1、圖形的相似,第三十二講,3平行線分線段成比例定理 (1)三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例； (2)平行于三角形一邊截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成_比例_； (3)如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成_比例_，那么這條直線平行于三角形的第三邊； (4)平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例,4相似三角形的定義：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做_相似三角形_ 相似比：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比，叫做兩個(gè)相似三角形的_相似比_ 5相似三角形的判定 (1)平行于三角形一邊的直線和其

2、他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所截得的三角形與原三角形相似； (2)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似； (3)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似； (4)三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似； (5)兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似； (6)直角三角形中被斜邊上的高分成的兩個(gè)三角形都與原三角形相似,6相似三角形性質(zhì) 相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比，周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方 7射影定理：如圖，ABC中，ACB90，CD是斜邊AB上的高，則有下列結(jié)論,(1)AC2ADAB； (2)BC2BDAB； (3)CD2

3、ADBD； (4)AC2BC2ADBD； (5)ABCDACBC.,8相似多邊形的性質(zhì) (1)相似多邊形對(duì)應(yīng)角_相等_，對(duì)應(yīng)邊_成比例_ (2)相似多邊形周長(zhǎng)之比等于_相似比_，面積之比等于_相似比的平方_ 9位似圖形 (1)概念：如果兩個(gè)多邊形不僅_相似_，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于_一點(diǎn)_，這樣的圖形叫做位似圖形這個(gè)點(diǎn)叫做_位似中心_ (2)性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于_位似比_,3(2014河北)在研究相似問題時(shí)，甲、乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下： 甲：將邊長(zhǎng)為3，4，5的三角形按圖的方式向外擴(kuò)張，得到新的三角形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距均為1，則新三角形與原三角形相似 乙：將鄰邊為

4、3和5的矩形按圖的方式向外擴(kuò)張，得到新矩形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距均為1，則新矩形與原矩形不相似 對(duì)于兩人的觀點(diǎn)，下列說法正確的是(A),A兩人都對(duì)B兩人都不對(duì) C甲對(duì)，乙不對(duì) D甲不對(duì)，乙對(duì),5(2013河北)如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)M，N在AC上，MEAD，NFAB，若NFNM2，ME3，則AN(B) A3 B4 C5 D6,8(2011河北)如圖，在68網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)O和ABC的頂點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn) (1)以O(shè)為位似中心，在網(wǎng)格圖中作ABC，使ABC和ABC位似，且位似比為12； (2)連接(1)中的AA，求四邊形AACC的周長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào)),比例的基本性質(zhì)、黃金分割

5、,【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例的性質(zhì)此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是注意掌握比例的性質(zhì)與比例變形,三角形相似的性質(zhì)及判定,【例2】(2014宜昌)已知：如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，以CD為直徑作O，O與邊BC相交于點(diǎn)F，O的切線DE與邊AB相交于點(diǎn)E，且AE3EB. (1)求證：ADECDF； (2)當(dāng)CFFB12時(shí)，求O與ABCD的面積之比,【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力,2(2014玉林)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是BC邊上的任一點(diǎn)，連接AM并將線段AM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段MN，在CD邊上取點(diǎn)P

6、使CPBM，連接NP，BP. (1)求證：四邊形BMNP是平行四邊形； (2)線段MN與CD交于點(diǎn)Q，連接AQ，若MCQAMQ，則BM與MC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由,解析：點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，AOC沿x軸向右平移2個(gè)單位得到OBD；AOC與BOD關(guān)于y軸對(duì)稱；AOC為等邊三角形，AOCBOD60，AOD120，AOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120得到DOB,相似三角形綜合問題,(1)證明：連OC，如圖，EDAB，F(xiàn)BGFGB90，又PCPG，12，而2FGB，4FBG，1490，即OCPC，PC是O的切線,【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定、垂徑定理、勾股定理以及三角形相似的判定與性質(zhì)等知識(shí)的綜

7、合運(yùn)用,3(2014紹興)課本中有一道作業(yè)題： 有一塊三角形余料ABC，它的邊BC120 mm，高AD80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上問加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)是多少毫米？ 小穎解得此題的答案為48 mm，小穎善于反思，她又提出了如下的問題 (1)如果原題中要加工的零件是一個(gè)矩形，且此矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成，如圖，此時(shí)，這個(gè)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)又分別為多少毫米？請(qǐng)你計(jì)算 (2)如果原題中所要加工的零件只是一個(gè)矩形，如圖，這樣，此矩形零件的兩條邊長(zhǎng)就不能確定，但這個(gè)矩形面積有最大值，求達(dá)到這個(gè)最大值時(shí)矩形零件的兩條邊長(zhǎng),相似多邊

8、形與位似圖形,【例4】(2012安徽)如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，按要求畫出A1B1C1和A2B2C2； (1)將ABC先向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到A1B1C1； (2)以圖中的點(diǎn)O為位似中心，將A1B1C1作位似變換且放大到原來的兩倍，得到A2B2C2.,解：如圖：,【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平移、位似的作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵,(1)證明：菱形AEFG菱形ABCD，EAGBAD，EAGGABBADGAB，EABGAD，AEAG，ABAD，AEBAGD，EBGD,審題視角 三角形內(nèi)從兩個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別與其對(duì)邊相交的線段，它們又相交于一點(diǎn)這時(shí)，三角形的兩邊、上述兩條相交線段均被有關(guān)分點(diǎn)分成不同的線段比，這些線段的比之間存在相互依存和制約的關(guān)系，知道其中任意兩條線段被分點(diǎn)分成的比，就可以求出其他任一線段被分點(diǎn)所分成的比 這一問題的解決辦法，主要是利用平行線(作輔助線)輔助線的作法：主要是過三角形邊上的點(diǎn)作欲求分比線段的平行線，構(gòu)成兩對(duì)相似三角形本題可以過點(diǎn)E作EGCD交AB于點(diǎn)G，則有BEGBCD，ADOAGE.本題也可過點(diǎn)D作AE的平行線，同樣也可以求得相關(guān)的比值,規(guī)范解題,答題思路 第一步：審題，理解問題，清