1、第一章,分析基礎(chǔ),函數(shù),極限,連續(xù), 研究對(duì)象, 研究方法, 研究橋梁,函數(shù)與極限,第一章,二、映射,三、函數(shù),一、集合,第一節(jié),映射與函數(shù),元素 a 屬于集合 M , 記作,元素 a 不屬于集合 M , 記作,一、 集合,1. 定義及表示法,定義 1.,具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱(chēng)為集合.,組成集合的事物稱(chēng)為元素.,不含任何元素的集合稱(chēng)為空集 ,記作 .,注: M 為數(shù)集,表示 M 中排除 0 的集 ;,表示 M 中排除 0 與負(fù)數(shù)的集 .,簡(jiǎn)稱(chēng)集,簡(jiǎn)稱(chēng)元,表示法：,(1) 列舉法：,按某種方式列出集合中的全體元素 .,例:,有限集合,自然數(shù)集,(2) 描述法：,x 所具有的特征,例: 整

2、數(shù)集合,或,有理數(shù)集,p 與 q 互質(zhì),實(shí)數(shù)集合,x 為有理數(shù)或無(wú)理數(shù),開(kāi)區(qū)間,閉區(qū)間,無(wú)限區(qū)間,點(diǎn)的 鄰域,其中, a 稱(chēng)為鄰域中心 , 稱(chēng)為鄰域半徑 .,半開(kāi)區(qū)間,去心 鄰域,左 鄰域 :,右 鄰域 :,是 B 的子集 , 或稱(chēng) B 包含 A ,2. 集合之間的關(guān)系及運(yùn)算,定義2 .,則稱(chēng) A,若,且,則稱(chēng) A 與 B 相等,例如,顯然有下列關(guān)系 :,若,設(shè)有集合,記作,記作,必有,定義 3 . 給定兩個(gè)集合 A, B,并集,交集,且,差集,且,定義下列運(yùn)算:,余集,直積,特例:,為平面上的全體點(diǎn)集,或,二、 映射,某校學(xué)生的集合,學(xué)號(hào)的集合,某班學(xué)生的集合,某教室座位 的集合,引例1.,

3、引例2.,引例3.,(點(diǎn)集),(點(diǎn)集),向 y 軸投影,定義4.,設(shè) X , Y 是兩個(gè)非空集合,若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī),則 f ,使得,有唯一確定的,與之對(duì)應(yīng),則稱(chēng),f 為從 X 到 Y 的映射,記作,元素 y 稱(chēng)為元素 x 在映射 f 下的像,記作,元素 x 稱(chēng)為元素 y 在映射 f 下的原像 .,集合 X 稱(chēng)為映射 f 的定義域 ;,Y 的子集,稱(chēng)為 f 的 值域 .,注意:,1) 映射的三要素 定義域 , 對(duì)應(yīng)規(guī)則, 值域.,2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一.,對(duì)映射,若, 則稱(chēng) f 為滿(mǎn)射;,若,有,則稱(chēng) f 為單射;,若 f 既是滿(mǎn)射又是單射,則稱(chēng) f 為雙

4、射 或一一映射.,引例2, 3,引例2,引例2,例1.,海倫公式,例2.,如圖所示,對(duì)應(yīng)陰影部分的面積,則在數(shù)集,自身之間定義了一種映射,(滿(mǎn)射),例3.,如圖所示,則有,(滿(mǎn)射),(滿(mǎn)射),X (數(shù)集 或點(diǎn)集 ),說(shuō)明:,在不同數(shù)學(xué)分支中有不同的慣用,X ( ),Y (數(shù)集),f 稱(chēng)為X 上的泛函,X ( ),X,f 稱(chēng)為X 上的變換,R,f 稱(chēng)為定義在 X 上的函數(shù),映射又稱(chēng)為算子.,名稱(chēng). 例如,定義域,三、函數(shù),1. 函數(shù)的概念,定義5. 設(shè)數(shù)集,則稱(chēng)映射,為定義在,D 上的函數(shù) ,記為,稱(chēng)為值域,函數(shù)圖形:,自變量,因變量,(對(duì)應(yīng)規(guī)則),(值域),(定義域),例如, 反正弦主值,定義

5、域,對(duì)應(yīng)規(guī)律的表示方法:,解析法,、圖像法,、列表法,使表達(dá)式或?qū)嶋H問(wèn)題有意義的自變量集合.,定義域,值域,又如, 絕對(duì)值函數(shù),定義域,值 域,對(duì)無(wú)實(shí)際背景的函數(shù), 書(shū)寫(xiě)時(shí)可以省略定義域.,對(duì)實(shí)際問(wèn)題, 書(shū)寫(xiě)函數(shù)時(shí)必須寫(xiě)出定義域；,例4. 已知函數(shù),解:,f (x) 的定義域,值域,2. 函數(shù)的幾種特性,設(shè)函數(shù),且有區(qū)間,(1) 有界性,使,稱(chēng),使,稱(chēng),說(shuō)明: 還可定義有上界、有下界、無(wú)界 .,(2) 單調(diào)性,為有界函數(shù).,在 I 上有界.,使,若對(duì)任意正數(shù) M , 均存在,則稱(chēng) f ( x ) 無(wú)界.,稱(chēng) 為有上界,稱(chēng) 為有下界,當(dāng),稱(chēng),為 I 上的,稱(chēng),為 I 上的,單調(diào)增函數(shù) ;,單調(diào)減

6、函數(shù) .,(見(jiàn) P11 ),(3) 奇偶性,且有,若,則稱(chēng) f (x) 為偶函數(shù);,若,則稱(chēng) f (x) 為奇函數(shù).,說(shuō)明: 若,在 x = 0 有定義 ,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng),必有,例如,偶函數(shù),雙曲余弦,記,又如,奇函數(shù),雙曲正弦,記,再如,奇函數(shù),雙曲正切,記,說(shuō)明: 給定,則,偶函數(shù),奇函數(shù),(4) 周期性,且,則稱(chēng),為周期函數(shù) ,若,稱(chēng) l 為周期,( 一般指最小正周期 ).,周期為 ,周期為,注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函數(shù),狄利克雷函數(shù),x 為有理數(shù),x 為無(wú)理數(shù),3. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù),(1) 反函數(shù)的概念及性質(zhì),若函數(shù),為單射,則存在一新映射,習(xí)慣上,的反

7、函數(shù)記成,稱(chēng)此映射,為 f 的反函數(shù) ., 其反函數(shù),(減),(減) .,1) yf (x) 單調(diào)遞增,且也單調(diào)遞增,性質(zhì):,使,其中,2) 函數(shù),與其反函數(shù),的圖形關(guān)于直線(xiàn),對(duì)稱(chēng) .,例如 ,對(duì)數(shù)函數(shù),互為反函數(shù) ,它們都單調(diào)遞增,指數(shù)函數(shù),(2) 復(fù)合函數(shù),則,設(shè)有函數(shù)鏈,稱(chēng)為由, 確定的復(fù)合函數(shù) ,u 稱(chēng)為中間變量.,注意: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件,不可少.,例如, 函數(shù)鏈 :,但可定義復(fù)合函數(shù),時(shí), 雖不能在自然域 R下構(gòu)成復(fù)合函數(shù),可定義復(fù)合函數(shù),當(dāng)改,兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).,例如,可定義復(fù)合函數(shù):,約定: 為簡(jiǎn)單計(jì), 書(shū)寫(xiě)復(fù)合函數(shù)時(shí)不一定寫(xiě)出其定義域, 默認(rèn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)鏈順次滿(mǎn)足

8、構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件.,4. 初等函數(shù),(1) 基本初等函數(shù),冪函數(shù)、,指數(shù)函數(shù)、,對(duì)數(shù)函數(shù)、,三角函數(shù)、,反三角函數(shù),(2) 初等函數(shù),由常數(shù)及基本初等函數(shù),否則稱(chēng)為非初等函數(shù) .,例如 ,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù) ,經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步,驟所構(gòu)成 ,稱(chēng)為初等函數(shù) .,可表為,故為初等函數(shù).,又如 , 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù) .,( 自學(xué), P17 P20 ),非初等函數(shù)舉例:,符號(hào)函數(shù),當(dāng) x 0,當(dāng) x = 0,當(dāng) x 0,取整函數(shù),當(dāng),設(shè)函數(shù),x 換為 f (x),例5.,解:,例6. 求,的反函數(shù)及其定義域.,解:,當(dāng),時(shí),則,當(dāng),時(shí),則,當(dāng),時(shí),則,反函數(shù),定義域?yàn)?內(nèi)容小結(jié),1. 集合及映射的概念,定義域 對(duì)應(yīng)規(guī)律,3. 函數(shù)的特性,有界性, 單調(diào)性, 奇偶性, 周期性,4. 初等函數(shù)的結(jié)構(gòu),作業(yè) P21 4 (5),(8) ,(10); 6; 8; 9; 13 ; 16; 17; 18,2. 函