1、32.2函數(shù)模型的應用實例讀教材填要點函數(shù)模型的應用(1)用已知的函數(shù)模型刻畫實際問題；(2)建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型，并利用所得函數(shù)模型解釋有關現(xiàn)象，對某些發(fā)展趨勢進行預測，其基本過程如圖所示：小問題大思維1在實際問題中常用的函數(shù)模型如下表所示，你能寫出它們對應的解析式嗎？提示：函數(shù)模型解析式正比例函數(shù)模型f(x)(k為常數(shù)，k0)一次函數(shù)模型二次函數(shù)模型f(x)abxc(a，b，c為常數(shù)，a0，b0，b1)對數(shù)函數(shù)模型冪函數(shù)模型提示：f(x)kx(k為常數(shù)，k0)反比例函數(shù)模型f(x)kxb(k，b為常數(shù)，k0)f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)mlogaxn(m

2、，n，a為常數(shù)，m0，a0，a1)f(x)axnb(a，b，n為常數(shù)，a0，n1)2在利用上述函數(shù)模型解決問題時，函數(shù)的定義域除了使函數(shù)解析式有意義之外，還需注意什么？提示：實際問題有意義例如：“非負”，“取整”，“上、下限”等已知函數(shù)模型的應用題例1某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內，西紅柿市場售價與上市時間的關系用圖1的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖2的拋物線段表示(1)寫出圖1表示的市場售價與上市時間的函數(shù)關系式Pf(t)，寫出圖2表示的種植成本與上市時間的函數(shù)關系式Qg(t)；(2)規(guī)定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿

3、純收益最大？(注：市場售價和種植成本的單位：元/102kg，時間單位：天)自主解答(1)由圖1可得，市場售價與時間的函數(shù)關系為f(t)由圖2可得，種植成本與時間的函數(shù)關系為g(t)(t150)2100,0t300.(2)設t時刻的純收益為h(t)，則由題意，得h(t)f(t)g(t)，即h(t)當0t200時，配方整理，得h(t)(t50)2100，所以，當t50時，h(t)取得區(qū)間0,200上的最大值100；當20087.5可知，h(t)在區(qū)間0,300上可以取得最大值100，此時t50, 即從二月一日開始的第50天，上市的西紅柿純收益最大求解函數(shù)應用問題的思路和方法，我們可以用示意圖表示為

4、：圖表中的第一步：，這一步應從審題開始，通過分析和抽象找出題設與結論的數(shù)學關系，進一步轉化為函數(shù)問題來求解，即建立合理的數(shù)學模型，因此，這一步稱之為數(shù)學轉化；第二步：，這一步就是采用數(shù)學的方法，解決函數(shù)模型所表述的數(shù)學問題因此，這一步稱之為數(shù)學解決；第三步：，這一步就是將數(shù)學結論轉化為實際問題的結論1某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個時間段進行分時計價該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價表如下：高峰時間段用電價格表高峰月用電量(單位：千瓦時)高峰電價(單位：元/千瓦時)50及以下的部分0.568超過50至200的部分0.598超過200的部分0.668低谷時間段用電價格表低谷月用電量(單位：千瓦時)低谷電價

5、(單位：元/千瓦時)50及以下的部分0.288超過50至200的部分0.318超過200的部分0.388 若某家庭5月份的高峰時間段用電量為200千瓦時，低谷時間段用電量為100千瓦時，則按這種計費方式該家庭本月應付的電費為_元(用數(shù)字作答)解析：高峰時間段200千瓦時的用電電費為：500.568(20050)0.598118.1(元)；低谷時間段100千瓦時的用電電費為：500.288(10050)0.31830.3(元)合計：148.4(元)答案：148.4指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)模型例2某公司擬投資100萬元，有兩種獲利的方式可選擇：一種是年利率10%，按單利計算，5年收回本金和利息；

6、另一種是年利率9%，按復利計算，5年后收回本金和利息哪一種投資更有利？并求比另一種投資5年可多得利息多少元？解本金100萬元，年利率10%，按單利計算，5年后的本息和是100(110%5)150萬元本金100萬元，年利率9%，按每年復利一次計算，5年后的本息和是100(19%)5153.86萬元由此可見，按年利率9%每年復利一次計算的要比年利率10%單利計算的更有利，5年后多得利息3.86萬元指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的應用常與增長率相結合進行考查.在實際問題中，有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以用指數(shù)函數(shù)模型表示，通?？梢员硎緸閥N(1p)x(其中N為原來的基礎數(shù)，p為增長率，x為時間)

7、的形式.另外，指數(shù)方程常利用對數(shù)進行計算，指數(shù)、對數(shù)在很多問題中可轉化應用.220世紀70年代，里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級M，其計算公式為：MlgAlgA0.其中A是被測地震的最大振幅，A0是“標準地震”的振幅(1)假設在一次地震中，一個距離震中1 000千米的測震儀記錄的地震最大振幅是20，此時標準地震的振幅是0.002，計算這次地震的震級(2)5級地震給人的震感已比較明顯，我國發(fā)生在汶川的8級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的多少倍？解：(1)Mlg Alg A0lgl

8、g4.即這次地震的震級為4級(2)，lg3，1 000.即所求是1 000倍擬合函數(shù)模型的建立及應用例3為了估計山上積雪融化后對下游灌溉的影響，在山上建立了一個觀察站，測量最大積雪深度x cm與當年灌溉面積y hm2.現(xiàn)有連續(xù)10年的實測資料，如下表所示.年序最大積雪深度x/cm灌溉面積y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描點畫出灌溉面積y hm2隨積雪深度x cm變化的圖象；(2)建立一個能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型yf(x)，

9、并畫出圖象；(3)根據(jù)所建立的函數(shù)模型，若今年最大積雪深度為25 cm，則可以灌溉土地多少公頃？自主解答(1)描點作圖如圖甲：(2)從圖甲中可以看到，數(shù)據(jù)點大致落在一條直線附近，由此，我們假設灌溉面積y和最大積雪深度x滿足線性函數(shù)模型yaxb.取其中的兩組數(shù)據(jù)(10.4,21.1)(24.0,45.8)，代入yaxb，得用計算器可算得a1.8，b2.4.這樣，我們得到一個函數(shù)模型y1.8x2.4.作出函數(shù)圖象如圖乙，可以發(fā)現(xiàn)，這個函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好，這說明它能較好地反映最大積雪深度與灌溉面積的關系(3)由y1.8252.4，求得y47.4，即當最大積雪深度為25 cm時，可以灌溉

10、土地47.4 hm2.對于此類實際應用問題，關鍵是建立適當?shù)暮瘮?shù)關系式，再解決數(shù)學問題，最后驗證并結合問題的實際意義作出回答，這個過程就是先擬合函數(shù)再利用函數(shù)解題.函數(shù)擬合與預測的一般步驟是：(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)，繪出散點圖.(2)通過考察散點圖，畫出“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線.(3)根據(jù)所學函數(shù)知識，求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關系式.(4)利用函數(shù)關系式，根據(jù)條件對所給問題進行預測，為決策和管理提供依據(jù).3某汽車公司曾在2013年初公告：2013年銷量目標定為39.3萬輛；且該公司董事長極力表示有信心完成這個銷量目標2010年，某汽車年銷量8萬輛；2011年，某汽車年銷量1

11、8萬輛；2012年，某汽車年銷量30萬輛如果我們分別將2010,2011,2012,2013年定義為第一，二，三，四年，現(xiàn)在有兩個函數(shù)模型：二次函數(shù)型f(x)ax2bxc(a0)，指數(shù)函數(shù)型g(x)abxc(a0，b1，b0)，哪個模型能更好地反映該公司年銷量y與第x年的關系？解：建立年銷量y(萬輛)與第x年的函數(shù)，可知函數(shù)圖象必過點(1,8)，(2,18)，(3,30)(1)構造二次函數(shù)型f(x)ax2bxc(a0)，將點的坐標代入，可得解得則f(x)x27x，故f(4)44，與計劃誤差為4.7.(2)構造指數(shù)函數(shù)型g(x)abxc，將點的坐標代入，可得解得則g(x)()x42，故g(4)(

12、)44244.4，與計劃誤差為5.1.由上可得，f(x)x27x模型能更好地反映該公司年銷量y(萬輛)與第x年的關系.解題高手妙解題同樣的結果，不一樣的過程，節(jié)省解題時間，也是得分！圖(1)是某種稱為“凹槽”的機械部件的示意圖，圖(2)是凹槽的橫截面(陰影部分)示意圖，其中四邊形ABCD是矩形，弧Cm是半圓，曲邊形ABCD的周長為4.已知凹槽的強度與橫截面的面積成正比，比例系數(shù)為，設AB2x，BCy.(1)寫出y關于x的函數(shù)表達式，并指出x的取值范圍；(2)求當x取何值時，凹槽的強度最大巧思凹槽的強度最大，即橫截面的面積最大只要將凹槽橫截面的面積S表示成x的函數(shù)，然后求函數(shù)的最值即可解決妙解(

13、1)易知半圓CmD的半徑為x，故半圓CmD的弧長為x，42x2yx，y.依題意知：0xy，得0x，y(0x)(2)依題意，設凹槽的強度為T，橫截面的面積為S，則有TS(2xy)(2x)4x(2)x2(x)2.0，當x時，凹槽的強度最大1若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質量的95.76%，設質量為1的鐳經(jīng)過x年后剩留量為y，則x，y的函數(shù)關系是()Ay(0.957 6)By(0.957 6)100xCy()x Dy1(0.042 4)解析：設鐳一年放射掉其質量的t%，則有95.76%1(1t)100，t1()，y(1t)x(0.9576).答案：A2一天，亮亮發(fā)燒了，早晨6時他燒得很厲害，吃過藥后感覺

14、好多了，中午12時亮亮的體溫基本正常，但是下午18時他的體溫又開始上升，直到半夜24時亮亮才感覺身上不那么發(fā)燙了則下列各圖能基本上反映出亮亮這一天(0時24時)體溫的變化情況的是()解析：從0時到6時，體溫上升，圖象是上升的，排除選項A；從6時到12時，體溫下降，圖象是下降的，排除選項B；從12時到18時，體溫上升，圖象是上升的，排除選項D.答案：C3一個高為H，盛水量為V0的水瓶的軸截面如圖所示，現(xiàn)以均勻速度往水瓶中灌水，直到灌滿為止，如果水深h時水的體積為V，則函數(shù)Vf(h)的圖象大致是()解析：水深h越大，水的體積V就越大，故函數(shù)Vf(h)是個增函數(shù)，一開始增長越來越快，后來增長越來越慢

15、，圖象是先凹后凸的，曲線斜率是先增大后變小的答案：D4某音像社對外出租光盤的收費方法是：每張光盤在租出以后的頭兩天每天收費0.8元，以后每天收費0.5元，那么一張光盤在租出后的第10天應收租金_元解析：設第n(nN*)天收費y元，由題意得yn10時，y1.60.585.6(元)答案：5.65.如圖中折線是某電信局規(guī)定打長途電話所需要付的電話費y(元)與通話時間t(分鐘)之間的函數(shù)關系圖象，根據(jù)圖象填空：通話2分鐘，需付電話費_元；通話5分鐘，需付電話費_元；如果t3分鐘，電話費y(元)與通話時間t(分鐘)之間的函數(shù)關系式是_解析：t2時，y3.6，t5時，y6.當t3時，設yktb.代入(3,

16、3.6)，(5,6)得k1.2，b0，y1.2t(t3)答案：3.6,6，y1.2t(t3)6在泰山早晨觀日出氣溫較低，為方便游客，一家旅館備有120件棉衣提供出租，每件日租金50元，每天都客滿五一假期即將來臨，該旅館準備提高租金經(jīng)調查，如果每件的日租金每增加5元，則每天出租會減少6件，不考慮其他因素，棉衣日租金提到多少元時，棉衣日租金的總收入最高？解：設每件棉衣日租金提高x個5元，即提高5x元，則每天棉衣減少6x件，又設棉衣日租金的總收入為y元y(505x)(1206x)y30(x5)26 750當x5時，ymax6 750，這時每件棉衣日租金為505x505575元棉衣日租金提到75元時，

17、棉衣日租金的總收入最高，最高為6 750元一、選擇題1向高為H的水瓶中注水，注滿為止如果注水量V與水深h的函數(shù)關系的圖象如圖所示，那么水瓶的形狀是()解析：圖反映隨著水深h的增加，注水量V增長速度越來越慢，這反映水瓶中水上升的液面越來越小答案：B2光線通過一塊玻璃，其強度要失掉原來的，要使通過玻璃的光線強度為原來的以下，至少需要重疊這樣的玻璃塊數(shù)是(lg30.477 1)()A10 B11C12 D13解析：設原光線的強度為a，重疊x塊玻璃后，通過玻璃的光線強度為y，則ya(1)x(xN*)，令ya，即a(1)xa，()x.10.4.即x10.4.答案：B3令有一組實驗數(shù)據(jù)如下表所示：t1.9

18、93.04.05.16.12u1.54.047.51218.01則能體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關系的函數(shù)模型是()Aulog2t Bu2t2Cu Du2t2解析：可以先畫出散點圖，并利用散點圖直觀地認識變量間的關系，選擇合適的函數(shù)模型來刻畫它散點圖如圖所示由散點圖可知，圖象不是直線，排除選項D；圖象不符合對數(shù)函數(shù)的圖象特征，排除選項A；當t3時，2t22326，排除B，故選C.答案：C4一個人以6米/秒的速度去追停在交通燈前的汽車，當他離汽車25米時，交通燈由紅變綠，汽車以1米/秒2的加速度勻加速開走，那么()A人可在7秒內追上汽車B人可在10秒內追上汽車C人追不上汽車，其間距最少為5米D人追不上汽車，其間

19、距最少為7米解析：設汽車經(jīng)過t秒行駛的路程為s米，則st2，車與人的間距d(s25)6tt26t25(t6)27，當t6時，d取得最小值為7.答案：D二、填空題5.對某種產(chǎn)品市場產(chǎn)銷量情況如圖所示，其中l(wèi)1表示產(chǎn)品各年年產(chǎn)量的變化規(guī)律；l2表示產(chǎn)品各年的銷量情況，下列敘述：產(chǎn)品產(chǎn)量、銷售量均以直線上升，仍可按原計劃進行生產(chǎn)；產(chǎn)品出現(xiàn)了供大于求的情況，價格將趨跌；產(chǎn)品的庫存積壓將越來越嚴重，應壓縮產(chǎn)量或擴大銷售量你認為較合理的敘述是_解析：由圖可知，對相同的年份，年產(chǎn)量銷售量，即出現(xiàn)了供大于求的情況，庫存積壓越來越嚴重，因而正確，這種情況下不宜再按原計劃生產(chǎn)，故不正確答案：6.如圖，開始時桶1中

20、有a升水，如果桶1向桶2注水，桶1中剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y1aent(n為常數(shù)，t為注水時間)，那么桶2中的水就是y2aaent.如果由桶1向桶2中注水5分鐘時，兩桶中的水相等，那么經(jīng)過_分鐘桶1中的水只有.解析：由于t5時兩桶中的水相等，所以aen5aaen5，所以(en)5，即en().由條件可得aent，即()()3，所以t15.答案：157某地2002年年底人口為500萬，人均住房面積為6平方米，若該地區(qū)的人口年平均增長率為1%，要使2013年年底該地區(qū)人均住房面積至少為7平方米，平均每年新增住房面積至少為_萬平方米(精確到1萬平方米，參考數(shù)據(jù)：1.0191.093 7,1.011

21、01.104 6,1.01111.115 7)解析：設平均每年新增住房面積為x萬平方米，則7，解得x82.2782.答案：828.2011年1月29日廣州日報：香港出現(xiàn)了第2宗甲型H1N1死亡病例為了預防甲型H1N1流感，某學校教室用藥熏消毒法進行消毒已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關系式為y()ta(a為常數(shù))，如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：(1)從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數(shù)關系式為_；(2)據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過_小時后，學生才能回到教室解析：(1)由圖可設ykt(0t0.1)，把點(0.1,1)分別代入ykt和y()ta，得k10，a0.1.y(2)由()t0.10.6.答案：(1)y(2)0.6三、解答題9某學校準備購買