1、,二階微分方程的,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,習(xí)題課 (二),二、微分方程的應(yīng)用,解法及應(yīng)用,一、兩類(lèi)二階微分方程的解法,第十二章,一、兩類(lèi)二階微分方程的解法,1. 可降階微分方程的解法 降階法,令,令,逐次積分求解,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 二階線(xiàn)性微分方程的解法,常系數(shù)情形,齊次,非齊次,代數(shù)法,歐拉方程,練習(xí)題: P327 題 2 ; 3 (6) , (7) ; 4(2)； 8,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,解答提示,P327 題2 求以,為通解的微分方程 .,提示: 由通解式可知特征方程的根為,故特征方程為,因此微分方程為,P327 題3 求下列微分方程的

2、通解,提示: (6) 令,則方程變?yōu)?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,特征根:,齊次方程通解:,令非齊次方程特解為,代入方程可得,思 考,若 (7) 中非齊次項(xiàng)改為,提示:,原方程通解為,特解設(shè)法有何變化 ?,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,P327 題4(2) 求解,提示: 令,則方程變?yōu)?積分得,利用,再解,并利用,定常數(shù),思考,若問(wèn)題改為求解,則求解過(guò)程中得,問(wèn)開(kāi)方時(shí)正負(fù)號(hào)如何確定?,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,P327 題8 設(shè)函數(shù),在 r 0,內(nèi)滿(mǎn)足拉普拉斯方程,二階可導(dǎo), 且,試將方程化為以 r 為自變,量的常微分方程 , 并求 f (r) .,提示:,利用對(duì)稱(chēng)性,

3、即,( 歐拉方程 ),原方程可化為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,解初值問(wèn)題:,則原方程化為,通解:,利用初始條件得特解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,特征根 :,例1. 求微分方程,提示:,故通解為,滿(mǎn)足條件,解滿(mǎn)足,處連續(xù)且可微的解.,設(shè)特解 :,代入方程定 A, B, 得,得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,處的銜接條件可知,解滿(mǎn)足,故所求解為,其通解:,定解問(wèn)題的解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例2.,且滿(mǎn)足方程,提示:,則,問(wèn)題化為解初值問(wèn)題:,最后求得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,思考: 設(shè),提示: 對(duì)積分換元 ,則有,解初值問(wèn)題:,答案:,機(jī)動(dòng)

4、 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,的解.,例3.,設(shè)函數(shù),內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,(1) 試將 xx( y) 所滿(mǎn)足的微分方程,變換為 yy(x) 所滿(mǎn)足的微分方程 ;,(2) 求變換后的微分方程滿(mǎn)足初始條件,數(shù), 且,解:,上式兩端對(duì) x 求導(dǎo), 得:,(1) 由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知,(03考研),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,代入原微分方程得,(2) 方程的對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為,設(shè)的特解為,代入得 A0,從而得的通解:,題 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,由初始條件,得,故所求初值問(wèn)題的解為,二、微分方程的應(yīng)用,1 . 建立數(shù)學(xué)模型 列微分方程問(wèn)題,建立微分方

5、程 ( 共性 ),利用物理規(guī)律,利用幾何關(guān)系,確定定解條件 ( 個(gè)性 ),初始條件,邊界條件,可能還要銜接條件,2 . 解微分方程問(wèn)題,3 . 分析解所包含的實(shí)際意義,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例4.,解:,欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星,為使其擺脫地球,引力,初始速度應(yīng)不小于第二宇宙速度,試計(jì)算此速度.,設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為 m , 地球質(zhì)量為 M ,衛(wèi)星,的質(zhì)心到地心的距離為 h ,由牛頓第二定律得:,(G 為引力系數(shù)),則有初值問(wèn)題:,又設(shè)衛(wèi)星的初速度,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,代入原方程, 得,兩邊積分得,利用初始條件, 得,因此,注意到,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)

6、束,為使,因?yàn)楫?dāng)h = R (在地面上) 時(shí), 引力 = 重力,即,代入即得,這說(shuō)明第二宇宙速度為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī),例5.,上的力 F 所作的功與經(jīng)過(guò)的時(shí)間 t 成正比 ( 比例系數(shù),提示:,兩邊對(duì) s 求導(dǎo)得:,牛頓第二定律,為 k),開(kāi)方如何定 + ?,已知一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng), 作用在質(zhì)點(diǎn),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例6. 一鏈條掛在一釘子上 , 啟動(dòng)時(shí)一端離釘子 8 m ,另一端離釘子 12 m , 如不計(jì)釘子對(duì)鏈條所產(chǎn)生的摩擦,力, 求鏈條滑下來(lái)所需的時(shí)間 .,解: 建立坐標(biāo)系如圖.,設(shè)在時(shí)刻 t , 鏈條較長(zhǎng)一段,下垂 x m

7、 ,又設(shè)鏈條線(xiàn)密度為常數(shù),此時(shí)鏈條受力,由牛頓第二定律, 得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,由初始條件得,故定解問(wèn)題的解為,解得,當(dāng) x = 20 m 時(shí),(s),微分方程通解:,思考: 若摩擦力為鏈條 1 m 長(zhǎng)的重量 , 定解問(wèn)題的,數(shù)學(xué)模型是什么 ?,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,摩擦力為鏈條 1 m 長(zhǎng)的重量 時(shí)的數(shù)學(xué)模型為,不考慮摩擦力時(shí)的數(shù)學(xué)模型為,此時(shí)鏈條滑下來(lái) 所需時(shí)間為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,練習(xí)題,從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器, 按探測(cè),要求, 需確定儀器的下沉深度 y 與下沉速度 v 之間的函,數(shù)關(guān)系.,設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開(kāi)始下沉,

8、在下沉過(guò)程中還受到阻力和浮力作用, 設(shè)儀器質(zhì)量為 m,體積為B , 海水比重為 ,儀器所受阻力與下沉速度成正,比 , 比例系數(shù)為 k ( k 0 ) ,試建立 y 與 v 所滿(mǎn)足的微分,方程, 并求出函數(shù)關(guān)系式 y = y (v) . ( 95考研 ),提示: 建立坐標(biāo)系如圖.,質(zhì)量 m 體積 B,由牛頓第二定律,重力,浮力,阻力,注意:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,初始條件為,用分離變量法解上述初值問(wèn)題得,質(zhì)量 m 體積 B,作業(yè) P317 5 , 6 ; P327 3 (8) ; 4 (2) ,(4) 8 ; *11(1),得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,備用題,有特,而對(duì)應(yīng)齊次方程有解,微分方程的通解 .,解:,故所給二階非齊次方程為,方程化為,1. 設(shè)二階非齊次方程,一階線(xiàn)性非齊次方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,故,再積分得通解,復(fù)習(xí): 一階線(xiàn)性微分方程通解公式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2.,(1) 驗(yàn)證函數(shù),滿(mǎn)足微分方程,(2) 利用(1)的結(jié)果求冪級(jí)數(shù),的和.,解: (1),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)