1、1,12 能量法,2,12 能量法,12.1 應(yīng)變能與余能,12.2 卡氏定理,12.3 最小勢能原理,12.4 瑞利-里茲法,3,12.1 應(yīng)變能與余能,一、應(yīng)變能,(a) 軸向拉（壓）桿,1. 線彈性體,（1） 基本變形形式,利用應(yīng)變能 在數(shù)值上等于外力功W，可得,4,(b) 扭轉(zhuǎn),12.1 應(yīng)變能與余能,5,(c) 彎曲,純彎曲,橫力彎曲,12.1 應(yīng)變能與余能,6,可以把應(yīng)變能統(tǒng)一寫成,式中，P為廣義力，可以代表一個力,一個力偶,一對力或一 對力偶等。D為廣義位移，可以代表一個線位移,一個角位移,一對線位移或一對角位移等。,12.1 應(yīng)變能與余能,7,（2） 組合變形（用內(nèi)力形式表示的

2、應(yīng)變能）,M(x) 只產(chǎn)生彎曲轉(zhuǎn)角,小變形時不計FQ 產(chǎn)生的應(yīng)變能，,N (x) 只產(chǎn)生軸向線位移,M t(x) 只產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)角,12.1 應(yīng)變能與余能,8,對于dx 微段， N(x) , Mt(x) , M(x) 均為外力。略去高階微量后，dx段的應(yīng)變能為,桿的應(yīng)變能為,12.1 應(yīng)變能與余能,9,因為是彈性體，所以應(yīng)變能在數(shù)值上仍等于外力功，即 ，但必須注意 以及 的非線性關(guān)系，不能再用線彈性體的公式計算外力功。,（1） 軸向拉伸與壓縮,2. 非線性彈性體,應(yīng)變能為,應(yīng)變能密度為,12.1 應(yīng)變能與余能,10, 以上兩式中，分別是以D和e 為自變量， ， 。所以 為位移狀態(tài)的函數(shù)。, 因為

3、， 為非線性關(guān)系，上兩式積分后得不 到1/2的系數(shù)，只能根據(jù) 或 的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行積分。,應(yīng)變能密度,式中， 為扭轉(zhuǎn)力偶矩， 為扭轉(zhuǎn)角， 為扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力， 為 切應(yīng)變。,注意：,（2） 扭轉(zhuǎn),應(yīng)變能,12.1 應(yīng)變能與余能,11,式中， 為外力偶矩， 為彎曲轉(zhuǎn)角， 為正應(yīng)力， 為線應(yīng)變。,應(yīng)變能密度,應(yīng)變能和應(yīng)變能密度之間的關(guān)系為,式中，V 為體積。,（3） 梁,應(yīng)變能,12.1 應(yīng)變能與余能,12,二、余能,圖 a為非線性體彈性體的受拉桿，其P D和se關(guān)系如圖b,c 所示。,（1）余功的定義為,12.1 應(yīng)變能與余能,13,其大小為曲面OP1a的面積如圖d所示。Wc 和外力功W 具有相同的量綱

4、，且Wc 為矩形OP1aD1 的面積與曲面OaD1 的面積（W）之差（圖d）,故稱Wc 為余功。Wc只有幾何圖形上的意義，無物理概念，即沒有什么力作的功為Wc 。,12.1 應(yīng)變能與余能,14,由上述，D= f (P ),e =f (s )。所以Vc= f (P ) 為受力狀態(tài)的函數(shù)。,（3）線彈性體（圖e）,U和 Uc 數(shù)值相等，但概念和計算方法不同，即 U= f (D) , Uc = f (P )。,（2）余能,12.1 應(yīng)變能與余能,15,B,D,例1 已知兩桿的長度均為l、橫截面面積均為A、材料單軸拉伸時的 -曲線如圖所示。 求：荷載 P1作用下的余能 Uc,12.1 應(yīng)變能與余能,1

5、6,B,D,1,P,解：本題已知材料應(yīng)力應(yīng)變間的關(guān)系，故先求單位體積的余能。,12.1 應(yīng)變能與余能,17,由于軸向拉伸桿內(nèi)各點的應(yīng)力狀態(tài)相同，因此,B,D,1,P,12.1 應(yīng)變能與余能,18,12.2 卡氏定理,圖示梁的材料為非線性彈性體，Pi 為廣義力，di為廣義位移。各力同時作用在梁上，并按同一比例由零逐漸增加到最終值（簡單加載）。,各力在其相應(yīng)的位移上做功,并注意到材料為非線性彈性體，梁的應(yīng)變能為,為位移狀態(tài)函數(shù)。,1. 卡氏第一定理,19,假設(shè)與第 i個荷載Pi相應(yīng)的位移di有一微小位移增量ddi， 而與其余荷載相應(yīng)的位移,以及各荷載均保持不變。外力功和 應(yīng)變能的增量分別為,（ d

6、di不是由Pi產(chǎn)生的， Pi ddi為常力做的功 ）,（a）,(b),式中， 為應(yīng)變能對位移 的變化率。,12.2 卡氏定理,20,上式為卡氏第一定理。它說明，彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，對 于結(jié)構(gòu)上與某一荷載相應(yīng)的位移之變化率，等于該荷載的值。以上推導(dǎo)中并沒有涉及到梁的具體性質(zhì)，故卡氏第一定理適用于一切受力狀態(tài)的彈性體。對于線彈性體也必須把U寫成給定位移的函數(shù)形式。,令,12.2 卡氏定理,則,21,2. 卡氏第二定理,圖示為非線性彈性桿，Pi為廣義力，di為廣義位移。各力按簡單加載方式作用在梁上。,梁的余能為,表明,(1) 余能定理,12.2 卡氏定理,22,令,上式稱為余能定理?？捎糜谇蠼夥蔷€性彈

7、性結(jié)構(gòu)與Pi相應(yīng)的位移。,設(shè)第 i個力Pi有一個增量dPi，其余各力均保持不變，各位移均不變。余功和余能的改變量分別是,12.2 卡氏定理,23,(2) 卡氏第一定理和余能定理的比較,didi+ddi，其他位移均不變，所有的力均不變。,PiPi+dPi，其他力均不變，所有的位移均不變。,12.2 卡氏定理,24,續(xù)表,(平衡方程),（變形的幾何關(guān)系）,12.2 卡氏定理,25,(3) 卡氏第二定理,當(dāng)結(jié)構(gòu)為線彈性體時，由于力P和位移d成正比，Uc在數(shù)值上等于應(yīng)變能U（如圖）。若把 用力表示，即,余能定理可以寫成,上式稱為卡氏第二定理，它是余能定理在線彈性情況下的特殊情況。僅適用于線彈性體，它將

8、是研究的重點。,12.2 卡氏定理,26,它表明，線彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，對于作用其上的某一荷載的變化率，等于與該荷載相應(yīng)的位移。,注意:,組合變形（不計剪力的影響）時,也可以寫成,用該式計算時，可減少計算工作量。,12.2 卡氏定理,27,例2 圖a所示為一等截面開口圓環(huán)，彎曲剛度為EI，材料為線彈性。用卡氏第二定理求圓環(huán)開口處的張開量d。不計剪力和軸力的影響。,12.2 卡氏定理,28,圓環(huán)開口處的張量就是和兩個F力相對應(yīng)的相對線位移，即,（）,用 角表示圓環(huán)橫截面的位置，并規(guī)定使圓環(huán)內(nèi)側(cè)受拉時彎矩為正，則彎矩方程及其對P 的偏導(dǎo)數(shù)分別為,解：,，,12.2 卡氏定理,29,結(jié)果為正，表示廣義

9、位移方向和廣義力的指向一致。,利用對稱性，由卡氏第二定理，得,12.2 卡氏定理,30,例3 三桿的材料相同，s = Ke1/n( n 1) ，橫截面面積均為A，1, 2兩桿長度為 l。用余能定理求各桿的軸力。,12.2 卡氏定理,31,解：以鉸鏈 D 的支反力X 為多余未知力，基本靜定系如圖b 所示，F(xiàn)，X 看作基本靜定系上獨立的外力，,所以 Uc = Uc (P,X ) （不能含有其它未知力）,因為鉸鏈 D 處沿鉛垂方向的位移為零，應(yīng)有,由該式求出X 后，再利用平衡方程求各桿的軸力。,12.2 卡氏定理,32,(1),（軸力均用P和 X 表示）,由平衡方程得各桿的軸力分別為,各桿的應(yīng)力分別

10、為,(2),(3),由 得,12.2 卡氏定理,33,結(jié)構(gòu)的余能為,(4),三桿的余能密度分別為,12.2 卡氏定理,34,（4）式包含了平衡方程和物理方程，而 ，表示變形的幾何關(guān)系。,由 ，得,將X 值代入（1），得,以力為基本未知量解超靜定問題的方法，稱為力法。,12.2 卡氏定理,35,例4 剛架各桿的彎曲剛度均為EI，不計剪力和軸力對位移的影響，用卡氏第二定理求支反力。,12.2 卡氏定理,36,解：該題為一次超靜定。以鉸鏈C的鉛垂支反力X 為多 余未知力，基本靜定系如圖b 所示。由于 ,但是在 中，出現(xiàn) (U也將出現(xiàn) )，必須把,用 q , X 表示。,由 ，得,12.2 卡氏定理,

11、37,CB, AB段的彎矩方程及其對X 的偏導(dǎo)數(shù)分別為,，,由 ，得,12.2 卡氏定理,38,解得 （）和圖示方向相反。,（）,（）,（）,由平衡條件得,12.2 卡氏定理,39,例5 半圓環(huán)的彎曲剛度為EI，不計剪力和軸力對位移的影響，用卡氏第二定理求對稱截面上的內(nèi)力。,12.2 卡氏定理,40,解：沿半圓環(huán)的對稱截面處截開，取兩個1/4圓環(huán)為基本靜定系（圖b)，多余未知力為軸力X1, 彎矩X2, 剪力X3。該題為三次超靜定。,(a),但由于結(jié)構(gòu)與荷載均是對稱的，內(nèi)力也應(yīng)該是對稱的，但X3是反對稱的，故X30，問題簡化為二次超靜定。半圓環(huán)的應(yīng)變能只能為P，X1，X2的函數(shù)，即,12.2 卡

12、氏定理,41,與X1，X2 相應(yīng)的位移條件分別為兩截面的相對線位移和相對角位移為零，即,(b),彎矩方程及其對X1，X2的偏導(dǎo)數(shù)分別為,12.2 卡氏定理,42,注意到基本靜定系為兩個1/4圓環(huán)，(b)式成為,(d),(e),將 (c) 式代入 (d) 和 (e) 式，可解得,12.2 卡氏定理,43,12.3 最小勢能原理,1.勢能,取結(jié)構(gòu)在未受力時的狀態(tài)作為參考狀態(tài)，勢能為,U拉桿變形過程中所積蓄的應(yīng)變能；,拉桿受力后的變形。,勢能的一般表達(dá)式：,這一表達(dá)式適用于任何彈性結(jié)構(gòu)， 為廣義力， 為相應(yīng)的廣義位移。,44,2.最小勢能原理,當(dāng)任一位移有一個微小增量時，忽略高階微量，勢能的改變量為

13、,由卡氏第一定理 得，,上式是表示結(jié)構(gòu)平衡的充分必要條件，且適用于一切彈性結(jié)構(gòu)。,駐值原理,12.3 最小勢能原理,45,結(jié)構(gòu)平衡形態(tài)的穩(wěn)定性可由下述規(guī)則判斷：,取最小值，穩(wěn)定的平衡；,取最大值，中穩(wěn)定的平衡；,取恒定值，中性的或臨界的平衡。,對于穩(wěn)定平衡的彈性結(jié)構(gòu)，,最小勢能原理,等價于平衡條件，適用于一切彈性結(jié)構(gòu)。,12.3 最小勢能原理,46,12.3 最小勢能原理,例6 如圖所示超靜定桿系中，三桿材料相同且橫截面面積均為A，材料為線彈性，彈性模量為E，試求各桿應(yīng)力。,解：由于對稱性，E點只有鉛垂位移，設(shè)為D。,3桿的應(yīng)變?yōu)?其比能為,3桿的應(yīng)變能為,47,12.3 最小勢能原理,1、2

14、桿的應(yīng)變?yōu)?其比能為,其應(yīng)變能為,該桿系結(jié)構(gòu)的總應(yīng)變能為,48,結(jié)構(gòu)的勢能為,由最小勢能原理,三桿應(yīng)力分別為,12.3 最小勢能原理,49,12.4 瑞利-里茲法,瑞利-里茲法主要思路：,（1）用假設(shè)的變形形狀近似表示變形的真實形狀；,（2）用形狀函數(shù)表示假設(shè)的變形形狀，形狀函數(shù)含有一個或多個不定的位移參數(shù)；,（3）將勢能表示成上述位移參數(shù)的函數(shù)；,（4）根據(jù)勢能駐值原理，令勢能對每一位移參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為零，得到一組以未知的位移參數(shù)表示的聯(lián)立方程組；,（5）求解方程組，得出各個位移參數(shù)，所假設(shè)的變形形狀即可得到；,（6）求出內(nèi)力。,50,例7 試確定如圖所示階梯狀梁中央處撓度的近似值。,解：取形

15、狀函數(shù)為,由邊界條件：,于是,由對稱性條件：,12.4 瑞利-里茲法,51,全梁的彎曲應(yīng)變能為,將 代入：,該梁總勢能為,12.4 瑞利-里茲法,52,應(yīng)用最小勢能原理，得,求得,12.4 瑞利-里茲法,53,例8 試用瑞利-里茲法計算如圖所示兩端簡支階梯狀壓桿的臨界壓力。已知材料的彈性模量為E。,解：在臨界壓力Pcr作用下，壓桿可在微彎狀態(tài)下維持中性平衡或臨界平衡。根據(jù)邊界條件，可用下式的單參數(shù)函數(shù)作為其撓曲線近似方程,為桿中點的撓度。,由邊界條件：,由對稱性條件：,12.4 瑞利-里茲法,54,由于桿的微彎，在其上端有豎向位移 。 為了求 ，在撓曲線上取一微段ds，它與 其在x軸上投影dx之差為,又,12.4 瑞利-里茲法,55,從而荷載所做的功為,壓桿的應(yīng)變能為,12.4 瑞利-里茲法,56,壓桿的總勢能為,壓桿在臨界壓力作用下，處于中性平衡狀態(tài)，由勢能駐值原理有,解得,12.4 瑞利-里茲法,57,小結(jié),1. 卡氏第一定理、最小勢能原理（勢能駐值原理）從原理上講代表結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)平衡條件，卡氏第一定理要求將應(yīng)變能表示成位移的函數(shù)，最小勢能原理（勢能駐值原理）要求將勢能中的應(yīng)變能表示成位移的函數(shù)，而總勢能則表示成為位移和荷載的函數(shù)。該兩原理適用于一切彈性結(jié)構(gòu)（在線彈性和非線彈性結(jié)構(gòu)中應(yīng)變能的計算不同）。瑞利-里茲法則是應(yīng)用最小勢能原理的近似方法。,58,2.卡