1、第十章 微分方程 習題課,一、基本內容 1、基本概念,微分方程凡含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫微分方程,微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最 高階導數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階,微分方程的解代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解,通解如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解,特解確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，叫做微分方程的特解,初始條件用來確定任意常數(shù)的條件.,初值問題求微分方程滿足初始條件的解的問題，叫初值問題,(1) 可分離變量的微分方程,解法,分離變量法,2、一階微分方程的解法,(2) 齊次方程,解法,作變量

2、代換,齊次方程,（其中h和k是待定的常數(shù)）,否則為非齊次方程,(3) 可化為齊次的方程,解法,化為齊次方程,(4) 一階線性微分方程,上方程稱為齊次的,上方程稱為非齊次的.,齊次方程的通解為,（使用分離變量法）,解法,非齊次微分方程的通解為,（常數(shù)變易法）,其中,形如,(5) 全微分方程,注意：,解法,應用曲線積分與路徑無關., 用直接湊全微分的方法.,通解為,(6) 可化為全微分方程,形如,3、可降階的高階微分方程的解法,解法,特點,型,接連積分n次，得通解,型,解法,代入原方程, 得,特點,型,解法,代入原方程, 得,、線性微分方程解的結構,（1）二階齊次方程解的結構:,（2）二階非齊次線

3、性方程的解的結構:,、二階常系數(shù)齊次線性方程解法,n階常系數(shù)線性微分方程,二階常系數(shù)齊次線性方程,二階常系數(shù)非齊次線性方程,解法,由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.,特征方程為,特征方程為,推廣： 階常系數(shù)齊次線性方程解法,、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法,二階常系數(shù)非齊次線性方程,解法待定系數(shù)法.,二、例題,例1,解,原方程可化為,代入原方程得,分離變量,兩邊積分,所求通解為,例2,解,方程為全微分方程.,(1) 利用原函數(shù)法求解:,故方程的通解為,(2) 利用分項組合法求解:,原方程重新組合為,故方程的通解為,(3) 利用曲線積分求解:,故方程的通解為,例3,解,代入方程，得,故方程的通解為,例4,解,特征方程,特征根,對應的齊次方程的通解為,設原方程的特解為,原方程的一個特解為,故原方程的通解為,解得,所以原方程滿足初始條件的特解為,例5,解,特征方程,特征根,對應的齊方的通解為,設原方程的特解為,解得,故原方程的通解為,即,例6,解,（）由題設可得：,解此方程組，得,（）原方程為,由解的結構定理得方程的通解為,解,例7,則由牛頓第二定律得,解此方程得,代入上式得,可解得此二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解為,即,亦即,分析：此等式中含有積分上限函數(shù)，因此想到利用積分,上限函