1、專題05解析幾何核心考點一直線與圓錐曲線的位置關系直線與圓錐曲線的位置關系是圓錐曲線中的重要問題,也是高考考查的熱點,研究此類一般要用到方程思想,常見類型為交點個數、切線、弦長、對稱等問題.【經典示例】在直角坐標系xOy中,直線l：yt(t0)交y軸于點M,交拋物線C：y22px(p0)于點P,M關于點P的對稱點為N,連接ON并延長交C于點H.(1)求；(2)除H以外,直線MH與C是否有其他公共點？說明理由答題模板解決直線與圓錐曲線的位置關系的一般步驟第一步,聯(lián)立方程,得關于x或y的一元二次方程；第二步,寫出根與系數的關系,并求出0時參數范圍(或指出直線過曲線內一點)；第三步,根據題目要求列出

2、關于x1x2,x1x2(或y1y2,y1y2)的關系式,求得結果；第四步,反思回顧,查看有無忽略特殊情況. 【滿分答案】(1)由已知得M(0,t),P,又N為M關于點P的對稱點,故N,ON的方程為yx,代入y22px整理得px22t2x0,解得x10,x2,因此H.所以N為OH的中點,即2.(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點,理由如下：直線MH的方程為ytx,即x(yt)代入y22px得y24ty4t20,解得y1y22t,即直線MH與C只有一個公共點,所以除H以外直線MH與C沒有其他公共點【解題技巧】1.將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,消去一個變量得到關于x(或y)的一元方程：ax2bx

3、c0(或ay2byc0)若a0,可考慮一元二次方程的判別式,有0直線與圓錐曲線相交；0直線與圓錐曲線相切；0.y1y2,y1y2.|AB|.將代入上式得|AB|,|m|1,SAOB|AB|11,當且僅當|m|,即m時,等號成立(SAOB)max1.核心考點二圓錐曲線中的定點、定值問題以直線與圓錐曲線為載體,結合其他條件探究直線或曲線過定點,或與動點有關的定值問題,一般常出現在解答題第二問中,難度多為中等.【經典示例】已知橢圓1(a0,b0)過點(0,1),其長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數列直線l與x軸正半軸和y軸分別交于點Q、P,與橢圓分別交于點M、N,各點均不重合且滿足1,2.(1)

4、求橢圓的標準方程；(2)若123,試證明：直線l過定點并求此定點答題模板證明直線過定點的步驟：第一步,設出直線方程為(或)；.第二步,證明 (或)；.第三步,確定直線過點 (或).【滿分答案】(1)設橢圓的焦距為2c,由題意知b1,且(2a)2(2b)22(2c)2,又a2b2c2,a23.橢圓的方程為y21.(2)證明由題意設P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),設l方程為xt(ym),由1知(x1,y1m)1(x0x1,y1),y1my11,由題意y10,11.同理由2知21.123,y1y2m(y1y2)0,聯(lián)立得(t23)y22mt2yt2m230,由題意知

5、4m2t44(t23)(t2m23)0,且有y1y2,y1y2,代入得t2m232m2t20,(mt)21,由題意mt0,x1x24k,x1x24m,所以AB中點M的坐標為(2k,2k2m)由3,得(x0,1y0)3(2k,2k2m1),所以由x4y0得k2m,由0,k20,得f.所以當m時,f(m)取到最大值,此時k.所以ABP面積的最大值為.【解題技巧】1.解決圓錐曲線中的取值范圍問題應考慮的五個方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系,從而確定參數的取值范圍；(2)利用已知參數的范圍,求新參數的范圍,解這類問題的核心是建立兩個參數之間的等量關系；(3)利用隱含的不等關系建立不

6、等式,從而求出參數的取值范圍；(4)利用已知的不等關系構造不等式,從而求出參數的取值范圍；(5)利用求函數的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數,求其值域,從而確定參數的取值范圍2.處理圓錐曲線最值問題的求解方法圓錐曲線中的最值問題類型較多,解法靈活多變,但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法,即通過利用曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等進行求解；二是利用代數法,即把要求最值的幾何量或代數表達式表示為某個(些)參數的函數(解析式),然后利用函數方法、不等式方法等進行求解模擬訓練3已知橢圓M：1(a0)的一個焦點為F(1,0),左、右頂點分別為A,B.經過點F的直線l與橢圓M交于

7、C,D兩點(1)當直線l的傾斜角為45時,求線段CD的長；(2)記ABD與ABC的面積分別為S1和S2,求|S1S2|的最大值消去y,得7x28x80,設C(x1,y1),D(x2,y2),288,x1x2,x1x2,所以|CD|x1x2|.(2)當直線l的斜率不存在時,直線方程為x1,此時ABD與ABC面積相等,|S1S2|0；當直線l的斜率存在時,設直線方程為yk(x1)(k0),聯(lián)立方程,得消去y,得(34k2)x28k2x4k2120,0,且x1x2,x1x2,此時|S1S2|2|y2|y1|2|y2y1|2|k(x21)k(x11)|2|k(x2x1)2k|,因為k0,上式當且僅當k

8、時等號成立,所以|S1S2|的最大值為.核心考點四軌跡問題軌跡問題一般出現在解答題的第一問,難度中等或中等以下,求解軌跡問題關鍵是建立關于x,y的等式,求解過程中要注意變形的等價性,同時需注意軌跡的完備性.【經典示例】如圖所示,拋物線C1：x24y,C2：x22py(p0)點M(x0,y0)在拋物線C2上,過M作C1的切線,切點為A,B(M為原點O時,A,B重合于O)當x01時,切線MA的斜率為.(1)求p的值；(2)當M在C2上運動時,求線段AB中點N的軌跡方程(A,B重合于O時,中點為O)答題模板“相關點法”的基本步驟利用向量求空間角的步驟第一步,設點：設被動點坐標為(x,y),主動點坐標

9、為(x1,y1)；第二步,求關系式：求出兩個動點坐標之間的關系式；第三步,代換：將上述關系式代入已知曲線方程,便可得到所求動點的軌跡方程第四步,反思回顧查看關鍵點、易錯點和答題規(guī)范【滿分答案】(1)因為拋物線C1：x24y上任意一點(x,y)的切線斜率為y,且切線MA的斜率為,所以點A的坐標為(1,),故切線MA的方程為y(x1).因為點M(1,y0)在切線MA及拋物線C2上,所以y0(2),y0.由得p2.(2)設N(x,y),A(x1,),B(x2,),x1x2.由N為線段AB的中點,知x,y.所以切線MA,MB的方程分別為y(xx1),y(xx2).由得MA,MB的交點M(x0,y0)的

10、坐標為x0,y0.因為點M(x0,y0)在C2上,即x4y0,所以x1x2.由得x2y,x0.當x1x2時,A,B重合于原點O,AB的中點N為點O,坐標滿足x2y.因此AB的中點N的軌跡方程是x2y.【解題技巧】1.直接法求曲線方程時最關鍵的就是把幾何條件或等量關系翻譯為代數方程,要注意翻譯的等價性通常將步驟簡記為建系設點、列式、代換、化簡、證明這五個步驟,但最后的證明可以省略,如果給出了直角坐標系則可省去建系這一步,求出曲線的方程后還需注意檢驗方程的純粹性和完備性2.應用定義法求軌跡方程的關鍵在于由已知條件推出關于動點的等量關系式,由等量關系結合曲線定義判斷是何種曲線,再設出標準方程,用待定系數法求解模擬訓練4如圖,已知圓E：(x)2y216,點F(,0),P是圓E上任意一點,線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于點Q.(1)求動點Q的軌跡的方程；(2)設直線l與(1)中軌跡相交于A,B兩點,直線OA,l,OB的斜率分別為k1,k,k2(其中k0),OAB的面積為S,以OA,OB為直徑的圓的面積分別為S1,S2,若k1,k,k2恰好構成等比數列,求的取值范圍【解析】(1)連接QF,根據題意,|QP|QF|,則|QE|QF|QE|QP|4|EF|2,故動點Q的軌跡是以E,F為焦點,長軸長為4的橢圓設其方程為1(ab0),可知a2,c,則b1,點Q的軌跡的