1、怎樣建立數(shù)學(xué)模型,石家莊經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)理學(xué)院 康 娜 2009年6月2日,現(xiàn)代數(shù)學(xué)： 在理論上更抽象； 在方法上更加綜合； 在應(yīng)用上更為廣泛。,一、 現(xiàn)代科技人員應(yīng)具有的數(shù)學(xué)能力,* 數(shù)學(xué)很重要的一方面在于數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用.,*更重要的方面是數(shù)學(xué)的思維方式的確立.,21世紀(jì)科技人才應(yīng)具備的數(shù)學(xué)素質(zhì)與能力,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,邏輯推理能力,數(shù)學(xué)建模能力,數(shù)據(jù)處理能力,空間想象能力,抽象思維能力,更新數(shù)學(xué)知識能力,使用數(shù)學(xué)軟件能力,二、建模范例,森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。 隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大； 隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。 綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。,問題分析

2、,問題,記隊(duì)員人數(shù)x, 失火時(shí)刻t=0, 開始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻t2, 時(shí)刻t森林燒毀面積B(t).,損失費(fèi)f1(x)是x的減函數(shù), 由燒毀面積B(t2)決定.,救援費(fèi)f2(x)是x的增函數(shù), 由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定.,存在恰當(dāng)?shù)膞，使f1(x), f2(x)之和最小,森林救火,森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。 隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大； 隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。 綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。,問題分析,問題,記隊(duì)員人數(shù)x, 失火時(shí)刻t=0, 開始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻t2, 時(shí)刻t森林燒毀面積B(t).,損失費(fèi)f1(x)是x的減函數(shù), 由燒毀面積B(t

3、2)決定.,救援費(fèi)f2(x)是x的增函數(shù), 由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定.,存在恰當(dāng)?shù)膞，使f1(x), f2(x)之和最小,關(guān)鍵是對B(t)作出合理的簡化假設(shè).,問題分析,失火時(shí)刻t=0, 開始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻t2, 畫出時(shí)刻 t 森林燒毀面積B(t)的大致圖形,分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度dB/dt.,模型假設(shè),3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費(fèi)）,1）0tt1, dB/dt 與 t成正比，系數(shù) (火勢蔓延速度）,2）t1tt2, 降為-x (為隊(duì)員的平均滅火速度）,4）每個(gè)隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用c2, 一次性費(fèi)用c3,假設(shè)1）的解釋,火勢以

4、失火點(diǎn)為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑 r與 t 成正比,模型建立,目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用,模型建立,目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用,模型求解,求 x使 C(x)最小,結(jié)果解釋, / 是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù),其中 c1,c2,c3, t1, ,為已知參數(shù),模型應(yīng)用,c1,c2,c3已知, t1可估計(jì),c1, t1, x,c3 , x ,結(jié)果解釋,c1燒毀單位面積損失費(fèi), c2每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi), c3每個(gè)隊(duì)員一次性費(fèi)用, t1開始救火時(shí)刻, 火勢蔓延速度, 每個(gè)隊(duì)員平均滅火速度., ,可設(shè)置一系列數(shù)值,由模型決定隊(duì)員數(shù)量x,為了選修課程門數(shù)最少，應(yīng)學(xué)習(xí)哪些課程 ？,例2 選課策略,要求至少選兩門數(shù)學(xué)課、三

5、門運(yùn)籌學(xué)課和兩門計(jì)算機(jī)課,選修課程最少，且學(xué)分盡量多，應(yīng)學(xué)習(xí)哪些課程 ？,0-1規(guī)劃模型,決策變量,目標(biāo)函數(shù),xi=1 選修課號i 的課程（xi=0 不選）,選修課程總數(shù)最少,約束條件,最少2門數(shù)學(xué)課，3門運(yùn)籌學(xué)課， 2門計(jì)算機(jī)課。,先修課程要求,最優(yōu)解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它為0；6門課程，總學(xué)分21,0-1規(guī)劃模型,約束條件,x3=1必有x1 = x2 =1,模型求解（LINGO）,學(xué)分最多,多目標(biāo)優(yōu)化的處理方法：化成單目標(biāo)優(yōu)化。,兩目標(biāo)(多目標(biāo))規(guī)劃,討論：選修課程最少，學(xué)分盡量多，應(yīng)學(xué)習(xí)哪些課程？,課程最少,以學(xué)分最多為目標(biāo)，不管課程多少

6、。,以課程最少為目標(biāo)，不管學(xué)分多少。,多目標(biāo)規(guī)劃,在課程最少的前提下以學(xué)分最多為目標(biāo)。,最優(yōu)解： x1 = x2 = x3 = x5 = x7 = x9 =1, 其它為0；總學(xué)分由21增至22。,注意：最優(yōu)解不唯一！,LINGO無法告訴優(yōu)化問題的解是否唯一。,可將x9 =1 易為x6 =1,多目標(biāo)規(guī)劃,對學(xué)分?jǐn)?shù)和課程數(shù)加權(quán)形成一個(gè)目標(biāo)，如三七開。,最優(yōu)解： x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = x7 = x9 =1， 其它為0；總學(xué)分28。,一場筆墨官司（放射性廢物的處理問題）,美國原子能委員會(huì)（現(xiàn)為核管理委員會(huì)）處理濃縮放射性廢物，是將廢物放入密封性能很好的圓桶中，然后

7、扔到水深300英尺的海里.他們這種做法安全嗎？,分析：可從各個(gè)角度去分析造成危險(xiǎn)的因素，這里僅考慮圓桶泄露的可能.,聯(lián)想：安全 、危險(xiǎn),問題的關(guān)鍵,*圓桶至多能承受多大的沖撞速度？(40英尺/秒); *圓桶和海底碰撞時(shí)的速度有多大？,新問題：求這一種桶沉入300英尺的海底時(shí)的末速度.（原問題是什么?）,可利用的數(shù)據(jù)條件：,圓桶的總重量 W=527.327（磅）,圓桶受到的浮力 B =470.327（磅）,圓桶下沉?xí)r受到的海水阻力 D=Cv，C=0.08,可利用牛頓第二定律，建立圓桶下沉位移滿足的微分方程：,方程的解為,計(jì)算碰撞速度，需確定圓桶和海底的碰撞時(shí)間t0 ?,分析：考慮圓桶的極限速度,713.86（英尺/秒）40（英尺/秒）,原問題得到解決了嗎?,極限速度與圓桶的承受速度相差巨大！,結(jié)論：解決問題的方向是正確的.,解決思路：避開求t0的難點(diǎn),令 v(t)=v(y(t), 其中 y=y(t) 是圓桶下沉深度.,代入（1）得,兩邊積分得函數(shù)方程：,若能求出函數(shù)v=v(y),就可求出碰撞速度v(300).(試一試),* 用數(shù)值方法求出v(300)的近似值為,v(300)45.41(英尺/秒)40(英尺/秒),* 分析 v=v(y) 是一個(gè)單調(diào)