1、拋物線校對：李炳璋（原名李東升）更多精彩請加824135830 請告訴你的姓名若不存在,說明理由.,解：(1)設(shè)MNP在拋物線的準(zhǔn)線上射影分別為MNP,則由拋物線定義得,|AM|+|AN|=|MM|+|NN|=xM+xN+2a.又圓的方程為,將y2=4ax代入得x2-2(4-a)x+a2+8a=0,xM+xN=2(4-a),|AM|+|AN|=8.,(2) 假設(shè)存在這樣的a,使得2|AP|=|AM|+|AN|.|AM|+|AN|=|MM|+|NN|=2|PP|,|AP|=|PP|.由定義知點(diǎn)P必在拋物線上,這與點(diǎn)P是弦MN的中點(diǎn)矛盾,所以這樣的a不存在.,類型二:求拋物線的方程解題準(zhǔn)備: 求拋

2、物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用的方法是待定系數(shù)法.為避免開口方向不確定而設(shè)成多種形式的麻煩,可以將焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一設(shè)為y2=ax(a0);焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一設(shè)為x2=ay(a0).,典例2 求下列各拋物線的方程:(1)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸為坐標(biāo)軸,且經(jīng)過點(diǎn)M(-2,-4);(2)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,拋物線上一點(diǎn)Q(m,-3)到焦點(diǎn)的距離等于5.,解：(1)設(shè)拋物線為y2=mx或x2=ny,則(-4)2=m(-2)m=-8.或(-2)2=n(-4)n=-1.所求的拋物線方程為y2=-8x或x2=-y.(2)依題意,拋物線開口向下,故設(shè)其方程為x2=-2py.則準(zhǔn)

3、線方程為y= ,又設(shè)焦點(diǎn)為F,則|QF|= -yQ,即 -(-3)=5p=4.故拋物線方程為x2=-8y.,評析：這里易犯的錯誤就是缺乏對開口方向的討論,先入為主,設(shè)定一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程后求解,以致失去另一解.,類型三:拋物線的幾何性質(zhì)解題準(zhǔn)備: 1. 以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p0)為例,有如下幾何性質(zhì):(1)范圍:拋物線y2=2px(p0)開口向右,且向右上方和右下方無限延伸;(2)拋物線只有一條對稱軸x軸,沒有對稱中心;(3)頂點(diǎn):拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn),即坐標(biāo)原點(diǎn).頂點(diǎn)是焦點(diǎn)向準(zhǔn)線所作垂線段的中點(diǎn);(4)離心率:拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比,叫拋物

4、線的離心率,e=1.,2. 拋物線的每一條過焦點(diǎn)的弦被焦點(diǎn)分成兩段焦半徑,由焦半徑公式可推出拋物線的焦點(diǎn)弦長公式:設(shè)過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F的弦為AB,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則弦長|AB|=|AF1|+|AF2|=x1+x2+p.特別地,當(dāng)弦AB與拋物線的對稱軸垂直時,這條弦稱為通徑,其長度為2p.,典例3 已知AB是拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)弦,F為拋物線焦點(diǎn),A(x1,y1)B(x2,y2),求證:(1)y1y2=-p2,x1x2= ;(2)|AB|=x1+x2+p= (為直線AB與x軸的夾角);(3)SAOB= ; 為定值;(5)以AB為直徑的圓與拋物線

5、準(zhǔn)線相切.,分析：考查拋物線的過焦點(diǎn)的弦的性質(zhì).將拋物線的焦點(diǎn)弦的方程設(shè)出,代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理等解決問題.,(1)y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F ,設(shè)直線方程為y=k ,(k0).由消去x得ky2-2py-kp2=0y1y2=-p2,x1x2 .,當(dāng)k不存在時,直線方程為x= ,這時y1=p,y2=-p,則y1y2=-p2,x1x2= .因此,總有y1y2=-p2,x1x2= 成立.,(2)由拋物線定義:|AF|等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=- 的距離.|AF|=x1+ ,同理:|BF|=x2+ .|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.又y=kx=y+p2.x1+x2= (y1+y2)+p

6、由方程知:y1+y2= . x1+x2= +p將代入得|AB|= +2p=2p =2p =,(3)如圖,類型四:直線與拋物線的位置關(guān)系解題準(zhǔn)備:直線和拋物線的位置關(guān)系,可通過直線方程與拋物線方程組成的方程組實數(shù)解的個數(shù)來確定,同時注意過焦點(diǎn)的弦的一些性質(zhì),如:x1x2= ,y1y2=-p2,弦長l=x1+x2+p.,典例4 給定拋物線C:y2=4x,F是C的焦點(diǎn),過點(diǎn)F的直線l與C相交于AB兩點(diǎn).(1)設(shè)l的斜率為1,求 的夾角的大小;(2)設(shè) ,若 4,9,求l在y軸上截距的變化范圍.,解：(1)C的焦點(diǎn)為F(1,0),直線l的斜率為1,所以l的方程為y=x-1.將y=x-1代入方程y2=4

7、x,并整理得x2-6x+1=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1+x2=6,x1x2=1. =(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1=-3.,(2)由題設(shè) 得(x2-1,y2)=(1-x1,-y1),即由得y22=2y21,y21=4x1,y22=4x2,x2=2x1.聯(lián)立解得x2=,依題意有0.B(,2 ),或B(,-2 ),又F(1,0),得直線l方程為(-1)y=2 (x-1)或(-1)y=-2 (x-1),評析：本題主要考查拋物線的性質(zhì),直線與拋物線的關(guān)系以及解析幾何的基本方法思想和綜合解題能力.,探究二：直線l:y=kx+1,拋

8、物線C:y2=4x,當(dāng)k為何值時,l與 C:(1)有一個公共點(diǎn);(2)有兩個公共點(diǎn);(3)沒有公共點(diǎn).,分析：直線和拋物線公共點(diǎn)個數(shù)的判斷問題,可通過聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程,借助于方程的判別式作答.,將l和C的方程聯(lián)立,得 ,消去y,得k2x2+(2k-4)x+1=0.當(dāng)k=0時,方程只有一個解x= ,y=1.直線l與C只有一個公共點(diǎn)( ,1),此時直線l平行于x軸.當(dāng)k0時,方程是一個一元二次方程.當(dāng)0時,即k1時,l與C沒有公共點(diǎn),此時稱直線l與C相離.綜上所述,可知:當(dāng)k=1或k=0時,直線l與C有一個公共點(diǎn);當(dāng)k1時,直線l和C沒有公共點(diǎn).,評析：一般地,直線與拋物線相切,直線與

9、拋物線只有一個公共點(diǎn);反過來,直線與拋物線只有一個公共點(diǎn),則直線與拋物線不一定是相切的(如圖).因此直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要而非充分條件.,第三關(guān) 成熟關(guān),名 師 糾 錯,誤區(qū)一:對拋物線的定義理解不透而致錯,典例1 若動點(diǎn)M到定點(diǎn)F(1,0)的距離等于它到定直線l:x-1=0距離,則動點(diǎn)M的軌跡是( )A. 拋物線 B. 直線 C. 圓 D. 橢圓,錯解：由拋物線的定義知動點(diǎn)M的軌跡是拋物線,故選A.,剖析：拋物線的定義中隱含一個條件“定點(diǎn)F不在定直線l 上”.若“定點(diǎn)F在定直線l上”,那么動點(diǎn)的軌跡就不再是拋物 線,而是過定點(diǎn)F且與定直線l垂直的直線.,正解：因定

10、點(diǎn)F(1,0)在定直線l:x-1=0上,故動點(diǎn)M的軌跡是直線,應(yīng)選B.,誤區(qū)二:對拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程認(rèn)識不清而致誤典例2 拋物線y=8x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是( )A. (2,0) B. (0,2) C. (0, ) D. ( ,0),錯解：由2p=8,得 =2,所以拋物線的焦點(diǎn)是(2,0),故選A.,剖析：y=8x2不是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,應(yīng)該先把它化成標(biāo)準(zhǔn)方程x2= y,再求解.,正解：把y=8x2化成標(biāo)準(zhǔn)方程x2= y,則2p= ,得 = ,又因y是一次的且其系數(shù)為正數(shù),所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0, ),故應(yīng)選C.,誤區(qū)三:對問題考慮不全面而致錯,典例3過點(diǎn)M(1,-2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.,錯解：設(shè)拋

11、物線方程為y2=2px,把點(diǎn)M(1,-2)的坐標(biāo)代入得 2p=4,故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.,剖析：上面的解法漏掉了拋物線的焦點(diǎn)還可以在y軸的負(fù)半軸上的情形.,正解：當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸上時,設(shè)方程為y2=mx(m0),把點(diǎn)M(1,-2)的坐標(biāo)代入得m=4,故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x;當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y軸上時,設(shè)方程為x2=ny(n0),把點(diǎn)M(1,-2)的坐標(biāo)代入得n=- ,故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=- y,故應(yīng)填y2=4x和x2=- y.,誤區(qū)四:對直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)認(rèn)識不清,典例4 求過點(diǎn)(0,1)且與拋物線y2=2x只有一個公共點(diǎn)的直線l的方程.,錯解：設(shè)所求直線l的

12、方程為y=kx+1.由 ,消去y得:k2x2+(2k-2)x+1=0.因為拋物線與所求直線只有一個公共點(diǎn),所以=(2k-2)2-4k2=0.解得k= .故所求直線l的方程為y= x+1.,剖析：事實上,上述解法只考慮了直線l的斜率存在且不為0時解的情形,而忽視了k不存在以及直線l平行于拋物線對稱軸這兩種情形.,正解：(1)當(dāng)直線l的斜率為0時,則l:y=1,此時l平行于拋物線的對稱軸, 且與拋物線只有一個公共點(diǎn)( ,1).(2)當(dāng)直線l的斜率k0時,同錯解.(3)當(dāng)k不存在時,則l:x=0與拋物線y2=2x相切于點(diǎn)(0,0).綜上可知,所求直線l的方程為:y= x+1或y=1或x=0.,解 題

13、 策 略,1. 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)定義法:根據(jù)條件確定動點(diǎn)滿足的幾何特征,從而確定p的值,得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)待定系數(shù)法:根據(jù)條件設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,再確定焦參數(shù)p的值,這里要注意拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式.從簡單化角度出發(fā),焦點(diǎn)在x軸的,設(shè)為y2=ax(a0),焦點(diǎn)在y軸的,設(shè)為x2=by(b0).,2. 焦點(diǎn)弦問題和焦半徑(1)焦半徑:拋物線y2=2px(p0)上一點(diǎn)P(x0,y0)到焦點(diǎn)F( ,0)的距離為:|PF|=x0+ .(2)通徑:過焦點(diǎn)F( ,0)且與x軸垂直的弦PQ叫通徑,|PQ|=2p.(3)焦點(diǎn)弦的性質(zhì):過F( ,0)的弦AB所在直線的方程為y=k(x- )(k不存

14、在時為通徑).弦長:|AB|=x1+x2+p= (為弦AB的傾斜角); , ; ;以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.,3. 直線與拋物線的位置關(guān)系(1)設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0),直線Ax+By+C=0,將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去x得到關(guān)于y的方程my2+ny+q=0,若m0時,當(dāng)0時,直線與拋物線有兩個公共點(diǎn);當(dāng)=0時,直線與拋物線有一個公共點(diǎn).當(dāng)0時,直線與拋物線沒有公共點(diǎn).若m=0,直線與拋物線只有一個公共點(diǎn),此時直線與拋物線的對稱軸平行.,(2)解決中點(diǎn)弦問題,可用“點(diǎn)差法”:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則-即可構(gòu)造出x1+x2,x1-x2,y1+y2,y1-y2等

15、與中點(diǎn)的斜率有關(guān)的量.,快 速 解 題,典例 求證:過拋物線y2=2Px(P0)的焦點(diǎn)的所有弦中,垂直于對稱軸的弦最短.,解題切入點(diǎn)：過焦點(diǎn)的直線被拋物線所截,證明被截得的線段 長最小時,該直線垂直于對稱軸,必須寫出直線方程,才能求 出弦長.故由直線入手.,分析思維過程：因為直線過焦點(diǎn),故設(shè)直線的斜率為k.但其斜率不存在時,恰好此弦垂直于對稱軸,但并沒有與過焦點(diǎn)的其他弦比較.故可先求出該弦長,再考慮斜率存在時的弦長.,詳解：方法一:若過焦點(diǎn)的直線的斜率不存在.由y2=2Px知,焦點(diǎn)為F( ,0),則過點(diǎn)F( ,0)與對稱軸x軸垂直的直線方程為x= ,代入拋物線方程,易得弦長為2P.若過焦點(diǎn)F的

16、直線的斜率存在,設(shè)其為k.由題意知k0,則直線方程為y=k(x- ),代入y2=2Px,得ky2-2Py-kP2=0.,當(dāng)k時,弦長d有最小值2P,此時直線垂直于x軸.得證.,方法二:設(shè)過拋物線y2=2Px的焦點(diǎn)F( ,0)的弦的兩端點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),弦所在直線的方程為x=my+n,則n= .lAB:x=my+ ,代入y2=2Px,得y2-2Pmy-P2=0,y1,y2是此方程的兩個根,且x1=my1+ ,x2=my2+ .,y1+y2=2Pm,y1y2=-P2.(y2-y1)2=(y1+y2)2-4y1y2=4P2(m2+1)且(x2-x1)2=m2(y2-y1)2.

17、當(dāng)m=0時,弦AB所在直線方程為x= ,垂直于x軸.|AB|min=2P.,詳解的方法一是設(shè)直線方程為y=k(x- ),需考慮斜率k是否為0是否存在.方法二是設(shè)直線方程為x=my+ ,不考慮直線的斜率是否存在.可見,有關(guān)直線方程的題目,若直線的斜率不存在時也符合題意.設(shè)直線方程為x=my+n的形式較好.詳解中,把y=k(x- )代入y2=2Px消去y,則不如消去x容易做.快解法是直線方程的參數(shù)形式.若直線過定點(diǎn),求解或證明與定點(diǎn)有關(guān)的線段的問題,有時用直線的參數(shù)方程求解較簡捷.,得分主要步驟：將根與系數(shù)的關(guān)系代入弦長公式的運(yùn)算.易丟分原因：關(guān)于直線斜率不存在時的說明或討論.,教 師 備 選,拋

18、物線中過定點(diǎn)直線的性質(zhì)已知拋物線y2=2px(p0),過(2p,0)作直線交拋物線于兩點(diǎn),請寫出你所能得出的不同結(jié)論.,分析：設(shè)直線與拋物線交于AB兩點(diǎn),有以下結(jié)論:,結(jié)論1:OAOB.,結(jié)論2:以弦AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.,結(jié)論3:當(dāng)ABx軸時,SAOB最小.,設(shè)直線方程為my=x-2p,其中m= , my= -2p,所以y2-2pmy-4p2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則當(dāng)m=0,即ABx軸時,Smin=4p2.,結(jié)論4:過O點(diǎn)作OMAB,垂足為M,則M點(diǎn)必在某一圓周上.,證明：設(shè)P(2,0),當(dāng)AB不垂直于x軸時,OPM為直角三角形,M在以O(shè)P為直徑的圓周上,方程為(x-p)2+y2=p2.當(dāng)ABx軸時,M點(diǎn)與P點(diǎn)重合,滿足上述方程.所以,M點(diǎn)軌跡方程為(x-p)2+y2=p2(除(0,0)點(diǎn)外).,證明：結(jié)論1和結(jié)論3所對應(yīng)命題的逆命題也成立,不妨證明之.,思考：若將定點(diǎn)(2p,0)改為(p,0)或(3p,0)等等,則又會有一些什么樣的結(jié)論呢,課時作業(yè)五十九 拋物線,一選擇題1. (基礎(chǔ)