1、 小學(xué)二年級奧數(shù)訓(xùn)練題之分拆小學(xué)二年級奧數(shù) 整數(shù)分拆問題是一個古老而又十分有趣的問題。所謂整數(shù)的分拆，就是把一個自然數(shù)表示成為若干個自然數(shù)的和的形式，每一種表示方法，便是這個自然數(shù)的一個分拆。整數(shù)分拆的要求通常是將一個自然數(shù)拆成兩個(或兩個以上)自然數(shù)的和，并使這些自然數(shù)的積最大(或最小);或拆成若干個連續(xù)自然數(shù)的和等等。下面舉例作出剖析。 例1 將14分拆成兩個自然數(shù)的和，并使這兩個自然數(shù)的積最大，應(yīng)該如何分拆? 分析與解 不考慮加數(shù)順序，將14分拆成兩個自然數(shù)的和，有1+13，2+12，3+11，4+10，5+9，6+8，7+7共七種方法。經(jīng)計(jì)算，容易得知，將14分拆成7+ 7時，有最大積

2、77=49。 例2 將15分拆成兩個自然數(shù)的和，并使這兩個自然數(shù)的積最大，如何分拆? 分析與解 不考慮加數(shù)順序，可將15分拆成下列形式的兩個自然數(shù)的和：1+14，2+13，3+12，4+11，5+10，6+9，7+8。顯見，將15分拆成7+8時，有最大積78=56。 注：從上述兩例可見，將一個自然數(shù)分拆成兩個自然數(shù)的和時，如果這個自然數(shù)是偶數(shù)2m，當(dāng)分拆成m+m時，有最大積mm=m2;如果這個自然數(shù)是奇數(shù)2m+1，當(dāng)分拆成m+(m+1)時，有最大積m(m+1)。 例3 將14分拆成3個自然數(shù)的和，并使這三個自然數(shù)的積最大，如何分拆? 分析與解 顯然，只有使分拆成的數(shù)之間的差盡可能地小(比如是0

3、或1)，這樣得到的積才最大。這樣不難想到將14分拆成4+5+5時，有最大積455=100。 例4 將14分拆成若干個自然數(shù)的和，并使這些自然數(shù)的積最大，如何分拆? 分析與解 首先應(yīng)該考慮分成哪些數(shù)時乘積才能盡可能地大。 首先分拆成的數(shù)中不能有1，這是顯而易見的。 其次分成的數(shù)中不能有大于4的數(shù)，不然的話，將這個數(shù)再拆成2與另一個自然數(shù)的和，這兩個數(shù)的積一定比原數(shù)大。比如5=2+3，但5比23=6小。 又因?yàn)?=22，因此，可以考慮將14分拆成若干個2或3了。 注意到2+2+2=6，222=8;3+3=6，33= 9.因此，分拆成的數(shù)中如果有三個2，還不如換成兩個3。這樣可知，分拆成的數(shù)中至多只能有兩個2，其余都是3。 綜合上述結(jié)果，應(yīng)該將14分拆成四個3與一個2之和，即14=3+3+3+3+2，這樣可得到五個數(shù)的最大積33332=162。 上述幾例是關(guān)于如何將一個自然數(shù)分拆成若干個自然數(shù)的和，并使它們的積最大的問題。下面兩例則是如何將一個自然數(shù)按題目要求拆成若干個連續(xù)自然數(shù)的問題。 例5 將1994分拆成若干個連續(xù)自然數(shù)的和，一共有多少種不同的方法? 分析與解 因1994=9972=492+493+494+ 495，僅一種方法。所以，該題有唯一解。 例6 將35分拆成若干個連續(xù)自然數(shù)的和，一共有多少種不同的方法? 分析與解 由于3