1、,簡(jiǎn)諧振動(dòng):物體距平衡位置的位移(或角位移)隨時(shí)間按余弦(或正弦)函數(shù)變化,15-2 簡(jiǎn)諧振動(dòng),一.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征,1.定義:,物體在跟偏離平衡位置的位移大小成正比，并且總指向平衡位置的回復(fù)力的作用下的振動(dòng)，叫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),表達(dá)式為：F= -kx,簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移必須是指偏離平衡位置的位移。也就是說(shuō)，在研究簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)所說(shuō)的位移的起點(diǎn)都必須在平衡位置處。 回復(fù)力是一種效果力。是振動(dòng)物體在沿振動(dòng)方向上所受的合力。 “平衡位置”不等于“平衡狀態(tài)”。平衡位置是指回復(fù)力為零的位置，物體在該位置所受的合外力不一定為零。 F=-kx是判斷一個(gè)振動(dòng)是不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的充分必要條件。凡是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)沿振動(dòng)方向的合力必須滿足該

2、條件；反之，只要沿振動(dòng)方向的合力滿足該條件，那么該振動(dòng)一定是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),1.動(dòng)力學(xué)特征,胡克定律:物體所受彈性力與物體的位移成正比而反向,即,-簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征,2.運(yùn)動(dòng)學(xué)特征,令,速度,位移,-簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式,加速度,即有,-簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征,說(shuō)明：,-簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅，為物體離開平衡位置最大位移的絕對(duì)值,-簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初相位,-簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位,-圓頻率(2秒內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)),討論： 由初始條件可確定A和 ：,設(shè) t =0 時(shí)，,可得,固有頻率和固有周期：,-周期和頻率由振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)所決定，與A和無(wú)關(guān),單擺擺到最低點(diǎn)時(shí)，沿振動(dòng)方向的合力為零，但在指向懸點(diǎn)方向上的合力卻不等于零，所以并不

3、處于平衡狀態(tài),振幅A是描述振動(dòng)強(qiáng)弱的物理量。（一定要將振幅跟位移相區(qū)別，在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)過(guò)程中，振幅是不變的而位移是時(shí)刻在改變的） 周期T是描述振動(dòng)快慢的物理量。（頻率f=1/T 也是描述振動(dòng)快慢的物理量）周期由振動(dòng)系統(tǒng)本身的因素決定，叫固有周期。任何簡(jiǎn)諧振動(dòng)都有共同的周期公式：,（其中m是振動(dòng)物體的質(zhì)量，k是回復(fù)力系數(shù)，即簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的判定式F= -kx中的比例系數(shù)，對(duì)于彈簧振子k就是彈簧的勁度系數(shù)，對(duì)其它簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)它就不再是彈簧的勁度系數(shù)了）。,主頁(yè),1.彈簧振子,周期 與振幅無(wú)關(guān)，只由振子質(zhì)量和 彈簧的勁度系數(shù)決定 豎直放置的彈簧振子的振動(dòng)也是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)， 周期公式也是 這個(gè)結(jié)論可以直接使用 在

4、水平方向上振動(dòng)的彈簧振子的回復(fù)力是彈簧的彈力；在豎直方向上振動(dòng)的彈簧振子的回復(fù)力是彈簧彈力和重力的合力。,2.單擺,小球在光滑圓弧上的往復(fù)滾動(dòng)，和單擺完全等同。只要擺角足夠小，這個(gè)振動(dòng)就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。這時(shí)周期公式中的l應(yīng)該是圓弧半徑R和小球半徑r的差,實(shí)例分析,“等效擺長(zhǎng)”與“等效重力加速度”?,例1. 固定圓弧軌道弧AB所含度數(shù)小于5，末端切線水平。兩個(gè)相同的小球a、b分別從軌道的頂端和正中由靜止開始下滑，比較它們到達(dá)軌道底端所用的時(shí)間和動(dòng)能大小關(guān)系： Ta tb，Ea 2Eb,=,解：兩小球的運(yùn)動(dòng)都可看作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的一部分，時(shí)間都等于四分之一周期，而周期與振幅無(wú)關(guān)，所以ta= tb；從圖中可以

5、看出b小球的下落高度小于a小球下落高度的一半，所以Ea2Eb,例2. 將一個(gè)力電傳感器接到計(jì)算機(jī)上，可以測(cè)量快速變化的力。用這種方法測(cè)得的某單擺擺動(dòng)過(guò)程中懸線上拉力大小隨時(shí)間變化的曲線如右圖所示。由此圖線提供的信息做出下列判斷： t0.2s時(shí)刻擺球正經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)； t1.1s時(shí)擺球正處于最高點(diǎn)； 擺球擺動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能時(shí)而增大時(shí)而減??； 擺球擺動(dòng)的周期約是T0.6s。 上述判斷中正確的是,A. B. C. D.,例3,一個(gè)單擺放在水平放置的勻強(qiáng)電場(chǎng)中,擺球帶正電,質(zhì)量為m,當(dāng)擺球處于跟豎直方向成30o角時(shí)平衡（如圖），現(xiàn)將擺球再拉高后靜止釋放，然后擺至最低點(diǎn)時(shí)拉力等于重力。在擺球擺動(dòng)的過(guò)程中何時(shí)拉

6、力最大，拉力是多少？為多大？,主頁(yè),1.受迫振動(dòng):,物體在驅(qū)動(dòng)力（即周期性外力）作用下的振動(dòng)叫受迫振動(dòng),物體做受迫振動(dòng)的頻率等于驅(qū)動(dòng)力的頻率，與物體的固有頻率無(wú)關(guān)。 物體做受迫振動(dòng)的振幅由驅(qū)動(dòng)力頻率和物體的固有頻率共同決定：兩者越接近，受迫振動(dòng)的振幅越大，兩者相差越大受迫振動(dòng)的振幅越小,2.共振:,當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率跟物體的固有頻率相等時(shí)，受迫振動(dòng)的振幅最大，這種現(xiàn)象叫共振,利用共振的有：共振篩、轉(zhuǎn)速計(jì)、微波爐、打夯機(jī)、跳板跳水、打秋千 防止共振的有：機(jī)床底座、航海、軍隊(duì)過(guò)橋、高層建筑、火車車廂,主頁(yè),縱波:,橫波:,質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向和波的傳播方向垂直的叫橫波,機(jī)械波分類,(繩波、水波),質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向

7、和波的傳播方向平行的叫縱波,(彈簧上的疏密波、聲波 ),主頁(yè),機(jī)械波的傳播,在同一種均勻介質(zhì)中機(jī)械波的傳播是勻速的。波速、波長(zhǎng)和頻率之間滿足公式：v=f。,介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是在各自的平衡位置附近的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，是變加速運(yùn)動(dòng)，介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)并不隨波遷移,機(jī)械波傳播的是振動(dòng)形式、能量和信息,波的頻率由波源決定，傳播速度由介質(zhì)決定,主頁(yè),一切波都能發(fā)生反射、折射、干涉、衍射,特別是干涉、衍射，是波特有的性質(zhì),獨(dú)立傳播原理：,幾列波相遇時(shí)，能夠保持各自的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)繼續(xù)傳播，不互相影響,疊加原理：,介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度都等于幾列波單獨(dú)傳播時(shí)引起的位移、速度、加速度的矢量和,(描述介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況 ),(描述

8、波的性質(zhì)),干涉分析,衍射分析,干涉,產(chǎn)生干涉的必要條件是：兩列波源的頻率必須相同,(是必要條件,不是充分條件 ),發(fā)生干涉還要求兩列波的振動(dòng)方向相同，還要求相差恒定,我們經(jīng)常列舉的干涉都是相差為零的，也就是同向的。如果兩個(gè)波源是振動(dòng)是反向的，那么在干涉區(qū)域內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)和減弱的位置就正好顛倒過(guò)來(lái)了,干涉區(qū)域內(nèi)某點(diǎn)是振動(dòng)最強(qiáng)點(diǎn)還是振動(dòng)最弱點(diǎn)的充要條件：,反向,例4. 如圖所示，S1、S2是兩個(gè)相干波源，它們振動(dòng)同步且振幅相同。實(shí)線和虛線分別表示在某一時(shí)刻它們所發(fā)出的波的波峰和波谷。關(guān)于圖中所標(biāo)的a、b、c、d四點(diǎn)，下列說(shuō)法中正確的有:,A.該時(shí)刻a質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)最弱，b、c質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)最強(qiáng)，d質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)既不是

9、最強(qiáng)也不是最弱 B.該時(shí)刻a質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)最弱，b、c、d質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)都最強(qiáng) C.a質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)始終是最弱的， b、c、d質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)始終是最強(qiáng)的 D.再過(guò)T /4后的時(shí)刻a、b、c三個(gè)質(zhì)點(diǎn)都將處于各自的平衡位置，因此振動(dòng)最弱,BACK,衍射,障礙物或孔的尺寸和波長(zhǎng)可以相比或比波長(zhǎng)小,發(fā)生明顯衍射的條件是：,主頁(yè),振動(dòng)圖象和波的圖象區(qū)別,物理意義不同：,振動(dòng)圖象表示同一質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移,波的圖象表示介質(zhì)中的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)刻的位移,圖象的橫坐標(biāo)的單位不同：,振動(dòng)圖象的橫坐標(biāo)表示時(shí)間,波的圖象的橫坐標(biāo)表示距離,從振動(dòng)圖象上可以讀出振幅和周期,從波的圖象上可以讀出振幅和波長(zhǎng),波的圖形、波的傳播方向、某一介質(zhì)

10、質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度方向，這三者中已知任意兩者，可以判定另一個(gè)。（口訣為“左上左，右上右” ）,波的圖象中,2.波的傳播是勻速的,1.波的圖象的畫法,在一個(gè)周期內(nèi)，波形勻速向前推進(jìn)一個(gè)波長(zhǎng)。n個(gè)周期波形向前推進(jìn)n個(gè)波長(zhǎng)（n可以是任意正數(shù)）。因此在計(jì)算中既可以使用v=f，也可以使用v=s/t，后者往往更方便,3.介質(zhì)中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)（是一種變加速運(yùn)動(dòng)）,4.起振方向,介質(zhì)中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)開始振動(dòng)的方向都和振源開始振動(dòng)的方向相同,例5. 已知在t1時(shí)刻簡(jiǎn)諧橫波的波形如圖中實(shí)線所示；在時(shí)刻t2該波的波形如圖中虛線所示。t2-t1 = 0.02s ,求該波可能的傳播速度,若已知T t2-t12T，且圖中

11、P質(zhì)點(diǎn)在t1時(shí)刻的瞬時(shí)速度方向向上，求可能的波速,若0.01sT0.02s，且從t1時(shí)刻起，圖中Q質(zhì)點(diǎn)比R質(zhì)點(diǎn)先回到平衡位置，求可能的波速,分析講解,主頁(yè),BACK, P質(zhì)點(diǎn)速度向上，說(shuō)明波向左傳播，T t2-t1 2T，說(shuō)明這段時(shí)間內(nèi)波只可能是向左傳播了5/3個(gè)波長(zhǎng)，所以速度是唯一的：v=500m/s,BACK,“Q比R先回到平衡位置”，說(shuō)明波只能是向右傳播的，而0.01sT0.02s，也就是T0.02s2T，所以這段時(shí)間內(nèi)波只可能向右傳播了4/3個(gè)波長(zhǎng)，解也是唯一的：v=400m/s,BACK,1聲波是縱波。,2空氣中的聲速可認(rèn)為是340m/s， 水中的聲速是1450m/s， 鐵中的聲速是

12、4900m/s。,3人耳可以聽(tīng)到的聲波的頻率范圍是20Hz-20000Hz,4人耳只能區(qū)分開相差0.1s以上的兩個(gè)聲音,5次聲波和超聲波的應(yīng)用,6. 多普勒效應(yīng),二.諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法,t =0：,t 時(shí)刻,參考圓,振幅矢量,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),例1用旋轉(zhuǎn)矢量法討論質(zhì)點(diǎn)初始時(shí)刻位移為以下情況時(shí)諧振動(dòng)的初相位：A；-A；0，且向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；-A/2，且向正方向運(yùn)動(dòng),解：,或,三.相位差和相位的超前與落后,設(shè),相位差,同頻率時(shí),-初相差與t 無(wú)關(guān),討論：,-同相,-反相,-第二個(gè)諧振動(dòng)超前第一個(gè)諧振動(dòng),例2如圖的諧振動(dòng)x-t 曲線，試求其振動(dòng)表達(dá)式,解：由圖知,設(shè)振動(dòng)表達(dá)式為,t=0時(shí)：,即,又,即,

13、旋轉(zhuǎn)矢量法,例3質(zhì)量為0.01kg物體作周期為4s、振幅為0.24m的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。t=0時(shí),位移x=0.24m。求(1)諧振動(dòng)表達(dá)式；(2)t=0.5s時(shí),物體的位置和所受的力；(3)物體從初始位置運(yùn)動(dòng)至x=-0.12m處所需的最短時(shí)間,解：(1)設(shè)振動(dòng)表達(dá)式為,其中,由旋轉(zhuǎn)矢量法得,(2) t=0.5s:,或,(3),例4一彈性系數(shù)為k的輕彈簧,下掛一質(zhì)量為m的砝碼。開始時(shí)用手托住砝碼,使彈簧為原長(zhǎng),放手后砝碼開始振動(dòng)。證明砝碼作諧振動(dòng),并寫出振動(dòng)表達(dá)式,解：建立如圖坐標(biāo)系，原點(diǎn)為物體靜平衡時(shí)位置，它距彈簧原長(zhǎng)位置為 y0,在y處時(shí),設(shè),則,-得證,設(shè)振動(dòng)表達(dá)式為,由旋轉(zhuǎn)矢量法得,t=0時(shí),例

14、5如圖系統(tǒng)，已知物體質(zhì)量為m，光滑斜面傾角為,自由轉(zhuǎn)動(dòng)的定滑輪半徑為R,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,彈簧彈性系數(shù)為k。開始時(shí)物體靜止,彈簧為原長(zhǎng),重物下滑后開始振動(dòng)。(1)證明重物作諧振動(dòng),并寫出振動(dòng)表達(dá)式；(2)求重物下滑的最大距離,并用機(jī)械能守恒定律驗(yàn)證,設(shè)系統(tǒng)處于靜平衡時(shí)彈簧伸長(zhǎng) x0,物體振動(dòng)時(shí),可得,-諧振動(dòng),其解為,其中,由旋轉(zhuǎn)矢量法得,而,(2)物體下滑的最大距離為,由機(jī)械能守恒定律,三.角諧振動(dòng)-單擺和復(fù)擺 1.單擺,由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有,很小時(shí)有,可得角諧振動(dòng)表達(dá)式,其中,2.復(fù)擺,為角振幅,由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有,很小時(shí)有,角頻率,周期,討論： 單擺和復(fù)擺諧振動(dòng)的頻率由系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定,四.諧振動(dòng)的能量

15、 以彈簧振子為例:,討論: 彈簧振子的動(dòng)能和勢(shì)能是隨時(shí)間(或位移)而變化的 總的機(jī)械能保持不變，即動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化 諧振動(dòng)系統(tǒng)的總能量與振幅的平方成正比,例6一水平放置的彈簧振子，質(zhì)量為m，彈性系數(shù)為k，當(dāng)它振動(dòng)時(shí)，在什么位置動(dòng)能和勢(shì)能相等？它從該位置到達(dá)平衡位置所需的最短時(shí)間為多少？,解：(1),即,因此,(2),一.同方向同頻率諧振動(dòng)的合成 1.代數(shù)法,設(shè)有兩個(gè)諧振動(dòng),15-4 同方向諧振動(dòng)的合成,由,2.旋轉(zhuǎn)矢量法,討論: 合振動(dòng)仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其頻率與分振動(dòng)相同 合振動(dòng)振幅不但與兩分振動(dòng)的振幅有關(guān)，而且與相位差有關(guān),例7已知兩諧振動(dòng)的曲線(如圖),它們是同頻率的諧振動(dòng),求它們的合振動(dòng)方程,解：由圖知,1振動(dòng)在t=0時(shí)：,2振動(dòng)在t=0時(shí)：,由旋轉(zhuǎn)矢量法,二.同方向不同頻率諧振動(dòng)的合成 拍,設(shè),討論A1=A2=A的情況,時(shí)合振幅 隨時(shí)間周期性緩慢地變化,而 作角頻率近于 或 的諧振動(dòng),討論：,振動(dòng)出現(xiàn)時(shí)強(qiáng)時(shí)弱的拍現(xiàn)象,合振幅最大處,即兩相