1、直線的一般式方程,一、問(wèn)題導(dǎo)入,二、直線的一般式方程,1. 我們可以發(fā)現(xiàn)，平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程ax+by+c=0表示；,2. 每一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程ax+by+c=0（a,b不同時(shí)為0）是否都表示一條直線呢？,(1)當(dāng)b0時(shí)，方程可化為 ，這是過(guò) 點(diǎn) ，以(a,b)為一個(gè)法向量的直線。,(2)當(dāng)b=0時(shí)，方程為ax+c=0，由于a0，方程化為 ,表示過(guò)點(diǎn) ,且垂直于x軸的直線。,一般地，方程ax+by+c=0(a2+b20)叫做直線的 一般式方程。,反思與點(diǎn)評(píng),直線方程可以用二元一次方程ax+by+c=0 (a2+b20)表示。,2. 直線a

2、x+by+c=0(a2+b20)的 一個(gè)法向量：(a,b)；方向向量：(b,a)；,例1. 已知直線l：2x+3y6=0，求直線l的點(diǎn)方向 式方程和點(diǎn)法向式方程。,解：,在2x+3y6=0中，令x=0，得y=2，,直線過(guò)點(diǎn)(0,2).,直線l的法向量為,(3,2) ,直線l的方向向量為,(2,3) ,直線l的點(diǎn)法向式方程為2x+3(y2)=0.,直線l的點(diǎn)方向向式方程為,三、應(yīng)用舉例,反思與點(diǎn)評(píng),由一般式方程化為點(diǎn)法向式方程和點(diǎn)方向式方程時(shí)，取的點(diǎn)是不唯一的，一般取與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)較簡(jiǎn)便。,例2 （1）求過(guò)點(diǎn)A(2,5)且平行于直線 l:4x3y9=0 的直線方程；,解法一：,直線的方向向量為(

3、3,4)，,直線的點(diǎn)方向式方程為,解法二：,直線的法向量為(4,3)，,直線的法向式方程為4(x+2)3(y5)=0.,解法三：,設(shè)與l:4x3y9=0平行的直線方程為4x3y+c=0，,又直線過(guò)點(diǎn)A(2,5)，,故4(2)35+c=0，,c=23，,所以直線的方程是4x3y+23=0。,（2）求過(guò)點(diǎn)A(2,5)且垂直于直線 l:4x3y9=0 的直線方程。,解法一：,直線的方向向量為(4,3)，,直線的點(diǎn)方向式方程為,解法二：,直線的法向量為(3,4)，,直線的法向式方程為3(x+2)+4(y5)=0.,解法三：,設(shè)與l:4x3y9=0垂直的直線方程為3x+4y+c=0，,又直線過(guò)點(diǎn)A(2,

4、5)，,故3(2)+45+c=0，,c=14，,所以直線的方程是3x+4y14=0。,反思與點(diǎn)評(píng),一般地，與直線ax+by+c=0平行的直線可設(shè)為ax+by+c=0(cc)；而與直線ax+by+c=0垂直的直線可設(shè)為bxay+c=0。,這樣可以大大減少運(yùn)算量。,四、課堂練習(xí),1. 若直線(2m)x+my+3=0的法向量恰為直線 xmy3=0的方向向量，求實(shí)數(shù)m的值。,解：由題意兩直線垂直， 則兩直線的法向量垂直， 故(2m)1+m(m)=0， 解得m=1或m=2.,2 已知點(diǎn)P(2,1)及直線l:3x+2y5=0，求： （1）過(guò)點(diǎn)P且與l平行的直線方程； （2）過(guò)點(diǎn)P且與l垂直的直線方程。,解

5、：（1）設(shè)直線l方程為3x+2y+c=0，點(diǎn)P(2,1) 代入，得c=4，直線方程為3x+2y4=0。 （2）設(shè)直線l方程為2x3y+c=0，點(diǎn)P(2,1) 代入，得c=7，直線l的方程為2x3y7=0。,3正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0)，它的中心M的坐標(biāo)為(0,3)，求正方形兩條對(duì)角線AC、BD所在的直線方程。,解： ，直線AC的點(diǎn)方向式方程為 即 3x4y+12=0， BDAC，故設(shè)BD所在直線方程為 4x+3y+c=0，將點(diǎn)M(0,3)代入，得c=9， 直線BD方程為4x+3y9=0。,例3 求與直線m:xy+1=0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的 直線l的方程。,1,分析：直線m上的任意一點(diǎn)關(guān)

6、于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) 都在直線l上。,解法一：直線m上取兩點(diǎn),(1,0)和(0,1)，,關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,(1,0)和(0,1)，,故所求直線l的方程為,xy1=0,解法二：因?yàn)橹本€m與直線l平行，,故設(shè)直線l的方程為xy+c=0,又直線l過(guò)點(diǎn)(1,0)，,故所求直線l的方程為xy1=0。,五、課堂小結(jié),1. 直線的一般形式方程為ax+by+c=0 (a、b不同時(shí)為0)；,2. 一般地，直線ax+by+c=0(a2+b20)的 法向量 =(a,b)；方向向量 =(b,a)， 若b0，則k= 。,六、作業(yè)布置,1 必做題：習(xí)題11.2A組3,7,8,9,10,11,12.,2 思考題：自己提出一個(gè)與直線方程有關(guān)的問(wèn)題，并加以解決。,