1、,第四章,氣體動理論,由于熱力學(xué)方法的局限性，我們對平衡態(tài)下系統(tǒng)內(nèi)部的情況不了解，從而對溫度和理想 氣體的理解也很膚淺，對氣體的壓強更是一無所知，因此，為了全面了解平衡態(tài)下的基本熱學(xué)信息，我們必須用分子物理學(xué)的方法從微觀本質(zhì)上加以認識。,氣體動理論是統(tǒng)計物理學(xué)的基礎(chǔ)； 氣體動理論是從微觀的觀點來研究氣體的熱學(xué)性質(zhì)； 解釋氣體的溫度、壓強、熱容、內(nèi)能等的微觀本質(zhì)； 建立統(tǒng)計的概念。,4.1 分子動理論的基本觀點4.2 分子力4.3 理想氣體的壓強4.4 溫度的微觀實質(zhì)4.5 氣體分子按速率分布的實驗 及速率分布的數(shù)學(xué)表述4.6 麥克斯韋速率分布律4.7* 麥克斯韋速度分布4.8 玻爾茲曼分布律

2、重力場中微粒按高度的分布4.9 能量按自由度均分定理4.10 理想氣體的內(nèi)能和摩爾熱容4.11 氣體動理論與熱力學(xué)定律,第四章 氣體動理論,4-1 分子動理論的基本觀點,一、物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)的物理圖象 1、物質(zhì)是由大量的微觀粒子原子或分子組成的； 2、分子在作永不停息的無規(guī)則運動； 3、分子之間有相互作用力。 綜上所述，一切宏觀物體（不論它是氣體、液體、還是固體）都是由大量的原子或分子組成的；所有分子都在不停的、無規(guī)則運動中；分子之間有相互作用力。這就是關(guān)于物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)的三個基本觀點。,二、統(tǒng)計規(guī)律性,伽爾頓板實驗,對于由大量分子組成的熱力學(xué)系統(tǒng)從微觀上加以研究時，必須用統(tǒng)計的方法。,小球在伽爾頓

3、板中的分布規(guī)律 .,1、統(tǒng)計規(guī)律與漲落現(xiàn)象,從入口投入小球,與釘碰撞,落入狹槽,為清楚起見 , 從正面來觀察。,( 偶然 ),隔板,鐵釘,統(tǒng)計規(guī)律和方法 伽爾頓板,大量偶然事件整體所遵循的規(guī)律 統(tǒng)計規(guī)律。,再投入小球：,經(jīng)一定段時間后 , 大量小球落入狹槽。,分布情況：,中間多，兩邊少。,重復(fù)幾次 ，結(jié)果相似。,單個小球運動是隨機的 ,大量小球運動分布是確定的。,統(tǒng)計規(guī)律和方法 伽爾頓板,小球數(shù)按空間 位置 分布曲線,若板中各釘子是等距離配置的，則其分布曲線是對稱的，如下圖所示。,重復(fù)實驗N次, （ N ），其分布曲線都相同。 由此可見，雖然各小球在與任一釘子碰撞后向左還是向右運動都是隨機的，

4、由很多偶然因素決定，但最終大量小球的總體在各槽內(nèi)的分布卻有一定的分布規(guī)律，這種規(guī)律由統(tǒng)計相關(guān)性所決定。,統(tǒng)計規(guī)律性是支配大量個別偶然事件的整體行為的規(guī)律性。,特點： 1、只對大量個別偶然事件的總體起作用； 2、個別偶然事件越多越明顯； 3、存在著漲落現(xiàn)象。 *漲落現(xiàn)象：就是實際觀測量與按統(tǒng)計規(guī)律求出的平均量之間出現(xiàn)偏離的現(xiàn)象。,2、隨機事件的概率和統(tǒng)計平均值,隨機現(xiàn)象：在某種條件下某一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象。 隨機事件：隨機現(xiàn)象可能出現(xiàn)的每一種結(jié)果。 隨機事件的概率：該事件出現(xiàn)的次數(shù) 與實驗總次數(shù) 之比當 的極限值。即：,概率相加法則： 概率相乘法則： 概率的歸一性：,（1）概率的運算

5、的基本法則與歸一性,（3）平均值及其運算法則 （a）平均值 統(tǒng)計分布的最直接的應(yīng)用是求平均值。 以求平均年齡為例，N 個人的年齡平均值就是 N 個人的年齡之和除以總?cè)藬?shù) N。 求年齡之和可以將人按年齡分組，設(shè) 為隨機變量（例如年齡），其中出現(xiàn)（年齡）值 的次（或人）數(shù)為 ， 值的次（或人）數(shù)為 ，則該隨機變量（年齡）的平均值為,因為 是出現(xiàn) 值的百分比，當N 時該百分比就是出現(xiàn) 值的概率 ，故 這兩個式的不同是，上式是通過隨機變量的和（即求和式）來求平均值的，而下式是利用概率分布來求平均值的。,（b）平均值運算法則 若f(u)和g(u)是同一隨機變量的兩個函數(shù)，則 若f(u)是隨機變量u的函數(shù)

6、，而c與該隨機變量無關(guān)，則 若兩隨機變量u、v彼此獨立， f(u)與g(v)分別是這兩隨機變量的函數(shù)，則,4-2 分子力,一、分子力的性質(zhì) 分子力從本質(zhì)上來說就是靜電力。 1、極性分子：靜電力（萬有引力和磁力很?。?2、非極性分子：每一瞬時都是極化的靜電力,二、分子力的半經(jīng)驗公式及其圖線 1、分子力的半經(jīng)驗公式： 引力： 斥力：,2、圖線 （fr圖線）,三、分子間的勢能曲線（Epr圖線） 1、分子間的勢能：,2、Epr圖線及分析,用勢能曲線說明兩個分子的相互碰撞過程,四、三種典型模型的建立 1、無引力的彈性質(zhì)點模型,2、無引力的彈性剛球模型,3、有引力的剛球模型蘇則朗模型,一、理想氣體微觀模型

7、,1、分子本身線度比起分子間距小得多而可忽略不計；,Loschmidt常數(shù)：,標準狀態(tài)下分子間平均距離:,4-3 理想氣體的壓強,氮分子半徑,2、除碰撞一瞬間外，分子間互作用力可忽略不計； 分子在兩次碰撞之間作自由的勻速直線運動；,3、處于平衡態(tài)的理想氣體，分子之間及分子與器壁間的碰撞是完全彈性碰撞。,理想氣體是大量不停地、無規(guī)則地運動著的、無引力（假定的第二條）的彈性（第三條）質(zhì)點（第一條）的集合。,理想氣體的微觀模型（Epr圖） 無引力的彈性質(zhì)點,二、氣體壓強本質(zhì)的定性解釋,氣體壓強是一個宏觀量，從微觀上講是大量氣體分子對器壁不斷碰撞的結(jié)果。,氣體壓強的微觀解釋,在容器內(nèi)作無規(guī)則熱運動的氣

8、體分子，不斷與器壁相碰，就某一氣體分子而言，他碰撞器壁是斷續(xù)的，但大量分子頻繁碰撞器壁的綜合作用，在宏觀上就表現(xiàn)為對器壁施加持續(xù)衡定的壓力，其大小等于單位時間內(nèi)大量氣體分子給與器壁的平均沖量。 舉例：下雨天打傘，手握傘把感受到雨水的壓力。,三、理想氣體的壓強公式,1、推到壓強公式的統(tǒng)計假設(shè)（平衡態(tài)）： （1） 沿各方向運動的分子數(shù)相等； （2） 分子三個速度分量的各種統(tǒng)計平均值相等； （3） 分子碰撞器壁前動量不變； （4） 分子碰撞器壁時入射角等于反射角。,2、理想氣體壓強公式的推導(dǎo),設(shè) 邊長分別為 x、y 及 z 的長方體中有 N 個全同的質(zhì)量為 m 的氣體分子，計算 壁面所受壓強 .,單

9、個分子對器壁碰撞特性 : 偶然性 、不連續(xù)性.,大量分子對器壁碰撞的總效果 ： 恒定的、持續(xù)的力的作用 .,熱動平衡的統(tǒng)計規(guī)律 （ 平衡態(tài) ）,1）分子按位置的分布是均勻的,2）分子各方向運動概率均等,分子運動速度,各方向運動概率均等,方向速度平方的平均值,各方向運動概率均等,單個分子遵循力學(xué)規(guī)律,x方向動量變化,分子施于器壁的沖量,兩次碰撞間隔時間,單位時間碰撞次數(shù),單個分子單位時間施于器壁的沖量,單個分子單位時間施于器壁的沖量,大量分子總效應(yīng),單位時間 N 個粒子對器壁總沖量,器壁 所受平均沖力,器壁 所受平均沖力,氣體壓強,統(tǒng)計規(guī)律,分子平均平動動能,分子平均平動動能,壓強是大量分子對時

10、間、對面積的統(tǒng)計平均結(jié)果 .,玻爾茲曼常數(shù),分子平均平動動能,4.4 溫度的微觀解釋 一、溫度公式,3）在同一溫度下，各種氣體分子平均平動動能均相等。,熱運動與宏觀運動的區(qū)別：溫度所反映的是分子的無規(guī)則運動，它和物體的整體運動無關(guān)，物體的整體運動是其中所有分子的一種有規(guī)則運動的表現(xiàn).,1） 溫度是分子平均平動動能的量度 （反映熱運動的劇烈程度）.,2）溫度是大量分子的集體表現(xiàn)，個別分子無意義.,二、氣體動理論基本公式的驗證 1、阿伏伽德羅定律,標準狀態(tài)下,2、道耳頓分壓定律 設(shè)有幾種不同的氣體，混合地貯在同一容器中，它們的溫度相同。因此,（A）溫度相同、壓強相同。 （B）溫度、壓強都不同。 （

11、C）溫度相同，但氦氣的壓強大于氮氣的壓強. （D）溫度相同，但氦氣的壓強小于氮氣的壓強.,解,一瓶氦氣和一瓶氮氣密度相同，分子平均平動動能相同，而且它們都處于平衡狀態(tài)，則它們,例 理想氣體體積為 V ，壓強為 p ，溫度為 T ,一個分子 的質(zhì)量為 m ，k 為玻爾茲曼常量，R 為摩爾氣體常量，則該理想氣體的分子數(shù)為：,（A） （B） （C） （D）,解,4.5 氣體分子按速率分布的實驗測定及速率分布的數(shù)學(xué)表述,小孔充分小，改變，測D上的沉積厚度，就可測氣體速率分布,二、實驗的一般結(jié)果,速率分布的一般特點： 1、分子數(shù)在總分子數(shù)中所占的比率(N/N)與速率(v)及所取速率間隔(v)的大小有關(guān)；

12、 2、速率特別大或特別小的分子數(shù)的比率都比較小； 3、在某一速率間隔中的分子數(shù)的比率最大； 4、改變氣體的溫度或氣體的種類再作實驗時發(fā)現(xiàn)，以上分布情況隨氣體溫度及氣體種類的不同而有差異，但都具有上述特點。,三、速率分布函數(shù)和分布曲線,：分子總數(shù),為速率在 區(qū)間的分子數(shù).,表示速率在 區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比 .,分布函數(shù),表示速率在 區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比 .,歸一化條件,速率位于 內(nèi)分子數(shù),速率位于 區(qū)間的分子數(shù),速率位于 區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比,4.6麥克斯韋速率分布律,一、麥克斯韋速率分布律 1、定義：當氣體處于平衡態(tài)時，分布在任一速率間隔vv+dv內(nèi)的分子數(shù)的比率為 這個

13、結(jié)論，稱為麥克斯韋速率分布律。 由此可得出分布函數(shù)的具體形式為：,2、由麥克斯韋速率分布函數(shù)的可以看出以下幾點：,（3）分布函數(shù)f(v)存在一個極大值，即稱為最慨然速率。,二、三種統(tǒng)計速率,1、最概然速率,根據(jù)分布函數(shù)求得,由于vp與氣體溫度T和氣體分子質(zhì)量m有關(guān)，故分布曲線隨溫度和氣體種類的不同而不同。,2、平均速率,3、方均根速率,三種速率的比較,三種速率統(tǒng)計值有不同的應(yīng)用：,在討論速率分布時，要用到最概然速率；在計算分子運動的平均距離時，要用到平均速率；在計算分子的平均平動動能時，要用到方均根速率。,麥克斯韋速率分布中最概然速率 的概念 下面哪種表述正確？ （A） 是氣體分子中大部分分子

14、所具有的速率. （B） 是速率最大的速度值. （C） 是麥克斯韋速率分布函數(shù)的最大值. （D） 速率大小與最概然速率相近的氣體分子的比 率最大.,例 計算在 時，氫氣和氧氣分子的方均根速率 .,氫氣分子,氧氣分子,1）,2）,例 已知分子數(shù) ，分子質(zhì)量 ，分布函數(shù) 求 1） 速率在 間的分子數(shù)； 2）速率 在 間所有分子動能之和 .,速率在 間的分子數(shù),例 如圖示兩條 曲線分別表示氫氣和氧氣在同一溫度下的麥克斯韋速率分布曲線， 從圖上數(shù)據(jù)求出氫氣和氧氣的最可幾速率 .,說明下列各量的物理意義：,？,思考題,( n為分子數(shù)密度),解：, 分布在速率 v 附近 v v + dv 速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)

15、占總分子數(shù)的比率。, 分布在速率 v 附近 v v + dv 速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。, 單位體積內(nèi)分子速率分布在速率 v 附近 v v + dv 速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。, 分布在有限速率區(qū)間v1 v2 內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。, 分布在有限速率區(qū)間 v1 v2 內(nèi)的分子數(shù)。, 分布在 0 速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。（ 歸一化條件）, v2 的平均值。,有N 個粒子，其速率分布函數(shù)為,(1) 作速率分布曲線并求常數(shù) a (2) 速率大于v0 和速率小于v0 的粒子數(shù),解,例1,求,(1) 由歸一化條件得,(2) 因為速率分布曲線下的面積代表一定速率區(qū)間內(nèi)的分子與總分子數(shù)的比率，所以,因

16、此， vv0 的分子數(shù)為 ( 2N/3 ),同理 vv0 的分子數(shù)為 ( N/3 ),的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率為,根據(jù)麥克斯韋速率分布律，試求速率 倒數(shù)的平均值,根據(jù)平均值的定義，速率倒數(shù)的平均值為,解,例2,根據(jù)麥克斯韋速率分布率，試證明速率在最概然速率vpvp+v 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與溫度 成反比( 設(shè)v 很小),將最概然速率代入麥克斯韋速率分布定律中，有,例3,證,例4.試計算27下的氧氣分子的三種速率.,解:,Mmol=0.032kg/mol,T=273+27=300K,可見在相同溫度下:,例題5.有N個粒子，其速率分布函數(shù)為:,1、作速率分布曲線。 2、由N和vo求常數(shù)C。 3、求粒子的

17、平均速率。 4、求粒子的方均根速率。,vo,v,o,解：,麥克斯韋速度分布函數(shù),4.8 玻爾茲曼分布律 重力場中微粒按高度的分布,一、玻爾茲曼能量分布律,其指數(shù)僅包含分子運動動能,問題：對于更一般的情形，如在外力場中的氣體分子的分布將如何？,分子按速度的分布不受力場的影響，按空間位置的分布卻是不均勻的，依賴于分子所在力場的性質(zhì)。,玻爾茲曼的推廣,用k+p 代替k，用x、y、z、 vx、 vy、 vz 為軸構(gòu)成的六維空間中的體積dxdydzdvxdvydvz 代替速度空間的體積元dvxdvydvz,玻爾茲曼能量分布律,當系統(tǒng)在力場中處于平衡態(tài)時，其中坐標介于區(qū)間xx+dx、yy+dy、zz+dz

18、內(nèi)，同時速度介于vxvx+dvx，vyvy+dvy，vzvz+dvz內(nèi)的分子數(shù)為,n0為在p=0處，單位體積內(nèi)具有各種速度的分子總數(shù)。,玻爾茲曼分子按能量分布律,對所有可能的速度積分,分子在坐標間隔xx+dx,yy+dy,zz+dz內(nèi)的分子數(shù)密度為：,分子按勢能分布律,二、重力場中微粒按高度的分布規(guī)律(p=mgz),重力場中，一方面是無規(guī)則的熱運動使氣體分子均勻分布于它們所能夠到達的空間。另一方面是重力要使氣體分子聚集到地面上。這兩種作用平衡時，氣體分子則在空間作非均勻分布，即氣體分子數(shù)密度隨高度的增加按指數(shù)規(guī)律減小； 分子質(zhì)量越大，受重力的作用越大，分子數(shù)密度減小得越迅速； 對于溫度較高的氣

19、體，分子的無規(guī)則運動劇烈。分子數(shù)密度隨高度減小比較緩慢。,法國物理學(xué)家佩蘭據(jù)此測量了玻耳茲曼常數(shù)進而得到了阿伏伽德羅常數(shù)，于1922年獲得了諾貝爾物理獎。,假設(shè)：大氣為理想氣體不同高度處溫度相等 利用：p = nkT 可得:,每升高10米，大氣壓強降低133Pa。近似符合實際，可粗略估計高度變化。,三、等溫氣壓公式,近似估計高度,4.9 能量按自由度均分定理 一、自由度 1、定義：描述一個物體在空間的位置所需的獨立坐標稱為該物體的自由度。而決定一個物體在空間的位置所需的獨立坐標數(shù)稱為自由度數(shù)。 2、物體運動的自由度 （1）質(zhì)點的自由度：,（2）剛體的自由度：,3、分子運動的自由度 （1）單原子

20、分子：3 平,（2）剛性雙原子分子：3 平 + 2 轉(zhuǎn),（3）彈性雙原子分子：3平+2轉(zhuǎn)+1振,（4）質(zhì)點系的自由度 (一般性討論) 由 N 個獨立的粒子組成的 每個獨立的粒子各有3個自由度 系統(tǒng)最多有3N個自由度 基本形式 平動 + 轉(zhuǎn)動 + 振動 t r s 隨某點平動 t = 3 過該點軸的轉(zhuǎn)動 r = 3 其余為振動 s = 3N-6,氣體分子的自由度：將每個原子看作質(zhì)點，所以分子是質(zhì)點系。,二、分子能量按自由度均分定理,單原子分子平均能量,因此,分子每一自由度的平均平動能均為 推廣到振動和轉(zhuǎn)動自由度,能量按自由度均分定理： 在溫度為T的平衡態(tài)時,物質(zhì)分子每一個自由度都具有相同的平均動能,其大小都為kT/2。,幾點說明： 只有在平衡態(tài)下才能應(yīng)用能量均分定理，非平衡態(tài)不能應(yīng)用能量均分定理。 能量均分定理本質(zhì)上是關(guān)于熱運動的統(tǒng)計規(guī)律