1、第三章 晶格振動與晶體的熱學性質(zhì),3.1 一維單原子鏈的振動,一、運動方程及其解,只考慮最近鄰原子間的相互作用：,：力常數(shù),第n個原子的運動方程：,試解, 格波方程,解得, 色散關(guān)系,二、格波的簡約性質(zhì)、簡約區(qū), 簡約區(qū), 色散關(guān)系,q的物理意義：沿波的傳播方向（即沿q的方向）上，單 位距離兩點間的振動位相差。,格波解：晶體中所有原子共同參與的一種頻率相同的振 動，不同原子間有振動位相差，這種振動以波 的形式在整個晶體中傳播，稱為格波。,對于確定的n：第n個原子的位移隨時間作簡諧振動,對于確定時刻t：不同的原子有不同的振動位相,q取不同的值，相鄰兩原子間的振動位相差不同，則 晶格振動狀態(tài)不同。

2、,三、周期性邊界條件（BornKarman邊界條件）,h =整數(shù),在q軸上，每一個q的取值所占的空間為,q的分布密度：,LNa 晶體鏈的長度,晶格振動格波的總數(shù)=N1,簡約區(qū)中波數(shù)q的取值總數(shù),N晶體鏈的原胞數(shù),=晶體鏈的自由度數(shù),四、格波的簡諧性、聲子概念,晶體鏈的動能：,晶體鏈的勢能：,系統(tǒng)的總機械能：,頻率為j的特解：,方程的一般解：,線性變換系數(shù)正交條件：,系統(tǒng)的總機械能化為：,Q(q, t)代表一個新的空間坐標，它已不再是描述某個原子運動的坐標了，而是反映晶體中所有原子整體運動的坐標，稱為簡正坐標。,運動方程：,聲子是晶格振動的能量量子,聲子的概念：,一種格波即一種振動模式稱為一種聲

3、子，對于由N個原 子組成的一維單原子鏈，有N個格波，即有N種聲子, nj：聲子數(shù)。,晶體中所有原子共同參與的同一頻率的簡諧振動稱為一種振動模式。,能量本征值：,聲子只是反映晶體原子集體運動狀態(tài)的激發(fā)單元，它不 能脫離固體而單獨存在，它并不是一種真實的粒子, 只 是一種準粒子。,當電子或光子與晶格振動相互作用時，總是以 為 單元交換能量。,聲子的作用過程遵從能量守恒和準動量守恒。,由N個原子組成的一維單原子鏈，晶格振動的總能量為：,3.2 一維雙原子鏈的振動,一、運動方程及其解,(設M m),考慮由P、Q兩種原子等距相間排列的一維雙原子鏈,只考慮近鄰原子間的彈性相互作用,久期方程：,簡約區(qū)：,對

4、于不在簡約區(qū)中的波數(shù)q ，一定可在簡約區(qū)中找到唯一一個q，使之滿足：,為倒格矢,兩個色散關(guān)系即有兩支格波：（：光學波； ：聲學波）,二、光學波和聲學波的物理圖象,第n個原胞中P、Q兩種原子的位移之比,R:大于零的實數(shù)，反映原胞中P、Q兩種原子的振幅比，: 兩原子的振動位相差。,1. 光學波（optical branch）,在、象限之間，屬于反位相型。,物理圖象：原胞中兩種不同原子的振動位相基本上相反， 即原胞中的兩種原子基本上作相對振動，而 原胞的質(zhì)心基本保持不動。,當q0時，原胞中兩種原子振動位相完全相反。,離子晶體在某種光波的照射下，光波的電場可以激發(fā)這種晶格振動，因此，我們稱這種振動為光

5、學波或光學支。,對于單聲子過程（一級近似），電磁波只與波數(shù)相同的格波相互作用。如果它們具有相同的頻率，就會發(fā)生共振。,光波： c0q， c0為光速,對于實際晶體， (0)在1013 1014Hz，對應于遠紅外光范圍。離子晶體中光學波的共振可引起對遠紅外光在 (0)附近的強烈吸收。,2. 聲學波（acoustic branch）,即：,在、象限，屬于同位相型,物理圖象：原胞中的兩種原子的振動位相基本相同，原胞 基本上是作為一個整體振動，而原胞中兩種原 子基本上無相對振動。,q0時,當q0時， 原胞內(nèi)兩種原子的振動位相完全相同。,這與連續(xù)介質(zhì)的彈性波 vq 一致。,當q0時,在長波極限下，原胞內(nèi)兩

6、種原子的運動完全一致，振幅和位相均相同，這時的格波非常類似于聲波，所以我們將這種晶格振動稱為聲學波或聲學支。,三、周期性邊界條件,周期性邊界條件：,h =整數(shù)， N：晶體鏈的原胞數(shù),q的分布密度：,推廣：若每個原胞中有s個原子，一維晶格振動有s個色散關(guān)系 式（s支格波），其中：1支聲學波,（s-1）支光學波。 晶格振動格波的總數(shù)sN晶體的自由度數(shù)。,3.3 三維晶格振動,一、三維簡單晶格的振動,第個原子的位矢:,在簡諧近似下，系統(tǒng)的勢能為（取平衡時U00）：,(l)和(l)分別是第l和第l個原子沿和方向的位移。,力常數(shù),第l個原子的運動方程：,這里考慮了晶體中所有原子的相互作用。晶體中各力常數(shù)

7、之間并不全是獨立的，而必須滿足：,，1，2，3,由晶格的周期性，得,設格波解：,其中,久期方程,可以解得與q的三個關(guān)系式，對應于三維情況沿三個方向的振動，即三支聲學波：一支縱波，兩支橫波。,推廣：對于復式晶格，若每個原胞中有s個原子，由 運動方程可以解得3s個與q的關(guān)系式（即色散 關(guān)系式），對應于3s支格波，其中3支為聲學波 （一支縱波，兩支橫波），3(s1)支為光學波。,二、布里淵區(qū),對于第j支格波，設有兩個波矢q 和q所描述的晶格振動狀態(tài)完全相同，有,上式對于任意時刻t和任意的格矢Rl都成立，有：,有 q-qGn ，（由于Rl為任意格矢）,在q空間中， j(q)是以倒格矢Gn 為周期的周期

8、函數(shù)，仍可將波矢q限制在簡約區(qū)或第一布里淵區(qū)中。,即： j(qGn)=j(q),將原點取在簡約區(qū)的中心，在布里淵區(qū)邊界面上周期對應的兩點間應滿足關(guān)系：, 布里淵區(qū)邊界面方程,布里淵區(qū)的幾何作圖法：,根據(jù)晶體結(jié)構(gòu)，作出該晶體的倒易空間點陣，任取一 個倒格點為原點；,布里淵區(qū)的邊界面是倒格矢的垂直平分面。,由近到遠作各倒格矢的垂直平分面；,在原點周圍圍成一個包含原點在內(nèi)的最小封閉體積， 即為簡約區(qū)或第一布里淵區(qū)。,簡約區(qū)就是倒易空間中的WignerSeitz原胞。,可以證明，每個布里淵區(qū)的體積均相等，都等于第一布里淵區(qū)的體積，即倒格子原胞的體積b 。,bcc晶格的簡約區(qū),fcc晶格的簡約區(qū),三、周

9、期性邊界條件,設N1、N2和N3分別為晶體沿三個基矢方向的原胞數(shù)，晶體的總原胞數(shù)為：N N1 N2 N3 。,周期性邊界條件：,令,h1 , h2 , h3整數(shù),在q空間中，每一個q的取值（狀態(tài)）所占的空間為：,VNva晶體體積,在q空間中，波矢q的分布密度,簡約區(qū)中波矢q的取值總數(shù)(q)bN晶體的原胞數(shù),簡單晶格：每個原胞中只有一個原子，每一個q的取值 對應于三個聲學波（1個縱波，2個橫波）。,晶格振動格波的總數(shù)3N晶體的自由度數(shù)。,復式晶格：若每個原胞中有s個原子，每一個q的取值 對應于3個聲學波和3(s-1)個光學波。,晶格振動格波的總數(shù)33(s-1)N=3sN=晶體的自由度數(shù),3.4

10、離子晶體的長光學波,一、長光學波的宏觀運動方程 黃昆方程,以立方晶體為例，設每個原胞中只含一對帶等量電荷的正負離子，質(zhì)量分別為M和M 。, 折合位移矢量, 折合質(zhì)量,：原胞體積,和：正離子和負離子的位移,P：宏觀極化強度； E：宏觀極化電場,b11W：離子相對位移引起的短程彈性恢復力b12E：宏觀極化電場對離子的作用力,第一個方程：決定離子相對振動的動力學方程,第二個方程：極化方程,可以證明：b12 = b21,靜電場情況：0,由靜電學：,高頻電場情況： , 高頻介電常數(shù),0：橫長光學波的頻率,二、長光學波的橫波（TO）與縱波（LO）,考慮帶電離子間的庫侖相互作用：,橫波：,縱波：,無自由電荷

11、, LST關(guān)系,一般情況：,離子晶體中長光學波產(chǎn)生極化電場，增加了縱波的 恢復力，從而提高了縱波的頻率。,極化電場的大小與正負離子的有效電荷q*有關(guān)。,可以用(LO2TO2)來估算有效離子電荷的大小。,Si,GaAs,三、離子晶體的光學性質(zhì),用黃昆方程討論離子晶體的光吸收，引入阻尼項：,由,弱阻尼情況：,吸收功率正比于介電常數(shù)的虛部2，在0處有一吸收峰。而在弱阻尼情況下（ ），當10時， L 。,NaCl,四、極化激元（電磁激元）,考慮離子晶體長光學波于電磁波的耦合：,設晶格振動是頻率為，波矢為q的平面波。,由(5)、(6)得,代入(3),對于縱波：, LST關(guān)系,對于橫波：,由(4),由(1

12、),由(2),解得,橫波：只與q的大小有關(guān)，而與q的方向無關(guān) 高頻支； 低頻支,縱波：Lconst.，與q無關(guān),離子晶體的橫光學波與電磁波的耦合振動模稱為極化激元或電磁激元，既具有機械振動的特性又具有電磁振動的特性。,3.5 確定晶格振動譜的實驗方法,中子（或光子）與晶格的相互作用即中子（或光子）與晶體中聲子的相互作用。中子（或光子）受聲子的非彈性散射表現(xiàn)為中子吸收或發(fā)射聲子的過程。,晶格振動譜可以利用中子、可見光光子或X光光子受晶格的非彈性散射來測定。,只討論單聲子過程。,一、中子的非彈性散射,中子的非彈性散射是確定晶格振動譜最有效的實驗方法。,“”：吸收聲子的散射過程， “”：發(fā)射聲子散射

13、過程,Mn：中子質(zhì)量；Gl：倒格矢,E1和p1 （E2和p2） ：入射（出射）中子的能量與動量,有,慢中子的能量：0.020.04eV，與聲子的能量同數(shù)量級；中子的de Broglie波長：2 31010 m（2 3），正好與晶格常數(shù)同數(shù)量級，可直接準確地給出晶格振動譜的信息。中子的非彈性散射被廣泛地用于研究晶格振動譜。,局限性：不適用于原子核對中子有強俘獲能力的情況。,Pb的晶格振動譜,Si,GaAs,二、可見光的非彈性散射,我們將發(fā)射或吸收光學聲子的散射稱為Raman散射；將發(fā)生或吸收聲學聲子的散射稱為Brillouin散射。,k1和1：入射光的波矢與頻率k2和2：散射光的波矢與頻率,Br

14、illouin散射：頻移21介于107 31010 Hz Raman散射：頻移21介于31010 31013 Hz,可見光的波矢k：105 cm1,晶格振動所涉及的范圍（即布里淵區(qū)的范圍）:108 cm1,用可見光散射方法只能測定原點附近的很小一部分長波聲子的振動譜，而不能測定整個晶格振動譜，這是光可見散射法的最根本缺點。,入射光較弱時： pE,Raman散射：,感應的偶極矩將向空間輻射電磁波，形成散射光。,電子極化矩會被晶格振動所調(diào)制，從而導致頻率改變的非彈性散射。對立方晶體，電子極化率為標量。,設： 0 ,：極化率（電子極化率）,設入射光波為：,散射波為：,頻率不變的彈性散射光，稱為Rayleigh散射；,頻率減?。?）的散射：Stokes散射；,頻率增加（1）的散射：antiStokes散射。,入射光與晶格振動的光學波相互作用所引起的頻率改變的非彈性散射光，稱為Raman 散射。