1、第四章 FIR濾波器的設(shè)計方法,線性相位FIR數(shù)字濾波器的特性 窗口設(shè)計法 IIR與FIR數(shù)字濾器的比較,學(xué)習(xí)要求：掌握線性相位的條件；熟練掌握FIR線性相位濾波器的幅頻特性；會用窗口法設(shè)計FIR濾波器。,1、FIR數(shù)字濾波器,FIR數(shù)字濾波器的差分方程描述,對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為：,FIR數(shù)字濾波器的特點(與IIR數(shù)字濾波器比較)：,優(yōu)點 （1）很容易獲得嚴(yán)格的線性相位，避免被處理的信號產(chǎn)生相位失真，這一特點在寬頻帶信號處理、陣列信號處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要； （2）永遠(yuǎn)穩(wěn)定，如果它的有限長單位脈沖響應(yīng)是非因果的，總能夠通過適當(dāng)?shù)囊莆坏玫揭蚬模圆淮嬖谑欠窨蓪崿F(xiàn)的問題；,FIR濾波器與I

2、IR濾波器的設(shè)計方法大不相同，對IIR數(shù)字濾波器，設(shè)計結(jié)果是系統(tǒng)函數(shù)H(Z)，而FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計結(jié)果是其單位脈沖響應(yīng)h(k)。,4.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的特性,4.1.1 線性相位特性 1、線性相位特性 相位特性是系統(tǒng)的一個特性，要研究系統(tǒng)的相位特性可求其傅立葉變換。,例：對于一個系統(tǒng)要實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏攧t系統(tǒng)響應(yīng)y(t)與激勵f(t)的關(guān)系如下圖。,求其傅立葉變換得：,而：,系統(tǒng)的幅頻特性為：,相頻特性：,圖一：幅頻特性,圖二：相位特性,線性相位：指 是w的線性函數(shù)， 即群時延是一個常數(shù)。,（常數(shù)）,線性相位類別：,第一類線性相位：,第二類線性相位：,2、FIR濾波器滿足第一類線性

3、相位的條件,條件：h(k)是實數(shù)序列且對N/2點偶對稱，即h(k)=h(N-1-k)。,計算其頻率響應(yīng)得（計算過程見板書）：,因為：h(k)是實函數(shù)，正弦函數(shù)也是實函數(shù),幅度函數(shù),相位函數(shù),所以，只要h(k)是實序列，且h(k)為N/2點偶對稱，則該濾波器就一定具有第一類線性相位。,3、FIR濾波器滿足第二類線性相位的條件,條件：h(k)是實數(shù)序列且對N/2點奇對稱，即h(k)=-h(N-1-k)。,其頻率響應(yīng)為：,幅度函數(shù),相位函數(shù),綜上，線性相位的條件：,即如果單位脈沖響應(yīng)h(k)為實數(shù)，且具有偶對稱或奇對稱性，則FIR數(shù)字濾波器具有嚴(yán)格的線性相位特性。,4、線性相位FIR濾波器的幅度特性

4、,偶對稱的幅度函數(shù)：,奇對稱的幅度函數(shù)：,圖三：線性相位FIR濾波器幅度特性,1、h(n)偶對稱，N為奇數(shù) w=0,2偶對稱，因此 對這些頻率也呈偶對稱。 2、h(n)偶對稱，N為偶數(shù) w= ,H(w)=0，不能用這種情況設(shè)計高通、帶阻濾波器。 3 、h(n)奇對稱，N為奇數(shù) w=0,2時H(w)=0，不能用作低通、高通或帶阻，只能設(shè)計帶通。 4、h(n)奇對稱，N為偶數(shù) w=0,2時H(w)=0，不能設(shè)計低通和帶阻，可設(shè)計高通和帶通。,表4.1 四種線性相位FIR濾波器特性 第一種情況，偶對稱、奇數(shù)點，四種濾波器都可設(shè)計； 第二種情況，偶對稱、偶數(shù)點，可設(shè)計低、帶通濾波器不能設(shè)計高通和帶阻；

5、 第三種情況，奇對稱、奇數(shù)點，只能設(shè)計帶通濾波器，其它濾波器都不能設(shè)計； 第四種情況，奇對稱、偶數(shù)點，可設(shè)計高、帶通濾波器，不能設(shè)計低通和帶阻。,總結(jié)： 可見，四種FIR數(shù)字濾波器的相位特性只取決于h(n)的對稱性，而與h(n)的值無關(guān)，其幅度特性取決于h(n)，所以，設(shè)計FIR數(shù)字濾波器時，在保證h(n)對稱的條件下，只要完成幅度特性的逼近即可。,4.2 窗口設(shè)計法（時間窗口法）,FIR濾波器的一般設(shè)計過程總是先給定一理想頻率響應(yīng)為 ，然后設(shè)計一FIR濾波器用它的頻率響應(yīng) 去逼近 。 在這種逼近中有兩種直接的方法，一是從時域入手，這就是本節(jié)要講的時間窗口設(shè)計法，另一種從頻域入手，即下節(jié)講的頻

6、率采樣法。,時間窗口設(shè)計法是從單位脈沖響應(yīng)序列著手，使h(n)逼近理想的單位脈沖響應(yīng)序列hd(n)。我們知道hd(n)可以從理想頻響通過付氏反變換獲得。,線性相位理想低通濾波器的頻率響應(yīng)：,相應(yīng)的理想單位抽樣響應(yīng)為：,即：,1、FIR低通濾波器的設(shè)計,圖四：理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)波形,由上圖可見，得到的理想單位脈沖響應(yīng)hd(n)往往都是無限長序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限長的，問題是怎樣用一個有限長的序列去近似無限長的hd(n)。 最直接簡單的辦法是直接截取其一段得到可實現(xiàn)的有限長因果序列。 為了構(gòu)造線性相位濾波器，應(yīng)使截取的一段對N/2對稱，如： h(n)=

7、hd(n)RN(n) 其中RN(n)為矩形序列，也稱為窗函數(shù)。見下圖。,圖五：理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗,所以，實際可實現(xiàn)的濾波器為：,我們用一個有限長序列h(n)來代替hd(n)，肯定會引起誤差。對實際得到的h(n)取頻率響應(yīng)得其幅頻圖如下：,圖七：理想的幅頻特性曲線,圖六：實際濾波器的幅頻特性曲線圖,從實際濾波器的幅頻圖和理想的濾波器幅頻曲線比 較，可見加窗對理想頻響的影響： 1、在w=wc附近形成過渡帶，其寬度取決于窗函數(shù) 的主瓣寬度。 2、通帶內(nèi)增加了波動，阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余震并減少了阻帶的衰減。這是由窗函數(shù)旁瓣的作用引起的。,這種誤差表現(xiàn)在頻域上，稱為吉布斯效應(yīng)。,如何減少吉布斯效應(yīng)

8、？,加大N，只能使過渡帶變窄； 要減少帶內(nèi)波動以及加大阻帶衰減，就需要選擇合適的窗函數(shù)。,為了改善濾波器的特性，必須改變窗函數(shù)的形狀，窗函數(shù)要滿足以下兩點要求： 窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶； 相對于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量盡量集中在主瓣中，這樣就可以減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。 但實際上這兩點不能兼得，一般總是通過增加主瓣寬度來換取對旁瓣的抑制。,2、幾種典型的窗函數(shù),1）矩形窗,窗函數(shù)為：,2）漢寧窗（升余弦窗）,窗函數(shù)為：,3）哈明窗（改進(jìn)的升余弦窗）,窗函數(shù)為：,它是對漢寧窗的改進(jìn)，在主瓣寬度（對應(yīng)第一零點的寬度）相同的情況下，旁瓣進(jìn)一步減小，可使99.

9、96%的能量集中在主瓣內(nèi)。,4）布萊克曼窗,窗函數(shù)為：,增加一個二次諧波余弦分量，可進(jìn)一步降低旁瓣，但主瓣寬度進(jìn)一步增加，增加N可減少過渡帶。,5）凱塞窗,以上四種窗函數(shù)，都是以增加主瓣寬度為代價來降低旁瓣。凱塞窗則可自由選擇主瓣寬度和旁瓣衰減,如圖。,窗函數(shù)為：,其中,四種窗函數(shù)的比較,四種窗函數(shù)的時域波形如圖4.6，幅度譜如圖4.7，用四種窗函數(shù)所設(shè)計的濾波器的頻響特性如圖4.8。,從(a)(d)，旁瓣的衰減逐步增加，主瓣相應(yīng)加寬。,（N=51， =0.8）,圖4.8可見，用矩形窗設(shè)計的濾波器過渡帶最窄，但阻帶最小衰減也最小，僅-21dB；布萊克曼窗設(shè)計的阻帶最小衰減最大，達(dá)-74dB，但

10、過渡帶最寬，約為矩形窗的三倍。,3、用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器步驟,1) 根據(jù)技術(shù)要求確定待求濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n); 2) 根據(jù)對過渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估算窗口的長度N； 3) 計算濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)，h(n)=hd(n)w(n)，如果要求是線性相位，則hd(n) 和w(n)均對N/2點對稱。 對于FIR濾波器，得h(n)就設(shè)計好了，當(dāng)然要驗證指標(biāo)的話，還應(yīng)求出頻率響應(yīng)。,另一個FIR濾波器參數(shù)表,(模擬指標(biāo)),優(yōu)點：1. 無穩(wěn)定性問題； 2. 容易做到線性相位； 3. 可以設(shè)計各種特殊類型的濾波器； 4. 方法特別簡單。,缺點：1. 不易控制邊緣頻率

11、； 2. 幅頻性能不理想； 3. 較長；,改進(jìn)：1. 使用其它類型的窗函數(shù)； 2. 改進(jìn)設(shè)計方法。,FIR DF 設(shè)計的窗函數(shù)法的特點：,窗口法設(shè)計FIR高通帶通帶阻濾波器,1、線性相位FIR高通濾波器的設(shè)計 (第一類線性相位)理想高通的頻率響應(yīng)為：,第二類線性相位（有相移）(略),其單位抽樣響應(yīng)為：,相當(dāng)于用一個截止頻率在 處的低通濾波器（實際上是全通濾波器）減去一個截止頻率在c 處的低通濾波器。,例2:根據(jù)下列技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計一個FIR數(shù)字高通濾波器：wp=0.6 ,ws=0.4 ,Ap=0.25dB,As=40dB。選擇一個合適的窗函數(shù)，確定單位沖激響應(yīng)。（ex4_hp.m）,課本P150

12、 表4.2 幾種窗函數(shù)的性能,解：wp=0.6;ws=0.4 tr_width=wp-ws=0.2 N=6.2 /tr_width=31 wc=(ws+wp)/2=0.5;,理想高通,選擇漢寧窗,漢明窗函數(shù)為,所以，h(n)=hd(n)w(n),注意與上次課例子做比較,2、線性相位FIR帶通濾波器的設(shè)計 理想帶通的頻率響應(yīng)為：,其單位抽樣響應(yīng)為：,可見，帶通濾波器(w1,w2)=低通(w2)-低通(w1),習(xí)題1：根據(jù)下列技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計一個FIR數(shù)字帶通濾波器：wpl=0.4 , wph=0.6 , wsl=0.2, wsh=0.8, Apl=1dB, Aph=1dB, Asl=60dB , Ash=60dB 。選擇一個合適的窗函數(shù)，確定單位沖激響應(yīng). (ex4_bandpass.m),3、線性相位FIR帶阻濾波器的設(shè)計 理想帶阻的頻率響應(yīng)為：,其單位抽樣響應(yīng)為：,可見，帶阻濾波器(w1,w2)=高通(w2)+低通(w1),習(xí)題2：根據(jù)下列技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計一個FIR數(shù)字帶阻濾波器：wpl=0.2 , wp