1、最新資料推薦由角平分線想到的輔助線角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性； b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下， 出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線； 其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線ea（一）、截取構(gòu)全等如圖 1-1 ， aoc=boc，如取 oe=of，并連odc接 de、 df，則有 oed ofd，從而為我們證fba圖1-1明線段、角相等創(chuàng)造了條件。e例1 如圖 1-2 ，ab/cd

2、， be平分 abc，ce平分 bcd，點(diǎn) e 在 ad上，求證：bc=ab+cd。分析：此題中就涉及到角平分線，可以利bf圖1-2用角平分線來構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線來構(gòu)造軸對(duì)稱圖形， 同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問題， 在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或截取法來證明， 延長(zhǎng)短的線段或在長(zhǎng)的線段長(zhǎng)截取一部分使之等于短的線段。但無論延長(zhǎng)還是截取都要證明線段的相等，延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線段與某條線段相等， 截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。簡(jiǎn)證：在此題中可在長(zhǎng)線段 bc上截取 bf=ab，再證明 cf=cd，從而達(dá)到證明的目的。這里面用到了角平分

3、線來構(gòu)造全等三角形。 另外一個(gè)全等自已證明。 此題的證明也可以延長(zhǎng) be與 cd的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)來證明。自已試一試。例2已知：如圖 1-3 ，ab=2ac， bad=cad，da=db，求證 dcacdc1最新資料推薦分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。acedb圖 1-3例3已知：如圖 1-4 ，在 abc中， c=2 b,ad 平分 bac，求證： ab-ac=cd分析：此題的條件中還有角的平分線， 在證明a中還要用到構(gòu)造全等三角形， 此題還是證明線段的和差倍分問題。 用到的是截取法來證明的， 在長(zhǎng)的e線段上截取短的線段， 來證明。試試

4、看可否把短的延長(zhǎng)來證明呢？cbd練習(xí)圖 1-41已知在 abc中， ad平分 bac， b=2c，求證： ab+bd=ac2已知：在 abc中， cab=2b，ae平分 cab交 bc于 e，ab=2ac，求證： ae=2ce3已知：在 abc中， abac,ad為 bac的平分線， m為 ad上任一點(diǎn)。求證： bm-cmab-ac4已知： d是 abc的 bac的外角的平分線ad上的任一點(diǎn)，連接db、dc。求證： bd+cdab+ac。（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。a例1 如圖 2-1 ，已知 abad

5、, bac= fac,cd=bc。求證： adc+b=180de2bfc圖 2-1最新資料推薦分析：可由 c向 bad的兩邊作垂線。近而證adc與 b 之和為平角。例2 如圖 2-2 ，在 abc中， a=90，ab=ac， abd= cbd。求證： bc=ab+ada分析：過 d 作 debc于 e，則 ad=de=ce，則構(gòu)造出d全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，bc從中利用了相當(dāng)于截取的方法。e圖2-2例3 已知如圖 2-3 ， abc的角平分線bm、cn相交于點(diǎn) p。求證： bac的平分線也經(jīng)過點(diǎn) p。a分析：連接 ap，證 ap平分 bac即可，也就是證 p 到 a

6、b、ac的距離相等。nmdfbpc練習(xí)：圖 2-31如圖 2-4 aop=bop=15 ， pc/oa，pdoba，c如果 pc=4，則 pd=（）poaa 4 b 3 c 2 d 1d圖2-42已知在 abc中， c=90， ad平分 cab，cd=1.5,db=2.5. 求 ac。3已知：如圖 2-5,bac=cad,abad，ceab，1aae=2 （ ab+ad）. 求證： d+ b=180。d4. 已知：如圖 2-6, 在正方形 abcd中， e 為 cd 的中點(diǎn)，ecbf 為 bc上的點(diǎn)， fae=dae。求證： af=ad+cf。5 已知：如圖 2-7 ，在 rt abc中， a

7、cb=90 e 平分 cab交 cd于 f，過 f 作 fh/ab 交 bc于 h。求證圖 2-5,cdab，垂足為 d，a cf=bh。adcee3fhbfcadb圖2-6圖 2-7最新資料推薦（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交）。例1 已知：如圖3-1 ， bad=dac，abac,cdad于 d，h 是 bc中點(diǎn)。1（ab-ac）a求證： dh

8、=2分析：延長(zhǎng) cd交 ab于點(diǎn) e，則可得全等三角形。問題可證。dcebh例2 已知：如圖 3-2 ， ab=ac， bac=90 ，ad為 a圖示 3-1fabc的平分線， cebe.求證： bd=2ce。de分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的b垂線，可延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角圖3-2c形。例 3已知：如圖 3-3 在 abc中， ad、ae分別 bac的內(nèi)、外角平分線，過頂點(diǎn) b 作 bn垂直 ad,交 ad的延長(zhǎng)線于 f，連結(jié) fc并延長(zhǎng)交 ae于 m。求證： am=me。ambdce分析：由 ad、ae 是 bac內(nèi)外角平分線，可得eafn圖3-3

9、af，從而有 bf/ae，所以想到利用比例線段證相等。4最新資料推薦例4 已知：如圖 3-4 ，在 abc中， ad 平分 bac， ad=ab，cm ad 交 ad 延長(zhǎng)線于 m。求證： am=1 （ab+ac）2分析：題設(shè)中給出了角平分線ad，自然想到以 ad為軸作對(duì)稱變換，作 ab1d 關(guān)于 ad的對(duì)稱 aed，然后只需證dm= ec，另外21由求證的結(jié)果am= （ab+ac），即 2am=ab+ac，也可2aef嘗試作 acm關(guān)于 cm的對(duì)稱 fcm，然后只需證 df=c bdncf 即可。圖 3-4m練習(xí)：1已知：在 abc中， ab=5， ac=3， d 是 bc中點(diǎn)， ae 是

10、bac的平分線，且 ceae于 e，連接 de，求 de。2已知 be、bf 分別是 abc的 abc的內(nèi)角與外角的平分線， afbf于 f，ae be于 e，連接 ef分別交 ab、ac于 m、 n，求證 mn=1 bc2（四）、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時(shí)， 常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1 和圖 4-2 所示。cahdifebcgab圖4-2圖4-1例 4 如圖， abac, 1=2，求證： abacbdcd。ca1d25b最新資料推薦例 5 如圖，

11、 bcba，bd平分 abc，且 ad=cd，求證： a+c=180。abdc例 6 如圖， abcd， ae、de分別平分 bad各 ade，求證： ad=ab+cd。dceab練習(xí)：1. 已知，如圖， c=2a，ac=2bc。求證： abc是直角三角形。cab2已知：如圖， ab=2ac， 1=2，da=db，求證： dcaca1 2cbd6最新資料推薦3已知 ce、ad是 abc的角平分線， b=60，求證： ac=ae+cdaebdc4已知：如圖在 abc中， a=90，ab=ac，bd是 abc的平分線，求證：bc=ab+adadbc（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中

12、線例 6如圖 7， abc是等腰直角三角形， bac=90， bd平分 abc交 ac 于點(diǎn) d，ce垂直于 bd，交 bd的延長(zhǎng)線于點(diǎn) e。求證： bd=2ce。證明：延長(zhǎng) ba，ce交于點(diǎn) f，在bef和bec中， 1=2，be=be， bef=bec=90， befbec， ef=ec，從而 cf=2ce。又 1+f=3+f=90，故 1=3。7最新資料推薦在 abd和 acf中， 1=3，ab=ac， bad=caf=90， abdacf， bd=cf， bd=2ce。注：此例中 be是等腰 bcf的底邊 cf的中線。（六）、借助角平分線造全等1：如圖，已知在abc中， b=60， abc的角平分線ad,ce相交于點(diǎn) o，求證： oe=odaeo2：（06 鄭州市中考題）如圖， abc中，a bcdd 平分 bac， dg bc且平分 bc，de ab于 e，df ac于 f. （1）說明 be=cf的理由；（2）如果 ab=a ，ac=b ，求 ae、be的長(zhǎng) .aegbcfd中考應(yīng)用（06 北京中考）如圖， op是 mon的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以op 所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解