1、3.3 多元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),一、擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 二、方程的顯著性檢驗(yàn)(F檢驗(yàn)) 三、變量的顯著性檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)） 四、參數(shù)的置信區(qū)間,一、擬合優(yōu)度檢驗(yàn),1、可決系數(shù)與調(diào)整的可決系數(shù),則,總離差平方和的分解,由于,=0,所以有：,注意：一個(gè)有趣的現(xiàn)象,可決系數(shù),該統(tǒng)計(jì)量越接近于1，模型的擬合優(yōu)度越高。,問題： 在應(yīng)用過程中發(fā)現(xiàn)，如果在模型中增加一個(gè)解釋變量， R2往往增大（Why?) 這就給人一個(gè)錯(cuò)覺：要使得模型擬合得好，只要增加解釋變量即可。 但是，現(xiàn)實(shí)情況往往是，由增加解釋變量個(gè)數(shù)引起的R2的增大與擬合好壞無關(guān)，R2需調(diào)整。,調(diào)整的可決系數(shù)（adjusted coefficient of

2、 determination）,在樣本容量一定的情況下，增加解釋變量必定使得自由度減少，所以調(diào)整的思路是:將殘差平方和與總離差平方和分別除以各自的自由度，以剔除變量個(gè)數(shù)對擬合優(yōu)度的影響:,其中：n-k-1為殘差平方和的自由度，n-1為總體平方和的自由度。,*2、赤池信息準(zhǔn)則和施瓦茨準(zhǔn)則,為了比較所含解釋變量個(gè)數(shù)不同的多元回歸模型的擬合優(yōu)度，常用的標(biāo)準(zhǔn)還有: 赤池信息準(zhǔn)則（Akaike information criterion, AIC）,施瓦茨準(zhǔn)則（Schwarz criterion，SC）,這兩準(zhǔn)則均要求僅當(dāng)所增加的解釋變量能夠減少AIC值或AC值時(shí)才在原模型中增加該解釋變量。,Eview

3、s的估計(jì)結(jié)果顯示： 中國居民消費(fèi)一元例中： AIC=6.68 AC=6.83 中國居民消費(fèi)二元例中： AIC=7.09 AC=7.19 從這點(diǎn)看，可以說前期人均居民消費(fèi)CONSP(-1)應(yīng)包括在模型中。,二、方程的顯著性檢驗(yàn)(F檢驗(yàn)),方程的顯著性檢驗(yàn)，旨在對模型中被解釋變量與解釋變量之間的線性關(guān)系在總體上是否顯著成立作出推斷。,1、方程顯著性的F檢驗(yàn),即檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?Yi=0+1X1i+2X2i+ +kXki+i i=1,2, ,n 中的參數(shù)j是否顯著不為0。,可提出如下原假設(shè)與備擇假設(shè)：,H0： 0=1=2= =k=0 H1： j不全為0,F檢驗(yàn)的思想來自于總離差平方和的分解式： TSS=ES

4、S+RSS,如果這個(gè)比值較大，則X的聯(lián)合體對Y的解釋程度高，可認(rèn)為總體存在線性關(guān)系，反之總體上可能不存在線性關(guān)系。 因此,可通過該比值的大小對總體線性關(guān)系進(jìn)行推斷。,根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的知識，在原假設(shè)H0成立的條件下，統(tǒng)計(jì)量,服從自由度為(k , n-k-1)的F分布,給定顯著性水平，可得到臨界值F(k,n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計(jì)量F的數(shù)值，通過 F F(k,n-k-1) 或 FF(k,n-k-1) 來拒絕或接受原假設(shè)H0，以判定原方程總體上的線性關(guān)系是否顯著成立。,對于中國居民人均消費(fèi)支出的例子： 一元模型：F=285.92 二元模型：F=2057.3,給定顯著性水平 =0.05，查分布表，

5、得到臨界值： 一元例：F(1,21)=4.32 二元例： F(2,19)=3.52,顯然有 F F(k,n-k-1) 即二個(gè)模型的線性關(guān)系在95%的水平下顯著成立。,2、關(guān)于擬合優(yōu)度檢驗(yàn)與方程顯著性檢驗(yàn)關(guān)系的討論,由,可推出：,與,或,在中國居民人均收入-消費(fèi)一元模型中，,在中國居民人均收入-消費(fèi)二元模型中，,三、變量的顯著性檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）,方程的總體線性關(guān)系顯著每個(gè)解釋變量對被解釋變量的影響都是顯著的,因此，必須對每個(gè)解釋變量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，以決定是否作為解釋變量被保留在模型中。 這一檢驗(yàn)是由對變量的 t 檢驗(yàn)完成的。,1、t統(tǒng)計(jì)量,由于,以cii表示矩陣(XX)-1 主對角線上的第i個(gè)元素

6、，于是參數(shù)估計(jì)量的方差為：,其中2為隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差，在實(shí)際計(jì)算時(shí)，用它的估計(jì)量代替:,因此，可構(gòu)造如下t統(tǒng)計(jì)量,2、t檢驗(yàn),設(shè)計(jì)原假設(shè)與備擇假設(shè)：,H1：i0,給定顯著性水平，可得到臨界值t/2(n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計(jì)量t的數(shù)值，通過 |t| t/2(n-k-1) 或 |t|t/2(n-k-1) 來拒絕或接受原假設(shè)H0，從而判定對應(yīng)的解釋變量是否應(yīng)包括在模型中。,H0：i=0 （i=1,2k）,注意：一元線性回歸中，t檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)一致,一方面，t檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)都是對相同的原假設(shè)H0：1=0 進(jìn)行檢驗(yàn); 另一方面，兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量之間有如下關(guān)系：,在中國居民人均收入-消費(fèi)支出二元模型例中，由應(yīng)用

7、軟件計(jì)算出參數(shù)的t值：,給定顯著性水平=0.05，查得相應(yīng)臨界值： t0.025(19) =2.093。,可見，計(jì)算的所有t值都大于該臨界值，所以拒絕原假設(shè)。即: 包括常數(shù)項(xiàng)在內(nèi)的3個(gè)解釋變量都在95%的水平下顯著，都通過了變量顯著性檢驗(yàn)。,四、參數(shù)的置信區(qū)間,參數(shù)的置信區(qū)間用來考察：在一次抽樣中所估計(jì)的參數(shù)值離參數(shù)的真實(shí)值有多“近”。 在變量的顯著性檢驗(yàn)中已經(jīng)知道：,容易推出：在(1-)的置信水平下i的置信區(qū)間是,其中，t/2為顯著性水平為 、自由度為n-k-1的臨界值。,在中國居民人均收入-消費(fèi)支出二元模型例中, 給定=0.05，查表得臨界值：t0.025(19)=2.093,計(jì)算得參數(shù)的置信區(qū)間： 0 ：(44.284, 197.116) 1 ： (0.0937, 0.3489 ) 2 ：(0.0951, 0.8080),從回歸計(jì)算中已得到：,如何才能縮小置信區(qū)間？,增大樣本容量n，因?yàn)樵谕瑯拥臉颖救萘肯?，n越大，t分布表中的臨界值越小，同時(shí)，增大樣本容量，還可使樣