1、學(xué)號(hào)：20155031201學(xué)年論文（本科）學(xué) 院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級(jí) 2015級(jí) 姓 名 高傳印 論文題目 冪級(jí)數(shù)及其應(yīng)用 指導(dǎo)教師 周學(xué)勇 職稱 講 師 成 績(jī) 2016年12月05日9目 錄摘 要1關(guān)鍵詞1abstract 1keywords1前 言11.冪級(jí)數(shù)的定義22.冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間和收斂半徑23.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算43.1冪級(jí)數(shù)在求導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用43.2冪級(jí)數(shù)在求極限中的應(yīng)用53.3冪級(jí)數(shù)在計(jì)算級(jí)數(shù)和中的應(yīng)用53.4冪級(jí)數(shù)在求微分方程中的應(yīng)用6總結(jié)7參考文獻(xiàn)7冪級(jí)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)生姓名：高傳印 學(xué)號(hào)：20155031201數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)指導(dǎo)老師

2、：周學(xué)勇 職稱：講師摘 要：本文主要介紹了冪級(jí)數(shù)的定義、收斂區(qū)間、運(yùn)算及其應(yīng)用。關(guān)鍵詞：冪級(jí)數(shù)；收斂區(qū)間；應(yīng)用 power series and its applicationabstract：this paper mainly introduces the definition,convergence interval,operation and application of the power series. key words：power series；convergence interval；application 前言在數(shù)學(xué)分析中,數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是全部級(jí)數(shù)理論的基礎(chǔ)，主要包括正項(xiàng)級(jí)數(shù)和交錯(cuò)

3、級(jí)數(shù)，而正項(xiàng)級(jí)數(shù)在各種數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中是最基本的，同時(shí)也是十分重要的一類級(jí)數(shù)。級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)體系的重要組成部分，它是在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)推動(dòng)下逐步形成和發(fā)展起來(lái)的。中國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽早在公元263年創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，其要旨是用圓內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓，從而求得圓的面積。這種“割圓術(shù)”就已經(jīng)建立了級(jí)數(shù)的思想方法，即無(wú)限多個(gè)數(shù)的累加問(wèn)題。而將一個(gè)函數(shù)展開(kāi)成無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念最早來(lái)自于14世紀(jì)印度的馬徳哈瓦，他首先發(fā)展了冪級(jí)數(shù)的概念，對(duì)泰勒級(jí)數(shù)、麥克勞林級(jí)數(shù)、無(wú)窮級(jí)數(shù)的有理數(shù)逼近等做了研究。同時(shí)，他也開(kāi)始討論判斷無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性方法。到了19世紀(jì)，高斯、歐拉、柯西等各自給出了各種判別級(jí)數(shù)審斂法則，使級(jí)

4、數(shù)理論全面發(fā)展起來(lái)。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在冪級(jí)數(shù)理論研究上可謂一枝獨(dú)秀，清代數(shù)學(xué)家董祐誠(chéng)、坎各達(dá)等運(yùn)用具有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)特色的方法對(duì)三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等初等函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究。而今，級(jí)數(shù)的理論已經(jīng)發(fā)展的相當(dāng)豐富和完整，在工程實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用，級(jí)數(shù)可以用來(lái)表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)、也是進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具。它在自然科學(xué)、工程技術(shù)和數(shù)學(xué)本身方面都有廣泛的作用。 1.冪級(jí)數(shù)的定義在引進(jìn)冪級(jí)數(shù)定義之前,先介紹一下函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念.設(shè)是定義在數(shù)集e上的一個(gè)函數(shù)列,表達(dá)式稱為定義在e上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),簡(jiǎn)記為或.定 義 由冪函數(shù)序列 所產(chǎn)生的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) (1)稱為冪級(jí)數(shù)，是一類最簡(jiǎn)單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).從某

5、種意義上,它可以看作是多項(xiàng)式函數(shù)的延伸.冪級(jí)數(shù)在理論和實(shí)際上都有很多應(yīng)用,特別是在應(yīng)用它表示函數(shù)方面.下面將著重討論,即 (2)的情形,只要把（2）中的換成,就得到（1）.2.冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間和收斂半徑定理2.1（阿貝爾定理） 若冪級(jí)數(shù)（2）在,則處收斂,則對(duì)滿足不等式的任何,冪級(jí)數(shù)（2）收斂,而且絕對(duì)收斂;若冪級(jí)數(shù)（2）在處發(fā)散,則對(duì)滿足不等式的任何,冪級(jí)數(shù)（2）發(fā)散.證：設(shè)級(jí)數(shù)收斂,從而數(shù)列收斂于零且有界,即存在某整數(shù)m，使得 另一方面對(duì)任意一個(gè)滿足不等式的,設(shè)，則有.由于級(jí)數(shù)收斂,故冪級(jí)數(shù)（2）當(dāng)時(shí)絕對(duì)收斂.現(xiàn)在證明定理的第二部分.設(shè)冪級(jí)數(shù)（2）在處發(fā)散,如果存在某一個(gè),滿足不等式,使級(jí)

6、數(shù)收斂.則知道級(jí)數(shù)（2）在處絕對(duì)收斂,與假設(shè)矛盾,故一切不滿足不等式的,冪級(jí)數(shù)（2）都發(fā)散.由此定理知道:冪級(jí)數(shù)（2）的收斂域是以原點(diǎn)為中心的區(qū)間.若以2r表示區(qū)間長(zhǎng)度，則稱r為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.也是使得冪級(jí)數(shù)（2）收斂的那些收斂點(diǎn)的絕對(duì)值的上確界.所以當(dāng)r=0時(shí),冪級(jí)數(shù)（2）僅在處收斂；當(dāng)時(shí),冪級(jí)數(shù)（2）在上收斂；當(dāng)時(shí),冪級(jí)數(shù)（2）在上收斂;對(duì)一切滿足不等式的，冪級(jí)數(shù)（2）都發(fā)散,在處,冪級(jí)數(shù)（2）可能熟練也可能發(fā)散.我們稱為冪級(jí)數(shù)（2）的收斂區(qū)間.定理2.2 對(duì)于冪級(jí)數(shù)（2）,若，則當(dāng)(i)時(shí),冪級(jí)數(shù)（2）的收斂半徑;(ii)時(shí),冪級(jí)數(shù)（2）的收斂半徑；(iii)時(shí),冪級(jí)數(shù)（2）的收斂半徑

7、r=0.證：對(duì)于冪級(jí)數(shù)（2）,由于，根據(jù)級(jí)數(shù)的根式判別法,當(dāng)時(shí),收斂;當(dāng)時(shí)發(fā)散.于是當(dāng)時(shí),由得冪級(jí)數(shù)（2）的收斂半徑.當(dāng)時(shí),對(duì)任何皆有,所以.當(dāng)時(shí),除的任何皆有,所以r=0.例1 求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間和半徑.解：由于 ，所以它的收斂半徑r=1,即收斂區(qū)間為;當(dāng)時(shí),有,由于級(jí)數(shù)在時(shí)也收斂,可得其收斂域?yàn)? 例2 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和區(qū)間.解： ,即收斂半徑為r=1,收斂區(qū)間為； 當(dāng)時(shí),由于均發(fā)散,故該級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域?yàn)?邏輯推理：求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域,可直接用定理求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑r,然后確定冪級(jí)數(shù)在時(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性,即可的收斂區(qū)域.當(dāng)冪級(jí)數(shù)缺項(xiàng)時(shí)，可直接用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的等值判別法判定收斂區(qū)域.

8、 3.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算冪級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的知識(shí),它的應(yīng)用非常廣泛.巧妙地利用函數(shù)冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式和性質(zhì)能夠把復(fù)雜的性質(zhì)表達(dá)成最簡(jiǎn)單的形式,使得解題思路清晰.3.1冪級(jí)數(shù)在求導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用求導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的知識(shí),有些求導(dǎo)問(wèn)題,冪級(jí)數(shù)法也是其中之一.例：求的n階導(dǎo)數(shù).解： 3.2冪級(jí)數(shù)在求極限中的應(yīng)用求極限冪級(jí)數(shù)法是一種有效的方法例：求解：設(shè)故3.3冪級(jí)數(shù)在計(jì)算級(jí)數(shù)和中的應(yīng)用利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)：冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分可計(jì)算冪級(jí)數(shù)的和.例：求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解：因?yàn)?，所以r=0,收斂域?yàn)?令則所以即() 解得 故有 .3.4冪級(jí)數(shù)在求微分方程中的應(yīng)用在求微分方程解的問(wèn)題上,有時(shí)候借助冪級(jí)數(shù)的形式,也不失為一種好方法.例：求的解解：設(shè)方程的解為 則將 原方程的通解為 ()總結(jié) 冪級(jí)數(shù)應(yīng)用的方面雖然較多，但使用起來(lái)仍有一定的技巧，根據(jù)不同的題目特點(diǎn)分析、判斷選擇適宜的方法進(jìn)行判斷，能夠最大限度的節(jié)約時(shí)間，提高效率，特別是一些典型問(wèn)題，運(yùn)用典型方法，才能事半功倍本文歸納總結(jié)冪級(jí)數(shù)應(yīng)用方法，比較這些方法的不同特點(diǎn)，總結(jié)出一些典型的冪級(jí)數(shù)，根據(jù)不同的題目特點(diǎn)分析、判斷選擇適宜的方法進(jìn)行判斷參考文獻(xiàn)：1 李光敏，焦艷芳. 數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解m北京：中國(guó)水利水電出版