1、32.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘法問題1：兩實(shí)數(shù)可以相乘，兩復(fù)數(shù)可以相乘嗎？提示：可以問題2：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法與多項(xiàng)式的乘法相類似嗎？提示：類似問題3：復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律、乘法對(duì)加法的分配律嗎？提示：滿足1復(fù)數(shù)的乘法設(shè)z1abi，z2cdi是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積(abi)(cdi)acbciadibdi2(acbd)(adbc)i(a，b，c，dR)2復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)于任意z1，z2，z3C，有交換律z1z2z2z1結(jié)合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法對(duì)加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3對(duì)復(fù)數(shù)乘法的理解(1)復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式乘法是類似的，有一點(diǎn)不同，

2、即必須在所得結(jié)果中把i2換成1，再把實(shí)部、虛部分別合并(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)，可推廣到任意多個(gè)復(fù)數(shù)，任意多個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)的除法問題1：復(fù)數(shù)z1abi與z2abi(a，bR)有什么關(guān)系？提示：兩復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)問題2：試求z1abi，z2abi(a，bR)的積提示：z1z2a2b2，積為實(shí)數(shù)問題3：如何規(guī)定兩復(fù)數(shù)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR，cdi0)相除？提示：通常先把(abi)(cdi)寫成的形式，再把分子和分母都乘cdi，化簡(jiǎn)后可得結(jié)果，即i(cdi0)1共軛復(fù)數(shù)的概念當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)通常記

3、復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)2復(fù)數(shù)的除法法則設(shè)z1abi，z2cdi(cdi0)，則i(cdi0)對(duì)復(fù)數(shù)除法的理解(1)復(fù)數(shù)的除法實(shí)質(zhì)上就是分母實(shí)數(shù)化的過(guò)程，這與實(shí)數(shù)的除法有所不同(2)復(fù)數(shù)除法的法則形式復(fù)雜，難于記憶所以有關(guān)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，只要記住利用分母的共軛復(fù)數(shù)對(duì)分母進(jìn)行“實(shí)數(shù)化”，然后結(jié)果再寫成一個(gè)復(fù)數(shù)abi(a，bR)的形式即可復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算計(jì)算：(1)(1i)(1i)(1i)；(2)(1i)；(3)(23i)(12i)；(4).(1)(1i)(1i)(1i)1i2(1i)21i1i.(2)(1i)(1i)(1i)ii.(3)(23i)(12i)i.(

4、4)法一：2i.法二：ii2i.復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的常用技巧(1)按照復(fù)數(shù)的乘法法則，三個(gè)或三個(gè)以上的復(fù)數(shù)相乘可按從左到右的順序運(yùn)算或利用結(jié)合律運(yùn)算，混合運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一致，在計(jì)算時(shí)，若符合乘法公式，則可直接運(yùn)用公式計(jì)算(2)根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則，通過(guò)分子、分母都乘分母的共軛復(fù)數(shù)，使“分母實(shí)數(shù)化”，這個(gè)過(guò)程與“分母有理化”類似(1)已知復(fù)數(shù)z148i，z269i，求復(fù)數(shù)(z1z2)i的實(shí)部與虛部；(2)已知z是純虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，求z.解：(1)由題意得z1z2(48i)(69i)(46)(8i9i)2i，則(z1z2)i(2i)i2ii212i.于是復(fù)數(shù)(z1z2)i的實(shí)部是1，虛部是2.(2)設(shè)

5、純虛數(shù)zbi(bR)，則.由于是實(shí)數(shù)，所以b20，即b2，所以z2i.共軛復(fù)數(shù)(1)(全國(guó)丙卷)若z43i，則()A1 B1C.i D.i(2)(山東高考)若復(fù)數(shù)z滿足2z32i，其中i為虛數(shù)單位，則z()A12iB12iC12i D12i(1)z43i，43i，|z|5，i.(2)法一：設(shè)zabi(a，bR)，則2z2a2biabi3abi32i.由復(fù)數(shù)相等的定義，得3a3，b2，解得a1，b2，z12i.法二：由已知條件2z32i，得2z32i，解組成的關(guān)于z，的方程組，得z12i.故選B.(1)D(2)B共軛復(fù)數(shù)的求解與應(yīng)用(1)若復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式已知，則根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可以寫出，再進(jìn)

6、行復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算必要時(shí)，需通過(guò)復(fù)數(shù)的運(yùn)算先確定出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求.(2)共軛復(fù)數(shù)應(yīng)用的另一種常見題型是：已知關(guān)于z和的方程，而復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式未知，求z.解此類題的常規(guī)思路為設(shè)zabi(a，bR)，則abi，代入所給等式，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，轉(zhuǎn)化為方程(組)求解已知復(fù)數(shù)z1i，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)1i，求實(shí)數(shù)a，b使az2b(a2z)2.解：z1i，1i，az2b(a2b)(a2b)i，(a2z)2(a2)244(a2)i(a24a)4(a2)i.a，b都是實(shí)數(shù)，由az2b(a2z)2，得解得或復(fù)數(shù)運(yùn)算的綜合應(yīng)用已知z1是虛數(shù)，z2z1是實(shí)數(shù)，且1z21.(1)求|z1

7、|的值以及z1的實(shí)部的取值范圍；(2)若，求證：為純虛數(shù)設(shè)z1abi(a，bR，且b0)(1)z2z1abii.因?yàn)閦2是實(shí)數(shù)，b0，于是有a2b21，即|z1|1，所以z22a.由1z21，得12a1，解得a，即z1的實(shí)部的取值范圍是.(2)i.因?yàn)閍，b0，所以為純虛數(shù)解決雙復(fù)數(shù)問題的方法解決此類雙復(fù)數(shù)問題的關(guān)鍵是設(shè)出已知條件較多的一個(gè)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，注意題目對(duì)a，b取值的限制，然后用a，b表示出另外的復(fù)數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化求解此類題目難度較大，除需正確進(jìn)行復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算外，還需掌握復(fù)數(shù)的基本概念及復(fù)數(shù)模的定義已知z，為復(fù)數(shù)，(13i)z為實(shí)數(shù)，且|5，求.解：設(shè)xyi(x，yR)，由，

8、得z(2i)(xyi)(2i)依題意，得(13i)z(13i)(xyi)(2i)(x7y)(7xy)i，7xy0.又|5，x2y250.由得或17i或17i.已知關(guān)于x的方程x2(k2i)x2ki0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的值為_設(shè)x0是方程的實(shí)數(shù)根，代入方程并整理得(xkx02)(2x0k)i0.由復(fù)數(shù)相等的充要條件得解得或所以k的值為2或2.21求解本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)誤：因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)根，所以(k2i)24(2ki)0，解得k2或k2.需注意由于虛數(shù)單位的特殊性，不能用判別式判斷復(fù)系數(shù)一元二次方程有無(wú)實(shí)數(shù)根2復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程的一般思路是：依據(jù)題意設(shè)出方程的根，代入方程，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件求解對(duì)

9、于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)負(fù)數(shù)是能開方的，此外，根與系數(shù)的關(guān)系也是成立的注意求方程中參數(shù)的取值時(shí)，不能利用判別式求解在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程x25|x|60的解的個(gè)數(shù)為()A2B4C6 D8解析：選C設(shè)xabi(a，bR)，那么原方程即為(abi)2560，即解得或或1(湖南高考)滿足i(i為虛數(shù)單位)的復(fù)數(shù)z等于()A.iB.iCi Di解析：選B由i，得zizi，所以(1i)zi，解得zi.2設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選B1i，由復(fù)數(shù)的幾何意義知1i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(1,1)，該點(diǎn)位于第二

10、象限，故選B.3已知復(fù)數(shù)z1(2i)i，復(fù)數(shù)z2a3i(aR)，若復(fù)數(shù)z2kz1(kR)，則a_.解析：依題意z112i，由z2kz1，得a3ik(12i)，即有故a.答案：4設(shè)z1a2i，z234i，且為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_解析：設(shè)bi(bR且b0)，所以z1biz2，即a2ibi(34i)4b3bi，所以所以a.答案：5計(jì)算：(1)(1i)(1i)；(2)；(3)(2i)2.解：(1)法一：(1i)(1i)(1i)(1i)iii21i.法二：原式(1i)(1i)(1i2)21i.(2)i.(3)(2i)2(2i)(2i)44ii234i.一、選擇題1(湖南高考)已知1i(i為虛數(shù)單位)

11、，則復(fù)數(shù)z()A1iB1iC1i D1i解析：選D由1i，得z1i，故選D.2已知復(fù)數(shù)z1i，則等于()A2i B2iC2 D2解析：選B法一：因?yàn)閦1i，所以2i.法二：由已知得z1i，而2i.3若i為虛數(shù)單位，如下圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z，則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()AE BFCG DH解析：選D由題圖可得z3i，所以2i，則其在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為H(2，1)4(廣東高考)若復(fù)數(shù)zi(32i)(i是虛數(shù)單位)，則()A23i B23iC32i D32i解析：選Azi(32i)3i2i223i，23i.5已知復(fù)數(shù)z，是z的共軛復(fù)數(shù)，則z等于()A. B.C1 D2解析：選Az，z.二、填空題6(天津高考)已知a，bR，i是虛數(shù)單位，若(1i)(1bi)a，則的值為_解析：因?yàn)?1i)(1bi)1b(1b)ia，又a，bR，所以1ba且1b0，得a2，b1，所以2.答案：27設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，且，則xy_.解析：i，而i，所以且，解得x1，y5，所以xy4.答案：48設(shè)z2z1i1(其中1表示z1的共軛復(fù)數(shù))，已知z2的實(shí)部是1，則z2的虛部為_解析：設(shè)z1abi(a，bR