1、橢圓及其性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 了解橢圓的實(shí)際背景，了解橢圓在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用 掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)【考綱要求】橢圓方程為B級(jí)要求【自主學(xué)習(xí)】1橢圓的定義(1) 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的 ， 之間的距離叫做焦距注：當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是 當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)的軌跡不存在2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1) 焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是：，其中( 0，且 )(2) 焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，其中a，b滿足： 3橢圓的幾何性質(zhì)(對(duì),a b 0進(jìn)行討論)(1) 范圍： x

2、， y (2) 對(duì)稱性：對(duì)稱軸方程為 ；對(duì)稱中心為 (3) 頂點(diǎn)坐標(biāo)： ，焦點(diǎn)坐標(biāo)： ，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)： ，短半軸長(zhǎng)： ； (4) 離心率： ( 與 的比)， ，越接近1，橢圓越 ；越接近0，橢圓越接近于 (5) 橢圓的參數(shù)方程為 4焦點(diǎn)三角形應(yīng)注意以下關(guān)系：(1) 定義：r1r22a(2) 余弦定理：2r1r2cos(2c)2(3) 面積：r1r2 sin2c| y0 |(其中P()為橢圓上一點(diǎn)，|PF1|r1，|PF2|r2，F(xiàn)1PF2)【基礎(chǔ)自測(cè)】1.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則橢圓的離心率等于 .2.若橢圓=1的離心率為，則實(shí)數(shù)m= .3設(shè)橢圓+=1(m0,n0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2=

3、8x的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為 . 4（2008江蘇，12）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓(ab0)的焦距為2，以O(shè)為圓心，a為半徑作圓，過(guò)點(diǎn) 作圓的兩切線互相垂直，則離心率e= .典型例析例1（1）已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長(zhǎng)軸是短軸的3倍，并且過(guò)點(diǎn)P（3，0），求橢圓的方程；（2）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1（，1）、P2（-，-），求橢圓的方程.例2. 已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1PF2=60.（1）求橢圓離心率的范圍；（2）求證：F1PF2的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān).例3已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(1，)，B(2，

4、)圓F的圓心是橢圓E的右焦點(diǎn)F，且圓F的半徑恰等于橢圓的短半軸長(zhǎng)()求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；()若點(diǎn)P是圓F上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍當(dāng)堂檢測(cè)1. 已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是8，離心率是，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .2. 若橢圓的對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為，則這個(gè)橢圓的方程為 .3. 已知以F1（-2,0），F(xiàn)2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線x+y+4=0有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 .4 經(jīng)過(guò)橢圓+y2=1的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45的直線l,交橢圓于A、B兩點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則等于 .解 ()設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2ny21(m0，n0，且

5、mn)2分因?yàn)锳(1，)，B(2，)在橢圓E上，所以4分解得 m，n1，滿足條件所以所求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216分()由()知橢圓E的右焦點(diǎn)為F(2，0)，短半軸長(zhǎng)為1，所以圓心坐標(biāo)為(2，0)，半徑r1，所以圓F的方程為(x2)2y218分設(shè)P(x，y)，則(x2，y)，(x，y)，所以x (x2)y2x2y22x2x3 10分因?yàn)?x2)2y21，所以(x2)21，即1x21，得1x3所以 12x33，即的取值范圍為1，314分解法二 由()知橢圓E的右焦點(diǎn)為F(2，0)，短半軸長(zhǎng)為1，所以圓心坐標(biāo)為(2，0)，半徑r1，所以圓F的方程為(x2)2y218分設(shè)P(2cos，sin)，R，則(cos，sin)，(2cos，sin)，所以 cos(2cos)(sin)22cos112分