1、18.1 線性規(guī)劃問題的有關(guān)概念,授課人：潘紅勝,例1 某點心店要做甲、乙兩種饅頭，甲種饅頭的主要原料是每3 份面粉加2份玉米粉，乙種饅頭的主要原料是每4份面粉加一份 玉米粉。這個點心店每天可買進(jìn)面粉50kg、玉米粉20kg，做1kg 甲種饅頭的利潤是5元，做1kg乙種饅頭的利潤是4元，那么這個 點心店每天各做多少個甲、乙兩種饅頭才能獲利最多？,解：設(shè)計劃做甲種饅頭xkg，乙種饅頭ykg，所獲利潤為z元，則：,(1),(2),(3),(4),(5),(2) 記號“max”表示取函數(shù)的最大值。,(3) 式(1)稱為目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù) 可最大化或最小化。,(4) 式(2) (5)統(tǒng)稱為目標(biāo)函數(shù)的

2、約束條件。,例1 某點心店要做甲、乙兩種饅頭，甲種饅頭的主要原料是每3 份面粉加2份玉米粉，乙種饅頭的主要原料是每4份面粉加一份 玉米粉。這個點心店每天可買進(jìn)面粉50kg、玉米粉20kg，做1kg 甲種饅頭的利潤是5元，做1kg乙種饅頭的利潤是4元，那么這個 點心店每天各做多少個甲、乙兩種饅頭才能獲利最多？,解：設(shè)計劃做甲種饅頭xkg，乙種饅頭ykg，所獲利潤為z元，則：,(1),(2),(3),(4),(5),(5) 在數(shù)學(xué)中，線性規(guī)劃問題是目標(biāo) 函數(shù)和約束條件都是線性的最優(yōu)化 問題。,(6) 線性規(guī)劃問題的三要素：,決策變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件,(7) 決策變量：,是線性規(guī)劃問題要 確定的

3、未知量。,決策變量有非負(fù)的要求,例1 某點心店要做甲、乙兩種饅頭，甲種饅頭的主要原料是每3 份面粉加2份玉米粉，乙種饅頭的主要原料是每4份面粉加一份 玉米粉。這個點心店每天可買進(jìn)面粉50kg、玉米粉20kg，做1kg 甲種饅頭的利潤是5元，做1kg乙種饅頭的利潤是4元，那么這個 點心店每天各做多少個甲、乙兩種饅頭才能獲利最多？,解：設(shè)計劃做甲種饅頭xkg，乙種饅頭ykg，所獲利潤為z元，則：,(1),(2),(3),(4),(5),(8) 目標(biāo)函數(shù)：,是決策變量的線性函數(shù)。,根據(jù)問題的不同，要求實現(xiàn)最大化 或最小化。,(9) 約束條件：,是指決策變量取值時 存在一定的限制條件。且表示為 線性不

4、定式,例1 某點心店要做甲、乙兩種饅頭，甲種饅頭的主要原料是每3 份面粉加2份玉米粉，乙種饅頭的主要原料是每4份面粉加一份 玉米粉。這個點心店每天可買進(jìn)面粉50kg、玉米粉20kg，做1kg 甲種饅頭的利潤是5元，做1kg乙種饅頭的利潤是4元，那么這個 點心店每天各做多少個甲、乙兩種饅頭才能獲利最多？,解：設(shè)計劃做甲種饅頭xkg，乙種饅頭ykg，所獲利潤為z元，則：,(1),(2),(3),(4),(5),(10) 常見的兩種線性規(guī)劃問題：, 如何合理利用有限的資源，使其 產(chǎn)生最大的效益。, 如何制定最佳方案，以盡可能少 的資源完成所要做的事情。,效益最大化,成本最低化,例1 某點心店要做甲、

5、乙兩種饅頭，甲種饅頭的主要原料是每3 份面粉加2份玉米粉，乙種饅頭的主要原料是每4份面粉加一份 玉米粉。這個點心店每天可買進(jìn)面粉50kg、玉米粉20kg，做1kg 甲種饅頭的利潤是5元，做1kg乙種饅頭的利潤是4元，那么這個 點心店每天各做多少個甲、乙兩種饅頭才能獲利最多？,解：設(shè)計劃做甲種饅頭xkg，乙種饅頭ykg，所獲利潤為z元，則：,(1),(2),(3),(4),(5),(12) 從實際問題中建立線性規(guī)劃模型 的三個步驟：,第一步：確定決策變量； 第二步：確定目標(biāo)函數(shù)； 第三步：確定約束條件。,(11) 把實際問題抽象為數(shù)學(xué)形式的 方法叫做數(shù)學(xué)建模。(建立數(shù)學(xué)模型),注：本節(jié)只建模，不

6、求解。,解：設(shè)建普通住宅樓x棟，別墅y棟，則有：,解：設(shè)該廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，乙產(chǎn)品y件，則有：,練習(xí)1，建立下面線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型： 某廠計劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其主要原材料有鋼材1500kg,銅材 2700kg，每件產(chǎn)品耗材定額(kg)及所獲利潤(元)如下表，問：如何 安排生產(chǎn)能使該廠所獲利潤最大？,例3，某運輸公司有8輛載重6t的a型卡車，4輛載重10t的b型卡車， 并有9名駕駛員，在建造某段高速公路時，公司承包了每天至少運 輸瀝青180t的任務(wù)，已知每輛卡車每天往返次數(shù)為a型4次，b型6 次，派出每輛卡車每天的成本為a型120元，b型200元，每天應(yīng)派 出a型和b型卡車各多少輛，能使

7、公司總成本最低？,解：設(shè)每天應(yīng)派出a型卡車x輛，b型卡車y輛，則有：,練習(xí)2，某運輸公司有8輛載重6t的a型卡車，4輛載重10t的b型卡 車，并有9名駕駛員，在建造某段高速公路時，公司承包了每天至 少運輸瀝青180t的任務(wù)，已知每輛卡車每天往返次數(shù)為a型4次， b型6次，派出每輛卡車每天可得利潤為a型120元，b型200元，每 天應(yīng)派出a型和b型卡車各多少輛，能使公司利潤最大？,解：設(shè)每天應(yīng)派出a型卡車x輛，b型卡車y輛，則有：,解：設(shè)買a種飼料千克，b種飼料y千克，則有：,練習(xí)3，建立下面線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型： 某飼養(yǎng)場要同時用a、b兩種飼料喂養(yǎng)動物，要求每頭動物每天至 少應(yīng)攝取10個單位

8、的蛋白質(zhì)和9個單位的礦物質(zhì)。兩種飼料每千克 中所含兩種成分的數(shù)量(單位)及每千克的單價(元)如下表，該飼養(yǎng) 場每天要買兩種飼料各多少千克，才能滿足動物生長的需要，又 使費用最??？,【課堂作業(yè)】教程p93，習(xí)題1，,13,線性規(guī)劃問題:求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或 最小值的問題，通常稱為線性規(guī)劃問題.,14,線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型都具有的共同特征：,(1)，每一個問題都用一組決策變量來表示，這些變量一般情 況下取非負(fù)值；,(2)，存在一定的約束條件，通常用一組一次（線性）不定式 或等式表示；,(3)，都有一個要達(dá)到的目標(biāo)，用決策變量的一次（線性）函 數(shù)即目標(biāo)函數(shù)來表示，按問題的不同實