1、專題7 不等式,第1節(jié) 不等式性質與不等式解法 第2節(jié) 基本不等式及其應用 第3節(jié) 線性規(guī)劃問題,目錄,600分基礎 考點考法 考點35 不等式的性質及應用 考點36 常見不等式的解法 考點37 與一元二次不等式有關的參數問題,第1節(jié) 不等式性質與不等式解法,考點35不等式的性質及應用,1.不等式的基本性質,2.不等式的運算性質(基本性質的推論),考點35不等式的性質及應用,考點35不等式的性質及應用,3.常用的證明方法 （1）分析法：從需要證明的命題出發(fā)，分析使這個命題成立的充分條件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后達到命題所給出的條件（或者一個已證明過的定理或一個明顯的事實），這種證明方

2、法稱為分析法. （2）綜合法：從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、已知的定義及定理，逐步推導，從而最后導出要證明的命題，這種方法稱為綜合法. （3）反證法.,考點35不等式的性質及應用,考法1 不等式的性質及應用,考法2 利用不等式的性質證明不等關系,不等式的性質及應用,考點35,考點35不等式的性質及應用,考點35,考法1,不等式的性質及應用,1.應用不等式的性質解題的常見類型及方法 （1）不等式性質與充要條件、求取值范圍、證明與推導不等式綜合的問題，應注意觀察從已知不等式到目標不等式的變化,它是如何變形的,這些變形是否符合不等式的性質； （2）若比較大小的兩式是指數或對數模型,注意運用函數單調

3、性解題； （3）恰當運用賦值法和排除法探究解答選擇題、填空題.,考點35不等式的性質及應用,考點35,考法1,不等式的性質及應用,2.比較大小 (1)差值比較原理 差值比較步驟：作差并變形判斷差的符號結論.,【注意】只要判斷差的符號（正負號）,至于差的值究竟是什么無關緊要,通常將差化為完全平方式的形式或者多個因式積的形式.關鍵步驟是變形,主要是利用通分、因式分解、配方等,變形是為了更有利于判斷符號.,(2)商值比較原理 商值比較步驟：作商并變形判斷商與1的大小結論.,【注意】作商時結果與“1”比較大小，注意分母的正負,如果a,b均小于0,所得結論與“商值比較原理”中的結論相反.關鍵步驟仍是變形

4、,方法主要有分母（或分子）有理化、指數恒等變形、對數恒等變形等.,考點35不等式的性質及應用,此外，還可應用函數單調性比較大小，也可以采用中間量法或賦予特殊值的方法比較大小.,考點35,考法1,不等式的性質及應用,3.求取值范圍 由af(x,y)b,cg(x,y)d,求F(x,y)的取值范圍,可利用待定系數法解決,即設F(x,y)=mf(x,y)+ng(x,y)（或其他形式）,通過恒等變形求得m,n的值,再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性質求得F(x,y)的取值范圍.有時也可用線性規(guī)劃的方法求F(x,y)的取值范圍.,考點35不等式的性質及應用,考點35,考法1,不等式的性質及應用,考點

5、35不等式的性質及應用,考點35,考法1,不等式的性質及應用,考點35不等式的性質及應用,考點35,考法2,利用不等式的性質證明不等關系,1.比較法 可分為作差比較法與作商比較法.與比較大小的方法步驟一致. 2.綜合法 利用某些已知的不等式,應用不等式的性質推導出要證明的不等式(“由因索果”),這種證明方法叫綜合法. 3.分析法 從尋求結論成立的充分條件入手,逐步尋求所需條件成立的充分條件,直到所需的條件已知正確為止(“由果索因”). 4.分析綜合法 將分析法和綜合法結合使用而形成的一種方法. 【說明】應用不等式性質進行推理時，務必注意不等式成立的前提條件，如性質4中c的符號對不等號方向的影響

6、，避免出錯.,考點35不等式的性質及應用,考點35,考法2,利用不等式的性質證明不等關系,考點35不等式的性質及應用,考點36常見不等式的解法,1.解一元二次不等式的一般步驟,(1)將不等式的右端化為0,左端化為二次項系數大于零的不等式ax2+bx+c0(或0)(a0)或ax2+bx+c0(或0)(a0); (2)計算相應的一元二次方程ax2+bx+c=0的判別式； (3)當0時,求出相應的一元二次方程ax2+bx+c=0的根; (4)根據對應的二次函數的圖象寫出不等式的解集.,考點36常見不等式的解法,考點36常見不等式的解法,2.三個“二次”間的關系,【特別提示】若一元二次不等式的解集用區(qū)

7、間表示，則區(qū)間的端點值是對應的一元二次方程的根，同時注意判別式的取值范圍及a的正負. 【注意】相應的一元二次方程根的大小不確定時，應先討論根的大小，再寫出解集.,考點36常見不等式的解法,考法3 解一元二次不等式,考法4 解分式不等式、絕對值不等式,常見不等式的解法,考點36,考法5 解高次不等式,考法6 解指數不等式、對數不等式,考點36常見不等式的解法,考點36,考法3,解一元二次不等式,1.解具體的一元二次不等式,考點36常見不等式的解法,考點36,考法3,解一元二次不等式,2.已知一元二次不等式的解集確定參數,考點36常見不等式的解法,考點36,考法3,解一元二次不等式,【點撥】一元二

8、次不等式、一元二次方程及二次函數的聯(lián)系非常緊密,要注意相互轉化.要注意二次項系數的正負號,若二次項系數為正,對應的二次函數的圖象開口向上,再結合圖象觀察處于x軸上方與下方的橫坐標的取值范圍,分別為不等式大于0和小于0的解集（圖象與x軸的交點的橫坐標即為對應一元二次方程的解）；若二次項系數為負,一般先將其系數由負轉化為正,再根據前面介紹的方法求解.,考點36常見不等式的解法,考點36,考法4,解分式不等式、絕對值不等式,1.解分式不等式 解分式不等式的實質是將分式不等式轉化為整式不等式.,考點36常見不等式的解法,考點36,考法4,解分式不等式、絕對值不等式,2.解絕對值不等式,(4)幾何法：利

9、用絕對值的幾何意義，畫出數軸，將絕對值轉化為數軸上兩點之間的距離求解； (5)數形結合法：在直角坐標系中作出不等式兩邊所對應的兩個函數的圖象，利用函數圖象求解； (6)含兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分區(qū)間法脫去絕對值符號，將其轉化為與之等價的不含絕對值符號的不等式(組)求解.,考點36常見不等式的解法,考點36,考法4,解分式不等式、絕對值不等式,考點36常見不等式的解法,考點36,考法4,解分式不等式、絕對值不等式,考點36常見不等式的解法,考點36,考法5,解高次不等式,如果分式不等式轉化為整式不等式后，未知數的次數大于2,一般使用穿針引線法,具體思路如下：,（1）標準化.,

10、通過移項、通分等方法將不等式化為左側為關于未知數的整式,且最高次項系數為正，右側為0的形式.,（2）分解因式.,將標準化的不等式的左側化為若干個因式（一次因式或高次不可約因式）的乘積,如(x-x1)(x-x2)(x-xn)0（0,0,0)的形式,其中各因式中未知數的系數為正.,（3）求根.,求(x-x1)(x-x2)(x-xn)=0的根,并在數軸上表示出來（按從小到大的順序標出）.,考點36常見不等式的解法,考點36,考法5,解高次不等式,如果分式不等式轉化為整式不等式后，未知數的次數大于2,一般使用穿針引線法,具體思路如下：,（1）標準化.,（2）分解因式.,（3）求根.,（4）穿線.,從右

11、上方穿線,經過數軸上表示各根的點,但是要注意經過偶次根時應從數軸的一側返回這一側,經過奇次根時應從數軸的一側穿過，到達數軸的另一側.即“奇穿偶不穿”.,（5）得解集.,若不等式（未知數的系數均為正）是“0”型,則找“線”在數軸上方時對應的區(qū)間；若不等式（未知數的系數均為正）是“0”型,則找“線”在數軸下方時對應的區(qū)間.,考點36常見不等式的解法,考點36,考法5,解高次不等式,考點36常見不等式的解法,考點36,考法6,解指數不等式、對數不等式,1.指數不等式的解法(a0,且a1),2.對數不等式的解法(a0,且a1),考點36常見不等式的解法,考點36,考法6,解指數不等式、對數不等式,考點

12、36常見不等式的解法,考點37與一元二次不等式有關的參數問題,不等式(x-a)(x-b)0(a0)的求解,應注意對參數進行分類討論,分類討論的常見情況： （1）二次項系數的符號（包含是否為0）; （2）計算判別式,判斷方程根的情況：若有兩根,則需要比較兩根的大小.,考點37與一元二次不等式有關的參數問題,考法7 解含有參數的一元二次不等式,考法8 由一元二次型不等式恒成立求參數范圍,與一元二次不等式有關的參數問題,考點37,考點37與一元二次不等式有關的參數問題,考點37,考法7,解含有參數的一元二次不等式,（1）一看（看二次項系數的符號）. （2）二算（計算判別式,判斷方程根的情況）. （3

13、）三寫（寫出解集）.,二次項若含有參數,應討論其是等于0,小于0,還是大于0.若二次項系數不為0,將不等式轉化為二次項系數為正的標準形式.,此類題一般以含參數的一元二次不等式、集合的形式出現,要注意各次項系數大小對不等式解集的影響.在解含有參數的一元二次型不等式（如關于x的不等式ax2+bx+c0）時:,判斷標準形式的一元二次不等式對應的方程的根的個數,討論判別式與0的大小關系.,確定無根或有兩個相等的實數根時，可以直接寫出解集.如果有兩個不相等的實數根,但不能確定兩根的大小,要討論兩根的大小關系,從而確定解集.,【注意】勿將形如ax2+bx+c0的不等式認為一定是一元二次不等式.,考點37與

14、一元二次不等式有關的參數問題,考點37,考法7,解含有參數的一元二次不等式,【點撥】解含有參數的一元二次不等式,若二次項系數為常數,可先考慮因式分解,在求出對應方程根的情況下再對參數進行討論,若不能根據因式分解的方法求出其根,則需要按照不等式對應方程的根的判別式的情況進行分類討論;若二次項系數為參數,則應考慮二次項系數是否為零,然后討論二次項系數不為零的情況.,考點37與一元二次不等式有關的參數問題,考點37,考法8,由一元二次型不等式恒成立求參數范圍,1.一元二次不等式在實數集R上恒成立,考點37與一元二次不等式有關的參數問題,考點37,考法8,由一元二次型不等式恒成立求參數范圍,2.在某區(qū)

15、間上恒成立 設f(x)=ax2+bx+c(a0). 方法1 不等式解集法,不等式f(x)0在集合A中恒成立等價于集合A是不等式f(x)0解集B的子集,通過求不等式的解集,并研究集合間的關系可以求出參數的取值范圍.,方法2 分離參數法,若不等式f(x,)0（xD,為實參數）恒成立，將f(x,)0轉化為g(x)或g(x)（xD）恒成立，進而轉化為g(x)max或g(x)min，求g(x)(xD）的最值即可. 適用題型：參數與變量能分離；函數最值易求.,考點37與一元二次不等式有關的參數問題,考點37,考法8,由一元二次型不等式恒成立求參數范圍,2.在某區(qū)間上恒成立 設f(x)=ax2+bx+c(a

16、0). 方法1 不等式解集法,方法2 分離參數法,方法3 主參換位法,變換思維角度,即把變元與參數交換位置,構造以參數為變量的函數,根據原變量的取值范圍列式求解.一般地，條件給誰的范圍，就看成有關誰的函數，利用函數單調性求解.,方法4 數形結合法,結合函數圖象將問題轉化為函數圖象對稱軸，區(qū)間端點函數值或函數圖象上、下位置（相對于x軸）關系求解.,此外，若涉及的不等式能轉化為一元二次不等式，可結合一元二次方程根的分布解決問題.,考點37與一元二次不等式有關的參數問題,考點37,考法8,由一元二次型不等式恒成立求參數范圍,考點37與一元二次不等式有關的參數問題,目錄,600分基礎 考點考法 考點3

17、8 基本不等式及應用 700分基礎 考點考法 考點39 基本不等式的實際應用,第2節(jié) 基本不等式及其應用,考點38基本不等式及應用,1.基本不等式,2.重要不等式,3.幾個常用的重要結論,考點38基本不等式及應用,考點38基本不等式及應用,5.利用基本不等式求最值的前提條件,利用基本不等式求最值的三個前提條件是“一正、二定、三相等”, 即“一正”是各項為正數； “二定”是求和的最小值要求各項積為定值、求積的最大值要求各項和為定值； “三相等”是必須驗證等號是否成立.,考點38基本不等式及應用,4.利用基本不等式求最值,考法1 利用基本不等式比較大小或證明簡單不等式,考法2 利用基本不等式求最值

18、,基本不等式及其應用,考點38,考點38基本不等式及應用,考點38,考法1,利用基本不等式比較大小或證明簡單不等式,1.常見的利用基本不等式比較大小或證明簡單不等式的方法依據,考點38基本不等式及應用,考點38,考法1,利用基本不等式比較大小或證明簡單不等式,2.應用基本不等式需注意的內容,（1）創(chuàng)造運用基本不等式的條件,合理拆分項或配湊項是常用技巧,其中拆與湊的目的在于能運用基本不等式.通常是考慮分母的代數式,考慮將原式拆分或配湊成與分母的代數式有關系（相等、倍分等）的式子與常數的和. （2）當多次使用基本不等式時,一定要注意每次是否能保證等號成立,并且要注意取等號條件的一致性,否則就會出錯

19、.因此,在利用基本不等式處理問題時,列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟,而且也是檢驗轉換是否有誤的一種方法. （3）注意“1 ”的代換的妙用.當進行條件不等式的證明（即已知一個等式,求證一個不等式成立）時,通常將等式一端轉化出常數“1 ”,根據1a=a或者等量代換,將待證不等式一側乘“1 ”或者將其中的常數進行“1 ”的代換.”,考點38基本不等式及應用,考點38,考法1,利用基本不等式比較大小或證明簡單不等式,考點38基本不等式及應用,考點38,考法2,利用基本不等式求最值,求最值時常見以下幾種情形,（1）若直接滿足基本不等式條件,即滿足“一正、二定、三相等”,則直接應用基本不等式.,（

20、2）若不能直接滿足基本不等式條件,則需要創(chuàng)造條件對式子進行恒等變形,如構造“1 ”的代換,對不等式進行分拆、組合、添加系數等方法使之能變成可用基本不等式的形式,創(chuàng)造使不等式中等號成立的條件.,（3）有時需要多次使用基本不等式求解.,考點38基本不等式及應用,考點38,考法2,利用基本不等式求最值,考點38基本不等式及應用,考點39基本不等式的實際應用,利用基本不等式解決實際問題的方法步驟如下： （1）根據題意設出相應變量,一般把要求最值的變量設為函數； （2）建立相應的函數關系式,確定函數的定義域； （3）在定義域內,求函數的最值； （4）回到實際問題中去,寫出實際問題的答案. 【注意】當運用

21、基本不等式求最值時,若等號成立的自變量值不在定義域內,就不能使用基本不等式求解,此時可根據定義域和函數的單調性求解.,考法3 基本不等式的實際應用,考點39基本不等式的實際應用,考點39基本不等式的實際應用,考法3 基本不等式的實際應用,考點39基本不等式的實際應用,考點39基本不等式的實際應用,考法3 基本不等式的實際應用,考點39基本不等式的實際應用,目錄,600分基礎 考點考法 考點40 二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域 考點41 線性目標函數的最值 700分基礎 考點考法 綜合問題12 生活中的優(yōu)化問題 綜合問題13 非線性規(guī)劃問題,第3節(jié) 線性規(guī)劃問題,考點40二元一次不等式（組）

22、表示的平面區(qū)域,1.二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域及判斷方法,(1)一般地,二元一次不等式AxByC0在平面直角坐標系中表示直線AxByC0某一側的所有點組成的平面區(qū)域(半平面),不包括邊界直線；二元一次不等式AxByC0所表示的平面區(qū)域(半平面)包括邊界直線.,(2)直線AxByC0同一側的所有點(x,y),使得AxByC的值符號相同,也就是位于直線AxByC0某一側的所有點,其坐標滿足AxByC0(AxByC0).,(3)可在直線AxByC0的某一側任取一點(x0,y0)（一般取特殊點,如原點，點（0,1），點（1,0）,從Ax0By0C的符號來判斷AxByC0(或AxByC0)所表示

23、的平面區(qū)域.,(4)由幾個不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.,考點40二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域,考點40二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域,2.確定二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域的方法步驟,（1）畫線,在平面直角坐標系中畫出不等式所對應方程所表示的直線（注意不等式中不等號有無等號,無等號時直線畫成虛線,有等號時直線畫成實線）.,（2）定側,將某個區(qū)域位置明顯的特殊點的坐標代入不等式,根據“同側同號,異側異號”的規(guī)律確定不等式所表示的平面區(qū)域在直線的哪一側.若直線不過原點,特殊點常選取原點.,（3）求“交”,若平面區(qū)域是由不等式組決定的,則

24、在確定了各個不等式所表示的區(qū)域后,再求這些區(qū)域的公共部分.,以上俗稱為“直線定界,特殊點定域”.,考點40二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域,考法1 求平面區(qū)域的面積,考法2 根據平面區(qū)域滿足的條件求參數的取值范圍,二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域,考點40,考點40二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域,考點40,考法1,求平面區(qū)域的面積,解決此類問題的一般步驟,（1）利用應試基礎必備中的有關方法畫出不等式組表示的平面區(qū)域. （2）判斷平面區(qū)域的形狀,并求得直線的交點坐標、圖形的邊長、相關線段的長（三角形的高、四邊形的高）等,若為規(guī)則圖形則利用圖形的面積公式求解；若為不規(guī)則圖形則利用割補法求解

25、. 【說明】求面積時應考慮圓、平行四邊形等的對稱性,圖形面積的割補法等.,考點40二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域,考點40,考法1,求平面區(qū)域的面積,考點40二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域,考點40,考法2,根據平面區(qū)域滿足的條件求參數的取值范圍,不等式組中的參數影響平面區(qū)域的形狀，如果不等式組中的不等式含有參數，這時它表示的區(qū)域的分界線是一條變動的直線，此時要根據參數的取值范圍確定這條直線的變化趨勢、傾斜角度、上升還是下降、是否過定點等，確定區(qū)域的可能形狀，進而根據題目要求求解；如果是一條曲線與平面區(qū)域具有一定的位置關系，可以考慮對應的函數的變化趨勢，確定極限情況求解；如果目標函數中

26、含有參數，則要根據這個目標函數的特點考察參數變化時目標函數與平面區(qū)域的關系，在運動變化中求解. 【注意】此類問題的難點在于參數取值范圍的不同導致平面區(qū)域或者曲線位置的改變，解答的思路可能會有變化，所以求解時要根據題意進行必要的分類討論及對特殊點、特殊值的考慮.,考點40二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域,考點40,考法2,根據平面區(qū)域滿足的條件求參數的取值范圍,考點40二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域,考點41線性目標函數的最值,1.線性規(guī)劃的有關概念,考點41線性目標函數的最值,考點41線性目標函數的最值,2.簡單線性規(guī)劃問題的圖解法,在確定線性約束條件和線性目標函數的前提下,用圖解法求最

27、優(yōu)解的步驟概括為“畫、移、求、答”.即 （1）畫:在平面直角坐標系中畫出可行域和直線ax+by=0(目標函數為z=ax+by); （2）移:平移直線ax+by=0,確定使z=ax+by取得最大值或最小值的點; （3）求:求出使z=ax+by取得最大值或最小值的點的坐標及z的最大值或最小值; （4）答:給出正確答案.,考點41線性目標函數的最值,考法3 線性目標函數的最值及取值范圍,考法4 線性規(guī)劃的逆向問題,線性目標函數的最值,考點41,考點41線性目標函數的最值,考點41,考法3,線性目標函數的最值及取值范圍,方法1 圖解法（基本方法）,利用應試基礎必備中的圖解法求解即可,注意線性目標函數z

28、=ax+by取最大值時的最優(yōu)解與b的正負有關,當b0時,將直線ax+by=0在可行域內向右上方平移到最右側端點（一般是兩直線的交點,即平面區(qū)域的頂點）的位置可得到最優(yōu)解及目標函數最值；當b0時,則是向左下方平移可得到最優(yōu)解及目標函數最值. 【說明】線性目標函數的最值一般在可行域的頂點處或邊界上取得,將目標函數的直線平行移動時，最先通過或最后通過的頂點便是最優(yōu)解.特別地,對最優(yōu)整數解可視情況而定.,考點41線性目標函數的最值,考點41,考法3,線性目標函數的最值及取值范圍,方法1 圖解法（基本方法）,方法2 界點定值法（快捷方法）,線性規(guī)劃的最優(yōu)解都是可行域所對應圖形的邊界頂點,這時只要把可行域

29、的幾個頂點代入,通過對比目標函數的對應取值,即可得到最優(yōu)解和目標函數最值.,方法3 變量替代法,把目標函數z代換到原約束條件中,得到新的不等式組,畫出此時的平面區(qū)域,觀察左右或上下邊界即可得到最優(yōu)解.,考點41線性目標函數的最值,考點41,考法3,線性目標函數的最值及取值范圍,方法1 圖解法（基本方法）,方法2 界點定值法（快捷方法）,方法3 變量替代法,方法4 解不等式法,當目標函數和約束條件分別是線性目標函數和線性約束條件時,把目標函數z代換到原約束條件中去,得到關于z的不等式組,直接放縮求解.,考點41線性目標函數的最值,考點41,考法3,線性目標函數的最值及取值范圍,方法1 圖解法（基

30、本方法）,方法2 界點定值法（快捷方法）,方法3 變量替代法,方法4 解不等式法,方法5 斜率比較法,考點41線性目標函數的最值,考點41,考法3,線性目標函數的最值及取值范圍,考點41線性目標函數的最值,考點41,考法3,線性目標函數的最值及取值范圍,考點41線性目標函數的最值,考點41,考法4,線性規(guī)劃的逆向問題,1.常見問題形式 （1）由可行域求線性約束條件； （2）由最優(yōu)解或最值求參數的取值范圍. 2.處理方法 （1）對于形式（1）,由可行域的端點寫出邊界直線的方程,由區(qū)域特點確定不等號即可. （2）對于形式（2）,解答問題時，必須明確線性目標函數的最值一般在可行域的頂點或邊界取得,運

31、用數形結合的思想方法求解.同時，要注意邊界直線的斜率與目標函數表示的直線的斜率之間的關系.,考點41線性目標函數的最值,考點41,考法4,線性規(guī)劃的逆向問題,考點41線性目標函數的最值,綜合問題12 生活中的優(yōu)化問題,綜合點1 生活中的優(yōu)化問題,1.利用線性規(guī)劃解決優(yōu)化問題的思路,利用線性規(guī)劃解決優(yōu)化問題的關鍵在于確定兩個變量x,y,其基本方法是看求解目標是受哪兩個變量制約的,這兩個變量就是x,y,從而寫出約束條件和目標函數,將實際問題轉化為線性規(guī)劃問題. 【注意】實際問題中，要注意x,y為非負數、整數等要求,避免約束條件不完整這種錯誤的發(fā)生.,綜合問題12 生活中的優(yōu)化問題,綜合問題12 生活中的優(yōu)