1、9.7 線性方程組,在科學(xué)研究和生產(chǎn)實(shí)踐中,許多實(shí)際問題往往涉及到解線性方程組。因此,對(duì)線性方程組的研究具有十分重要的意義,其本身也是線性代數(shù)的重要內(nèi)容之一.,9.7.1 概念,上一章導(dǎo)出的克拉默法則在理論上是一個(gè)非常完美的結(jié)果，利用行列式，把線性方程組的解以公式解的形式表示了出來。,然而，克拉默法則僅可解決當(dāng)線性方程組的方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，并且方程組的系數(shù)行列式不等于零時(shí)的求解問題。,如果當(dāng)方程組的方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)不相同，或者方程組的系數(shù)行列式等于零等更加一般的線性方程組時(shí)，不能用克萊姆法則來求解，因而，我們來討論一般的線性方程組的求解問題。,其中,未知量,第i個(gè)方程第j個(gè)未知量x

2、j的系數(shù),常數(shù)項(xiàng),若全為0,稱為齊次線性方程組,所謂一般線性方程組是指具有形式：,否則，為非齊次線性方程組,由m個(gè)方程n個(gè)未知量的線性方程構(gòu)成的方程組,求解線性方程組有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，針對(duì)一般形式的線性方程組求解問題，實(shí)際上主要是討論以下二個(gè)問題(1)如何判別一個(gè)線性方程組是否有解;(2)若有解，則判斷解是唯一還是有無窮多個(gè)解，并求出所有解.,圖2.1是某城市某區(qū)域單行道路網(wǎng).據(jù)統(tǒng)計(jì)進(jìn)入交叉路口A 每小時(shí)車流量為500輛，而從路口B和C出來的車流量分別為每小時(shí)350輛和150輛.求出沿每一個(gè)道路每小時(shí)的車流量.,例,解,如圖所示，設(shè)沿這些道路每小時(shí)車流量分x1,x2,x3,x4,x5,x6,

3、鑒于出入每一個(gè)路口的車流量是相等的，,于是有,這就給出6個(gè)未知量4個(gè)方程構(gòu)成的線性方程組：,所提的問題就歸結(jié)為求解上述線性方程組。,那如何求解呢?,能用克拉默法則求解嗎?,基本的也較方便的方法還是我們中學(xué)就熟悉的消元法。,例,解線性方程組,不能用克拉默法則求解.,(),9.7.2 消元法,解,互換、兩個(gè)方程得到同解的方程組，,消去 、中的x1，,可以得到,繼續(xù)消去、中的x2，,可以得到,同解,同解,(),(),(),通過回代，可以很容易的解得方程組()的解：x1=1, x2=2, x3=1，也即求得了原方程組()的解。,分析上述消元法過程，我們對(duì)線性方程組施行了三種變換：,稱這三種變換為線性方

4、程組的初等變換.,(1)交換兩個(gè)方程的位置； (2)用一個(gè)不等于零的數(shù)乘某一個(gè)方程； (3)用一個(gè)數(shù)乘某個(gè)方程后加到另一個(gè)方程上.,線性方程組的初等變換把一個(gè)線性方程組變?yōu)橐粋€(gè)與它同解的線性方程組.,消元法的實(shí)質(zhì),就是利用初等變換化簡(jiǎn)線性方程組.最終得到比較簡(jiǎn)單的容易求出解的線性方程組，而該線性方程組的解即為原線性方程組的解.,消元法的實(shí)質(zhì),就是利用初等變換化簡(jiǎn)線性方程組.,那么把方程組化簡(jiǎn)到哪一步就能解出原方程組的解呢,進(jìn)一步觀察一下消元法的過程可以發(fā)現(xiàn)，消元法中作的變化僅僅是對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)作的變化，可把系數(shù)項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)單獨(dú)拿出來處理。,(),取出系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)排成矩形數(shù)陣,方程組跟這樣

5、的數(shù)表是相互唯一對(duì)應(yīng)的,(),取出系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)排成矩形數(shù)陣,這方程組跟這樣的數(shù)表是相互唯一對(duì)應(yīng)的,消元法的兩個(gè)方程互換,數(shù)表的兩行互換,消元法的倍加,數(shù)表第1行某倍加到其他行,取出系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)排成矩形數(shù)陣,取出系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)排成矩形數(shù)陣,(),(),從上述過程可以發(fā)現(xiàn)，消元法中作的變化可以簡(jiǎn)單的通過對(duì)系數(shù)項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)表進(jìn)行處理來得到方程組的解。,把這樣的數(shù)表通稱為為矩陣。,線性方程組,由線性方程組的系數(shù)構(gòu)成的矩陣，,稱為系數(shù)矩陣,由線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的矩陣,稱為線性方程組的增廣矩陣，,A=,記為,A=,記為,為了區(qū)別系數(shù)和常數(shù)項(xiàng),消元法的過程相當(dāng)于就是對(duì)增廣矩陣進(jìn)行一系列的初等行

6、變換化為比較簡(jiǎn)單的矩陣，并解出比較簡(jiǎn)單矩陣所代表的方程組的解，從而得到原線性方程組的解.,所謂比較簡(jiǎn)單的矩陣就是階梯形矩陣，階梯形矩陣代表的線性方程組當(dāng)有解時(shí)通過回代一定可以求出解。,所以，消元法的過程相當(dāng)于就是對(duì)增廣矩陣進(jìn)行一系列的初等行變換化為階梯形矩陣，并解出階梯形矩陣所代表的方程組的解，從而得到原方程組的解.,我們一起來看一下課本的例2,約化階梯形矩陣,定義,若階梯形矩陣A的每個(gè)階梯頭都為1，且階梯頭所在的列其他元素都為零，則稱為約化階梯型矩陣，或稱為行最簡(jiǎn)形。,例如,我們來看一下課本上的例3，例4，例5,定理,r行,本節(jié)來求解一般的線性方程組,方程組的系數(shù)矩陣,行變換,列互換,列互換

7、對(duì)應(yīng)著交換未知量的順序,（）,非齊次線性方程組,9.7.3 線性方程組有解的判別定理,相同的變換,增廣矩陣,除未知量的順序外，B對(duì)應(yīng)的方程組與原方程組具有相同的解,B對(duì)應(yīng)的方程組,要使得方程組有解，則當(dāng)且僅當(dāng),(),對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣的秩，即秩（A）,時(shí)也即增廣矩陣有，,所以，線性方程組有解的充要條件就是,線性方程組()就變?yōu)?所以，r =n時(shí)線性方程組有唯一解xidi（i1，2，,n),線性方程組()就變?yōu)?xr+1 ,xr+2,., xn可以任意取值，為自由未知量,所以，r n時(shí)線性方程組有無窮多個(gè)解：,總上所述，我們可以得到如下結(jié)論：,重要結(jié)論,定理：,1),線性方程組無解;,線性方程組唯一

8、解;,線性方程組無窮多個(gè)解,并且自由未知量個(gè)數(shù)為nr 個(gè).,該定理表明，線性方程組的解由系數(shù)矩陣的秩以及增廣矩陣的秩決定的，只要求出A和 的秩，即可知道方程組解的情況。,通常是對(duì)增廣矩陣只用初等行變換化為階梯形矩陣即可知兩者的秩.,解非齊次線性方程組的一般過程,寫出增廣矩陣,只用初等行變換,化為階梯形矩陣,判斷是否有解,有解時(shí)判斷 解是否唯一,有解時(shí)寫出階梯形矩陣對(duì)應(yīng)的線性方程組,求出該線性方程組的解,例：判斷下線性方程組解的情況，有解時(shí)，求出所有解,例,解,對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣的秩，即秩（A）3,自由位置量是不是只能取x4,x5,x6呀,其中t1,t2,t3為任意常數(shù).,解：,所以方程組有無窮多個(gè)

9、解，并且有一個(gè)自由未知量.,最后階梯形矩陣對(duì)應(yīng)的線性方程組是，,所以方程組有無窮多個(gè)解是，,任意常數(shù),例,取何值時(shí)，線性方程組，,無解，唯一解或無窮多個(gè)解，在無窮多個(gè)解時(shí)寫出通解。,解法一:,把增廣矩陣施行初等行變換化為：,下面來討論方程組常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程組解的情況，,方程組一定有解嗎,也即齊次線性方程組解的情況,零解一定是齊次線性方程組的解,所以它的解只有兩種情況: 唯一解(只有零解)或無窮多個(gè)解(有非零解),齊次線性方程組只有零解.,1),（未知量個(gè)數(shù)）,齊次線性方程組有非零解，并且自由未知量個(gè)數(shù)為nr 個(gè).,2),（未知量個(gè)數(shù)）,定理：,解齊次線性方程組的一般過程,寫出系數(shù)矩陣,只用初等行變換,化為階梯形矩陣,判斷是否 只有零解,有非零解時(shí)寫出階梯形矩陣對(duì)應(yīng)的線性方程組,求出該線性方程組的解,對(duì)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A施行初等行變換化階梯形，,解,（1）當(dāng)