1、萬有引力定律,物理必修2,萬有引力理論的成就 課前導(dǎo)航 月亮在逃離地球 當(dāng)你看著圖131遙想月球時，月球正在悄悄地從地球身邊溜走！ 圖131 月球和地球通過相互吸引，地球自轉(zhuǎn)的能量被月球一點(diǎn)點(diǎn)地“偷”走了，每1年，月球都從地球上吸取一點(diǎn)自轉(zhuǎn)能量，并利用這些能量來使自己在軌道上向外偏離3.75 cm，因此每100年地球的自轉(zhuǎn)周期就要減慢1.5 ms天文學(xué)家指出，在月球剛形成的時候，它與地球的距離僅僅是22530 km，而現(xiàn)在的距離已經(jīng)拉大到了400000 km，而且隨著時間的推移，月球會走得越來越遠(yuǎn)！,請你思考： 1若月球繞地球的運(yùn)行可以看做是勻速圓周運(yùn)動，為什么月球向外偏離時，其運(yùn)行周期會增大

2、？ 2你能否根據(jù)上面提供的數(shù)據(jù)估算出月球的年齡？ 基礎(chǔ)梳理 知識精析 一、天體的質(zhì)量和密度的估算 1已知某星球表面的重力加速度g和該星球的半徑R，可計(jì)算出該星球的質(zhì)量與平均密度 由公式mgG 得：,星球的質(zhì)量M ,平均密度 例如，地球表面的重力加速度g9.8 m/s2，半徑R6400 km，代入上式求得地球的質(zhì)量M6.01024 kg，地球的平均密度 5.48103_kg/m3 2.已知行星的軌道半徑和周期,可求出中心天體的質(zhì)量 大多數(shù)行星的橢圓軌道都十分接近圓形,它們的運(yùn)動可近似看做是勻速圓周運(yùn)動,運(yùn)動所需的向心力由萬有引力來提供 以M表示某天體的質(zhì)量，以 m表示此天體的一個衛(wèi)星的質(zhì)量，以r

3、表示它們間的距離，以T表示衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動的周期 根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得： G mr( )2,則中心天體的質(zhì)量M 可見，只要能夠測出r和T，就可以求得中心天體的質(zhì)量 若已知中心天體的半徑為R，則體積V R3 則中心天體的平均密度 當(dāng)衛(wèi)星沿天體表面繞天體運(yùn)動時，有rR，則： M ， 二、注意常數(shù)的應(yīng)用 1用測定繞行天體(如衛(wèi)星)的軌道半徑和周期的方法測質(zhì)量，只能測定其中心天體(如太陽)的質(zhì)量，不能測定繞行天體自身的質(zhì)量 2地球的公轉(zhuǎn)周期、地球的自轉(zhuǎn)周期、月球繞地球運(yùn)動的周期及地球同步衛(wèi)星的周期等，應(yīng)作為常識記住，在估算天體的質(zhì)量時，可作為已知條件直接使用,如地球公轉(zhuǎn)一周是365

4、天，地球自轉(zhuǎn)一周是24小時，地球表面的重力加速度約為9.8 m/s2等可根據(jù)不同的已知條件，靈活選用以上公式及關(guān)系式本單元中的不少題目可采用比例求解 三、應(yīng)用萬有引力定律處理天體運(yùn)動問題 1將天體(行星或者衛(wèi)星)的運(yùn)動看成是勻速圓周運(yùn)動，萬有引力為其提供做圓周運(yùn)動的向心力，然后根據(jù)牛頓第二 定律和萬有 引 力 定 律列方程, 即G m a 向 m m m2r 2天體運(yùn)動的參量應(yīng)該由上式確定，并且可以確定下面的比例關(guān)系： a 或a v 或v, 或 T 或T 3由地球(或星球表面)的重力近似等于萬有引力公式， 即mgG ,可得GMgR2運(yùn)用GMgR2作為橋梁，可 把GM和gR2互相替代，從而把“地

5、上”和“天上”聯(lián)系起來由于這種代換經(jīng)常應(yīng)用，因此被稱為“黃金代換” 四、雙星問題 1雙星系統(tǒng)：在宇宙中有許多由兩顆恒星相互環(huán)繞組成的系統(tǒng)，它們遠(yuǎn)離其他星系，在引力的作用下繞它們連線上的某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動 2特點(diǎn)：(1)以連線上的某點(diǎn)為圓周運(yùn)動的共同圓心； (2)角速度相同 ;(3)動力學(xué)方程：,方法探究 一、求未知天體的質(zhì)量的方法 例1為了研究太陽的演化過程，需知道目前太陽的質(zhì)量M已知地球半徑R6.4106 m，地球質(zhì)量m61024 kg，日地中心的距離r1.51011 m，地球表面的重力加速度g10 m/s2，地球繞太陽的公轉(zhuǎn)周期約為3.2107 s，試估算目前太陽的質(zhì)量M(結(jié)果保留一位有效

6、數(shù)字，引力常量未知) 分析天體的運(yùn)動可看做是勻速圓周運(yùn)動，向心力由萬有引力提供，這是處理這類題目的關(guān)鍵 解析本題已知地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑R和周期T，可根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律列方程求解，有： G m( )2r 對地球表面質(zhì)量為m的物體，有：mgG,由以上兩式可解得：M 代入數(shù)值得：M21030 kg 答案21030 kg 點(diǎn)評估算天體質(zhì)量的方法通常有兩個：一是根據(jù)衛(wèi)星 (或行星)的周期和運(yùn)行半徑由G mr 求得；二是根 據(jù)行星表面的重力近似等于萬有引力，由mgG 求 得本題聯(lián)合使用F引F向和mgF引進(jìn)行計(jì)算 變式訓(xùn)練 天文學(xué)家新發(fā)現(xiàn)了太陽系外的一顆行星這顆行星的體積是地球的4.7倍，

7、質(zhì)量是地球的25倍已知某一近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的周期約為1.4小時，引力常量G6.671011 Nm2/kg2，由此估算該行星的平均密度約為2009年高考全國理綜卷(),A1.8103 kg/m3B5.6103 kg/m3 C1.1104 kg/m3D2.9104 kg/m3 解析近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的向心力由萬有引力提供， 有：G 可求出地球的質(zhì)量M 再根據(jù) 可得：該行星的密度約為2.9104 kg/m3 答案D 二、應(yīng)用萬有引力定律計(jì)算重力加速度 例2一衛(wèi)星繞某行星做勻速圓周運(yùn)動，已知行星表面 的重力加速度為g行，行星的質(zhì)量M與衛(wèi)星的質(zhì)量m之比 ,81，行星的半徑R行與衛(wèi)星的半徑R衛(wèi)之比 3.

8、6，行星與 衛(wèi)星之間的距離r與行星的半徑R行之比 60設(shè)衛(wèi)星表 面的重力加速度為g衛(wèi)，則在衛(wèi)星表面有：G mg衛(wèi) 根據(jù)上式經(jīng)過計(jì)算得出：衛(wèi)星表面的重力加速度為行星 表面的重力加速度的 ,上述結(jié)果是否正確？若正確，列 式證明；若錯誤，求出正確結(jié)果 解析所得的結(jié)果是錯誤的因?yàn)槭街械膅衛(wèi)并不是衛(wèi)星表面的重力加速度，而是衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動的向心加速度 正確解法如下： 在衛(wèi)星表面上有：G g衛(wèi),在行星表面上有：G g行 由兩式可得： 代入數(shù)據(jù)得：g衛(wèi)0.16g行 答案錯誤g衛(wèi)0.16g行 點(diǎn)評本題主要考查了應(yīng)用萬有引力定律計(jì)算重力加速度本題雖然是考查萬有引力定律和重力加速度，但題目設(shè)計(jì)新穎、形式靈

9、活處理本類問題的關(guān)鍵仍是對基本規(guī)律和公式的理解，尤其要注意公式中物理量的對應(yīng)性 三、雙星運(yùn)動問題,例3觀察到一對雙星A、B繞它們連線上的一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，其周期為T，A、B間的距離為L，它們的線速度 之比 2試求這兩顆星的質(zhì)量 解析設(shè)A、B兩顆星的圓軌道半徑分別為r1和r2，它們 的質(zhì)量分別為m1和m2，它們的角速度相同，且 由 于它們間的萬有引力提供其做圓周運(yùn)動的向心力，所以有： G m1r12m2r22 又r1r2L 2,解得：r1 ，r2 由上三式得：m22m1 聯(lián)立解得：m1 ，m2 答案 點(diǎn)評雙星之間的萬有引力分別提供各自做勻速圓周運(yùn)動的向心力，所以它們能在引力作用下不相互靠近而保

10、持距離不變，且角速度相同，這是雙星的物理模型在研究雙星運(yùn)動時要特別注意軌道半徑與兩者間的距離的區(qū)別，并注意它們之間的相關(guān)物理量(如、F等),互動平臺 育才老師與細(xì)心同學(xué)關(guān)于“月球在逃離地球”的對話 細(xì)心：老師，我現(xiàn)在知道了月球?yàn)槭裁丛谔与x地球 育才：說說你的想法 細(xì)心：月球利用從地球上“偷”取的一點(diǎn)能量，使自己的運(yùn)行速度增大，這就使得月球繞地球運(yùn)行所需的向心力增大，可萬有引力無法滿足，因此月球就做離心運(yùn)動當(dāng)軌道 半徑增大時，由G m 可得T ,由此可知月 球繞地球運(yùn)行的周期要變大 育才：很好！那你能否求出月球的年齡？ 細(xì)心：這個問題就更簡單了根據(jù)月亮每年要逃離3.75 cm，可知月球形成的時間

11、為： t 年1.01010年 育才：這是你根據(jù)短文中的條件估算的你能從短文中獲取信息，確實(shí)不錯,粗心同學(xué)與細(xì)心同學(xué)關(guān)于“海王星”的對話 粗心：課本上說海王星是在萬有引力定律的指導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)的，這是怎么回事呢？ 細(xì)心：這是因?yàn)樵趯μ焱跣沁M(jìn)行觀察和研究時，用萬有引力定律計(jì)算出來的位置和軌道與實(shí)際觀察到的情況不符合，原因是在用萬有引力定律計(jì)算時，沒有考慮天王星外未知天體的引力，所以有天文學(xué)家就大膽推測天王星外面一定還有一個大行星在影響著天王星的運(yùn)動隨后人們根據(jù)他們的推測果然觀察到這顆新的行星，命“海王星” 粗心：噢！原來如此！,互動訓(xùn)練 1一飛船在某行星表面附近沿圓形軌道繞該行星飛行，假設(shè)行星是質(zhì)量分布

12、均勻的球體要確定該行星的密度，只需要測量() A飛船的軌道半徑B飛船的運(yùn)行速度 C飛船的運(yùn)行周期D行星的質(zhì)量 解析因?yàn)镕向m( )2rG 其中M r3 可得： 答案C 2土星周圍有許多大小不等的巖石顆粒，其繞土星的運(yùn)動可視為圓周運(yùn)動其中有兩個巖石顆粒A和B與土星中心的距離分別為rA8.0104 km和rB1.2105 km忽略所有巖石顆粒間的相互作用(結(jié)果可用根式表示)2007年高考廣東物理卷,(1)求巖石顆粒A和B的線速度之比 (2)求巖石顆粒A和B的周期之比 (3)土星探測器上有一物體，在地球上重為 10 N，推算出它在距土星中心3.2105 km處受到土星的引力為0.38 N已知地球半徑為6.4103 km，請估算土星質(zhì)量是地球質(zhì)量的多少倍？ 解析巖石顆粒繞土星做勻速圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律和萬有引力定律得： (1)G m ，所以v 巖石顆粒A和B的線速度之比為： vAvB (2)G mr( )2,所以T ,則巖石顆粒A和B 的周期之比TATB 2 9,(3)F萬G G重 由題意可得：10G 0.38G 聯(lián)立解得： 95 即土星質(zhì)量是地球質(zhì)量的95倍 答案(1) (2)2 3 (3)95倍 3已知太陽光經(jīng)500 s到達(dá)地球，地球的半徑是6.4106 m，試估算太陽的質(zhì)量與地球質(zhì)量的比值(結(jié)果保留一位有效數(shù)字) 解析地球到太陽的距離為： rct3