 平面的點(diǎn)法式方程,設(shè)平面過定點(diǎn) M0(x0, y0, z0), 且有法向量n=A,B, C.,得:

4、,A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0,稱方程(1) 為平面的點(diǎn)法式方程.,(1),例1: 求過點(diǎn)(2, 3, 0)且以 n = 1, 2, 3為法向量的平面的方程.,解: 根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程(1), 可得平面方程為:,1 (x 2) 2 (y + 3) + 3 (z 0) = 0,即: x 2y + 3z 8 = 0,解: 先找出該平面的法向量n.,= 14i + 9j k,例2: 求過三點(diǎn)M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和M3(0, 2, 3) 的平面的方程.,所以, 所求平面的方程為:,14(x 2) + 9(y + 1) (z 4) = 0

5、,即: 14x + 9y z 15 = 0,例3、已知兩點(diǎn)M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求線段的垂直 平分面的方程。,解：,又所求平面過點(diǎn)M1M2的中點(diǎn)M0(2,-1,1)，故 平面的點(diǎn)法式方程為,(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0,整理得,x+y-2z+1=0,三、平面的一般方程,1. 定理1: 任何x, y, z的一次方程. Ax +By +Cz +D = 0都表示平面,且此平面的一個(gè)法向量是:,n = A, B, C,證: A, B, C不能全為0, 不妨設(shè)A 0, 則方程可以化為,它表示過定點(diǎn),注：一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (2),稱為平

6、面的一般方程.,且法向量為 n = A, B, C的平面.,例2: 已知平面過點(diǎn)M0(1, 2, 3), 且平行于平面2x 3y + 4z 1= 0, 求其方程.,解: 所求平面與已知平面有相同的法向量n =2 3, 4,2(x +1) 3(y 2) + 4(z 3) = 0,即: 2x 3y + 4z 4 = 0,2. 平面方程的幾種特殊情形,(1) 過原點(diǎn)的平面方程,由于O(0, 0, 0)滿足方程, 所以D = 0. 于是, 過原點(diǎn)的平面方程為:,Ax + By + Cz = 0,(2) 平行于坐標(biāo)軸的方程,考慮平行于x軸的平面Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量n =

7、 A, B, C與x 軸上的單位向量 i =1, 0, 0垂直, 所以,n i = A 1 + B 0 + C 0 = A = 0,于是:,平行于x 軸的平面方程是 By + Cz + D = 0;,平行于y 軸的平面方程是 Ax + Cz + D = 0;,平行于z 軸的平面方程是 Ax + By + D = 0.,特別: D = 0時(shí), 平面過坐標(biāo)軸.,(3) 平行于坐標(biāo)面的平面方程,平行于xOy 面的平面方程是,平行于xOz 面的平面方程是,平行于yOz 面的平面方程是.,Cz + D = 0;,By + D = 0;,Ax + D = 0,例3: 求通過x 軸和點(diǎn)(4, 3, 1)的平

8、面方程.,解: 由于平面過x 軸, 所以 A = D = 0.,設(shè)所求平面的方程是 By + Cz = 0,又點(diǎn)(4, 3, 1)在平面上, 所以,3B C = 0,C = 3B,所求平面方程為 By 3Bz = 0,即: y 3z = 0,例4: 設(shè)平面與x, y, z 軸的交點(diǎn)依次為P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三點(diǎn), 求這平面的方程.,解: 設(shè)所求平面的方程為,Ax + By + Cz + D = 0,因P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c) 三點(diǎn)都在這平面上, 于是,aA + D = 0 bB + D = 0 cC +

9、 D = 0,解得:,所求平面的方程為:,即:,(3),設(shè)平面為,由所求平面與已知平面平行得,（向量平行的充要條件）,解,化簡(jiǎn)得,令,所求平面方程為,三、平面的法式方程,取空間直角坐標(biāo)系 ，設(shè)點(diǎn) 的向徑為 ，平面上的任意一點(diǎn) 的向徑為 ，則平面的點(diǎn)法式方程,若設(shè) 那么平面的點(diǎn)法式方程：,平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 的系數(shù)A，B，C 有簡(jiǎn)明的幾何意義，它們是平面 的一個(gè)法向量 的坐標(biāo),若平面上的一點(diǎn) M 特殊地取自原點(diǎn)O 向平面 所引垂線的垂足P， 而 的法向量取單位向量 ，設(shè) ，那么由點(diǎn) M 和法向量 決定的平面的向量式法式方程為：,平面的坐標(biāo)式方程，簡(jiǎn)稱法式方程為 其中： ，,

10、平面的法式方程是具有下列兩個(gè)特征的一種一般方程： 一次項(xiàng)的系數(shù)是單位法向量的坐標(biāo)，它們的平方和等于1； 因?yàn)閜是原點(diǎn)O 到平面 的距離，所以常數(shù),三、平面的法式方程,平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 與法式方程的互化,取 稱平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 可得法式方程 在取定符號(hào)后叫做法式化因子,選取的符號(hào)通常與常數(shù)項(xiàng) 相反的符號(hào),例4： 把平面 的方程 化為法式方程，:求自原點(diǎn)指向平面 的單位向量及其方向余弦，并求原點(diǎn)到平面的距離,1. 平面的向量式參數(shù)方程,2. 平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程,3. 平面的點(diǎn)位式方程,4. 平面的三點(diǎn)式方程,5. 平面的截距式方程,作業(yè):P105:

11、 1(2),2.4,第二節(jié) 平面與點(diǎn)的相關(guān)位置,設(shè)P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一點(diǎn)，求點(diǎn) P0到平面的距離。,在平面上任取一點(diǎn)P1(x1, y1, z1),過P0點(diǎn)作一法向量 n =A, B, C,于是:,又 A(x0 x1) + B(y0 y1) + C(z0 z1),= Ax0 + By0 + Cz0 + D (Ax1 + By1 + C z1 + D),= Ax0 + By0 + Cz0 + D,所以, 得點(diǎn)P0到平面Ax + By + Cz + D = 0的距離:,(4),一、點(diǎn)與平面的距離,1. 點(diǎn)與平面的離差 2. 點(diǎn)與平面之間的距離,1. 點(diǎn)與平面的離

12、差,定義 3.2.1 一點(diǎn)與平面上的點(diǎn)之間的最短距離，叫做 該點(diǎn)與平面之間的距離。,可以看出，空間的點(diǎn)與平面間的離差，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) 位平面 的單位法向 所指向的一側(cè)， 與 同向，離差 ；在平面的另一側(cè)， 與 方向相反，離差 ，當(dāng)且僅當(dāng) 在平面 上時(shí)，離差,2. 點(diǎn)與平面之間的距離,二、平面劃分空間問題， 三元一次不等式的幾何意義,二、平面劃分空間問題， 三元一次不等式的幾何意義,例如: 求點(diǎn)A(1, 2, 1)到平面: x + 2y + 2z 10 = 0的距離,三、例題,作業(yè)：P109：1（2），2（2），4, 10,第三節(jié) 兩平面的相關(guān)位置,1、設(shè)兩個(gè)平面的方程為：,1：A1x+B1y+c1

13、z+D1=0 (1) 2：A2x+B2y+c2z+D2=0 (2),定理1：兩個(gè)平面（1）與（2）,相交A1:B1:C1A2:B2:C2.,平行 ,重合 ,（1）定義,（通常取銳角）,兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角.,2、兩平面的夾角,（2）、兩個(gè)平面的交角公式,設(shè)兩個(gè)平面1，2間的二面角用(1,2)表示，而兩 平面的法向量n1,n2的夾角記為=(n1,n2），顯然有,(1,2)=或-,因此,3、兩平面垂直的充要條件,兩平面(1)(2)垂直的充要條件為,A1A2+B1B2+C1C2=0,例5: 一平面通過兩點(diǎn)M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, 1), 且垂直于平面 x+y+z =

14、 0, 求它的方程.,解: 設(shè)所求平面的一個(gè)法向量 n =A, B, C,已知平面 x+y+z = 0的法向量 n1=1, 1, 1,于是:,A (1) + B 0 + C (2) = 0 A 1 + B 1 + C 1 = 0,解得:,B=C A= 2C,取C = 1, 得平面的一個(gè)法向量,n = 2, 1, 1,所以, 所求平面方程是,2 (x 1) + 1 (y 1) + 1 (z 1) = 0,即: 2x y z = 0,例6 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：,解,兩平面相交，夾角,兩平面平行,兩平面平行但不重合,兩平面平行,兩平面重合.,作業(yè):P112.3(2),4(2),5(1),

15、練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,已知直線l通過定點(diǎn)M0(x0,y0 , ),且與非零矢量 v =X,Y,Z共線，求直線l的方程。,(t為隨M而定的實(shí)數(shù)）,又因?yàn)?所以,r-r0=tv,（2）坐標(biāo)式參數(shù)方程為,故得l的,第四節(jié) 空間直線及其方程,定義,空間直線可看成兩平面的交線,空間直線的一般方程,一、空間直線的一般方程,1、方位向量的定義：,如果一非零向量s =m, n, p,平行于一條已知直線，這個(gè)向量稱為這條直線的方位向量,二、空間直線的對(duì)稱式方程,而s 的坐標(biāo)m, n, p稱為直線L的一組方向數(shù).,2. 直線的對(duì)稱式方程,已知直線L過M0(x0, y0, z0)點(diǎn),方位向量 s =m, n, p

16、,所以得比例式,(2),稱為空間直線的對(duì)稱式方程或點(diǎn)向式方程.,三、 空間直線的參數(shù)式方程,得:,稱為空間直線的參數(shù)方程.,(3),令,方位向量的余弦稱為直線的方向余弦.,例1: 寫出直線,x + y + z +1 = 0 2x y + 3z + 4 = 0,的對(duì)稱式方程.,解: (1) 先找出直線上的一點(diǎn)M0(x0, y0, z0),令z0 = 0, 代入方程組, 得,x + y +1 = 0 2x y + 4 = 0,解得:,所以, 點(diǎn) 在直線上.,(2) 再找直線的方位向量 s .,由于平面1: x + y + z +1 = 0的法向量n1=1, 1, 1,平面2: 2x y+3z+4

17、= 0的法向量n2=2,1, 3,所以, 可取,= 4i j 3k,于是, 得直線的對(duì)稱式方程:,例2: 求通過點(diǎn)A(2, 3, 4)與B(4, 1, 3)的直線方程.,解: 直線的方位向量可取 AB = 2, 2, 1,所以, 直線的對(duì)稱式方程為,作業(yè):P119-120:1(4),3(3),4(1),第五節(jié) 直線與平面的相關(guān)位置,設(shè)直線和平面的方程分別為,一、直線與平面的位置關(guān)系的充要條件,定理1 直線(1)與平面(2)的相互位置關(guān)系有下列的 充要條件：,1o 相交：,AX+BY+CZ0,2o 平行,3o 重合,證：將直線方程改與為參數(shù)式,將（3）代入（2）并整理得,(AX+BY+CZ)t=

18、 -(Ax0+By0+Cz0+D) （4）,因此，當(dāng)且僅當(dāng)AX+BY+CZ0時(shí)，（4）有唯一解,這時(shí)直線與平面有唯一公共點(diǎn)；,當(dāng)且僅當(dāng)AX+BY+CZ=0，,Ax0+By0+Cz0+D0時(shí),方程（4）無解，,這時(shí)直線與平面有沒有公共點(diǎn)；,當(dāng)且僅當(dāng)AX+BY+CZ=0，,Ax0+By0+Cz0+D=0時(shí),方程（4）有無數(shù)個(gè)解，這時(shí)直線在平面內(nèi)。,定義,直線和它在平面上的投影直線的夾角 稱為直線與平面的夾角,二、直線與平面的夾角,（1）直線與平面的夾角公式,（2）直線與平面的位置關(guān)系：,/, s / n, s n,例1: 判定下列各組直線與平面的關(guān)系.,解: L的方位向量 s =2, 7, 3,

19、的法向量 n =4, 2, 2,s n = (2) 4 + (7) (2) + 3 (2) = 0,又M0(3, 4, 0)在直線L上, 但不滿足平面方程,所以L與 平行, 但不重合.,解: L的方位向量 s =3, 2, 7, 的法向量 n =6, 4, 14, L 與 垂直.,解: L的方位向量 s =3, 1, 4, 的法向量 n =1, 1, 1,s n = 3 1 + 1 1 + (4) 1 = 0,又L上的點(diǎn) M0(2, 2, 3)滿足平面方程,所以 , L 與 重合.,解,為所求夾角,注2 直線和平面平行時(shí)，其距離等于 到平面的距離。,幾點(diǎn)注意：,注1 直線與平面的位置關(guān)系，是點(diǎn)

20、、平面、直線關(guān)系的紐帶，是求直線、平面方程的基礎(chǔ)。,注3 當(dāng)直線和平面垂直時(shí)，可取平面的法向量為直線的方向，反之亦然。,注4 特別注意：直線與平面的夾角公式是,作業(yè):P123-124:1(3),2,3(2),解析幾何 Chapter 3,6 空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置,已知空間一點(diǎn) 與空間直線 及直線上一點(diǎn) ，從而直線的方向向量為 ，,定義3.6.1 一點(diǎn)與空間直線上的點(diǎn)之間的最短距離叫做該點(diǎn)與空間直線間的距離。,Contents,則,例1 求點(diǎn) 到直線 的距離.,Contents,例2 求點(diǎn) 到直線 的距離。,作業(yè):P125.2.,Contents,第七節(jié) 空間兩直線的位置關(guān)系,一、空間兩直線的

21、位置關(guān)系,1、位置關(guān)系：,共面,異面,相交,平行,重合,2、相關(guān)位置的判定：,設(shè)兩直線L1, L2的方程為,s1 =m1, n1, p1,s2 =m2, n2, p2,定理1,判定空間兩直線L1，L2的相關(guān)位置的充要條件：,（1）異面,（2）共面,=0,相交：,m1:n1:p1m2:n2:p2,平行：,m1:n1:p1=m2:n2:p2(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1),重合：,m1:n1:p1=m2:n2:p2=(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1),二、兩直線的夾角,定義: 兩直線的方位向量間的夾角稱為兩直線的夾角, 常指銳角.,已知直線L1, L2的方程,s1 =m1

22、, n1, p1,s2 =m2, n2, p2,1. L1與 L2的夾角的余弦為:,2. L1垂直于 L2 m1 m2 + n1 n2 + p1 p2 = 0,3. L1平行于 L2 ,解: 直線L1, L2的方位向量 s1=1, 4, 1 s2=2, 2, 1,有:,所以:,解,設(shè)所求直線的方位向量為,根據(jù)題意知,取,所求直線的方程,解,先作一過點(diǎn)M且與已知直線垂直的平面,再求已知直線與該平面的交點(diǎn)N,令,代入平面方程得 ,交點(diǎn),取所求直線的方位向量為,所求直線方程為,三、兩異面直線間的距離與公垂線的方程,1、兩異面直線間的距離,設(shè)兩異面直線L1，L2與其公垂線L0的交點(diǎn)為N1，N2，,則L

23、1與L2之間的距離,所以兩異面直線L1，L2的距離為,2、兩直線的公垂線方程,公垂線可看為由過L1上的點(diǎn)M1，以v1,v1v2為方位 向量的平面與過L2上的點(diǎn)M2，以v2,v1v2為方位向量 的平面的交線，因此，公垂線的方程為：,其中X，Y，Z為v1v2 的分量。,例1 求通過點(diǎn)P(1,1,1)且與兩直線,都相交的直線的方程。,解：,設(shè)所求直線的方向矢為v=X,Y,Z,則直線為,因?yàn)長與L1，L2都相交，且L1過點(diǎn)M1(0,0,0),方向矢 為v1=1,2,3,L2過點(diǎn)M2(1,2,3)，方向矢為v2=2,1,4,故,即 X-2Y+Z=0 X+2Y-Z=0,解得 X:Y:Z=0:1:2,故所求直線的方程為,例2 已知兩直線,試證明它們?yōu)楫惷嬷本€，并求其距離和公垂線的方程。,解：,所以L1與L2為異面直線。,又v1v2=0,0,2,所以,公垂線的方程為,即,作業(yè):P131-132:2(2),3(3),8,第八節(jié) 平面束,一、平面束,1、有軸平面束：,空間通過同一條直線的所有平面的集合稱為有軸 平面束，該直線稱為平面束的軸。,2、平行平面束,空間平行于同一平面的所有平面的集合稱為平行 平面束。,定理3.8.1 如果兩個(gè)平面,1：A1x+B1y+C1z+D1=0,2：A2x+B2y+C2z+D2=0,交于一條直線L，則以直線L為軸的有軸平面束的 方程為,m