1、1,3.2 線性微分方程的基本理論,線性微分方程是常微分方程中一類 很重要的方程，它的理論發(fā)展十分完善， 本節(jié)將介紹它的基本理論.,2,及其各階導(dǎo)數(shù),均為一次的n階微分方程稱為n階線性微分方程.,未知函數(shù),一般形式為:,3,n階線性齊次微分方程:,n階線性齊次微分方程，簡稱齊線性方程,（3.2.1）稱非齊線性方程。,4,上面兩個方程分別為齊次和非齊次的線性方程。,關(guān)于高階方程同一階方程一樣, 也有相類似的 解的存在惟一性定理.,5,滿足下列初始條件,方程（3.2.1）存在惟一的解,則對任一個 及任意的,6,線性微分算子:,例如:,7,二、齊次線性方程解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu),定理3.2 (疊加原理),則

2、它的線性組合,8,例1 驗證,是方程 的解.,解: 分別將,代入方程, 得,所以為方程的解.,9,基本解組:,如果方程（3.2.2）的任意一個解,都可以表示為 ,則稱,線性相關(guān):,對定義在區(qū)間(a, b)上的函數(shù)組,如果存在不全為0的常數(shù) , 使得,在(a, b)上恒成立,稱這些函數(shù)在所給的區(qū)間上線性相關(guān)，不然稱這些函數(shù)線性無關(guān).,10,只有當(dāng)所有的 時才成立.,(3.2.5),事實上, 如果至少有一個,11,則在（a, b）上線性無關(guān)的充要條件為,12,事實上,例3:,在任何區(qū)間上都線性無關(guān).,在任何區(qū)間上都線性相關(guān).,13,Wronskian 行列式:,14,依次將此恒等式對 t 微分,

3、得到 n 個恒等式,15,16,17,事實上, 假設(shè)存在恒等式,注: 定理3.3的逆定理不一定成立.例,18,19,其系數(shù)行列式,故它有非零解,現(xiàn)以這組解構(gòu)造函數(shù),20,即這個解滿足初始條件,21,則該解組在（a, b）上線性相關(guān).,22,線性無關(guān)解組, 基本解組及通解的關(guān)系?,23,定理3.6 如果 是n階齊次方程,（3.2.2）的 n 個線性無關(guān)的解。,則它一定是該方程的基本解組，,24,考慮方程組,因而上面的方程組有惟一解,即,25,定理3.7 (通解結(jié)構(gòu)定理),26,(1) 方程（3.2.2）的通解為,(2) 是方程的基本解組.,(3) 在(a, b)上線性無關(guān).,27,定理 3.9

4、(劉維爾公式),設(shè) 是（3.2.2）的任意n個解，,是它的Wronskian行列式，則對(a, b)上任意,都有,一點，,上述公式我們稱為劉維爾(Liouville)公式.,28,注2：對二階微分方程,設(shè) 是與 不同的解，則由劉維爾公式推得,用 乘以上式兩端可得,由此得,29,30,例5 求方程 的通解.,解：易知 為一特解，所以,31,三、非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu),定理3.10,n階線性非齊次方程的通解等于它的一個特解 與它所對應(yīng)的齊次方程的通解之和.,32,所以,事實上,(3.2.10),33,于是,事實上， 因為,34,定理 3.11 設(shè) 與 分別是非齊次線性方程,和,則 是方程,的解。,

5、的解,證明：,35,常數(shù)變易法求特解,(3.2.11),(3.2.12),36,我們還需要另外 n-1個條件來求出,在理論上這些條件是任意給出的,為了運算的方便, 我們按下面的方法來給出這 n-1 個條件.,對 (3.2.12) 式兩邊對 t 求導(dǎo)得,令,得到,(3.2.12),37,對上式兩邊繼續(xù)對t 求導(dǎo), 重復(fù)上述做法,令,繼續(xù)上述做法, 直到獲得第 n-1 個條件,令,38,最后, 將上式兩邊對 t 求導(dǎo)得,(3.2.10),39,該方程組的系數(shù)行列式恰好是齊線性方程的,n 個線性無關(guān)解的 Woolskin 行列式, 故它不等于零,因而該方程組有惟一解.,從而非齊線性方程的通解,40,例6 求方程 的通解，,已知它