1、第五章 數(shù)值積分方法,計(jì)算,但是在許多實(shí)際問(wèn)題經(jīng)常遇到下列情況： （1）原函數(shù)存在但不能用初等函數(shù)表示； （2）原函數(shù)可以用初等函數(shù)表示，但結(jié)構(gòu)復(fù)雜； （3）被積函數(shù)沒(méi)有表達(dá)式，僅僅是一張函數(shù)表。,問(wèn)題提出,解決以上情況的積分問(wèn)題，最有效的辦法為數(shù) 值積分法。此種方法是利用被積函數(shù)在一些離散 點(diǎn)處的函數(shù)值，而求得滿足一定代數(shù)精度要求的 定積分近似值。,取左端點(diǎn)矩形近似,數(shù)值積分的思想：,分割、近似、求和,取右端點(diǎn)矩形近似,定積分幾何意義：,曲邊梯形的面積,數(shù)值積分公式的一般形式：,其中,求積節(jié)點(diǎn),求積系數(shù),僅與求積節(jié)點(diǎn)有關(guān),求積公式的截?cái)嗾`差或余項(xiàng)：,5.1 插值型求積公式,思想,作n次Lag

2、range插值多項(xiàng)式:,設(shè)已知函數(shù) 在節(jié)點(diǎn) 上的函數(shù)值,余項(xiàng),則有數(shù)值積分公式,這是用插值函數(shù)代替被積函數(shù)導(dǎo)出的定積分近似 計(jì)算公式，稱為插值型數(shù)值積分公式。,n=1時(shí)的求積公式,一、梯形公式,這是用線性插值函數(shù)代替被積函數(shù)導(dǎo)出的定積分近似計(jì)算公式，稱為梯形數(shù)值積分公式。,幾何意義,截?cái)嗾`差：已知線性插值的截?cái)嗾`差為,積分中值定理： 連續(xù)、不變號(hào),n=2時(shí)的求積公式,二、Simpson公式,將 a, b 二 等分，等分節(jié)點(diǎn) x0 = a ，x1 = (a +b)/2， x2 = b 作為積分節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造二次Lagrange插值多 項(xiàng)式L2(x)：,這是用二次插值函數(shù)代替被積函數(shù)導(dǎo)出的定積分近似計(jì)

3、算公式，稱為辛普森數(shù)值積分公式。,幾何意義：,Simpson積分公式的截?cái)嗾`差（定理）：,積分中值定理： 連續(xù)、不變號(hào),復(fù)合求積法 通常把積分區(qū)間等分成若干個(gè)子區(qū)間，在每個(gè)子區(qū)間上用低階的求積公式（如梯形積分公式Simpson積分公式），對(duì)所有的子區(qū)間求和即得整個(gè)區(qū)間a, b上的積分公式，這種方法稱為復(fù)合求積法。,5.2 復(fù)合求積公式,5.2.1 復(fù)化梯形積分 將a, b分成若干小區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間xi, xi+1上用梯形積分公式，再將這些小區(qū)間上的數(shù)值積分累加起來(lái)，就得到區(qū)間a, b上的數(shù)值積分。這種方法稱為復(fù)化梯形積分。, 計(jì)算公式 將a, b n等分, h = xi+1- xi= (b -

4、a)/n, xi = a + ih, i = 0,1,2,n,2020/9/14,15,可編輯,記為 T(h) 或 Tn( f ):,復(fù)化梯形公式的幾何意義,小梯形面積之和近似,復(fù)化梯形公式,復(fù)化梯形公式的余項(xiàng),設(shè),由介值定理,余項(xiàng)估計(jì)式, 計(jì)算公式 將a, b 2m 等分, m 為積分子區(qū)間數(shù)，記 n = 2m，n+1 為節(jié)點(diǎn)總數(shù) ，h = xi+1- xi= (b -a)/n, xi = a + ih, i = 0,1,2,n,5.2.2 復(fù)化Simpson公式：,復(fù)化Simpson公式,復(fù)化Simpson公式的幾何意義,小拋物面積之和近似,系數(shù)首尾為1，奇數(shù)點(diǎn)為4，偶數(shù)點(diǎn)為2,復(fù)化Sim

5、pson公式的余項(xiàng),設(shè),由介值定理,余項(xiàng)估計(jì)式,例： 分別利用復(fù)化梯形公式、復(fù)化Simpson公式計(jì)算 積分 的近似值，要求按復(fù)化Simpson公 式計(jì)算時(shí)誤差不超過(guò) 。,解：,首先來(lái)確定步長(zhǎng),復(fù)化Simpson公式的余項(xiàng)：,本題 的求法：,由歸納法知,解不等式得,將區(qū)間 8等分，分別采用復(fù)化Simpson、梯形公式,復(fù)化梯形公式(n=8),復(fù)化Simpson公式(n=4),代數(shù)精度的判別方法,如果求積公式 對(duì)一切不高于m次的多項(xiàng)式都恒成立，而對(duì)于某個(gè)m+1次多項(xiàng)式不能精確成立，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度。,定理 求積公式 具有次m代數(shù)精度的充要條件是 為 時(shí)求積公式精確成立，而 為 時(shí)求積公式不能成為等式。,5.3 數(shù)值積分公式的代數(shù)精度和 Gauss求積公式,例2 見(jiàn)p73的例5.5,Gauss求積公式,一、 Gauss積分問(wèn)題的提法,前述的求積公式中求積節(jié)點(diǎn)是取等距節(jié)點(diǎn)，求積系數(shù)計(jì)算方便，但代數(shù)精度要受到限制；,為了提高代數(shù)精度，需要適當(dāng)選擇求積節(jié)點(diǎn):,當(dāng)求積節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)確定后，不管這些求積節(jié)點(diǎn)如何選 取，求積公式的代數(shù)精度最高能達(dá)到多少？,具有最高代數(shù)精度的求積公式中求積節(jié)點(diǎn)如何選??？,積分公式的一般形式：,形如 的插值型求積公式的代數(shù)精度最高不超過(guò)2n+1次。,定理,這樣由方程組的4個(gè)方程就能求