1、第六章 多元函數(shù)的微分學(xué),第一節(jié) 多元函數(shù)的極限與連續(xù) 第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù) 第三節(jié) 全微分 第四節(jié) 復(fù)合函數(shù)的微分法 第五節(jié) 二元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用 第六節(jié) 二元函數(shù)的極值,2020年9月15日星期二,2,第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù),3,定義1.,在點,存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為,的某鄰域內(nèi),則稱此極限為函數(shù),極限,設(shè)函數(shù),注意:,一、偏導(dǎo)數(shù),4,同樣可定義對 y 的偏導(dǎo)數(shù),若函數(shù) z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點 ( x , y ) 處對 x,則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡稱為,偏導(dǎo)數(shù) ,記為,或 y 偏導(dǎo)數(shù)存在 ,5,例如, 三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點 (x , y

2、 , z) 處對 x 的,偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù) .,偏導(dǎo)數(shù)定義為,(請自己寫出),6,二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:,是曲線,在點 M0 處的切線,對 x 軸的斜率.,在點M0 處的切線,斜率.,是曲線,對 y 軸的,7,函數(shù)在某點各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然,例如,注意：,但在該點不一定連續(xù).,在上節(jié)已證 f (x , y) 在點(0 , 0)并不連續(xù)!,8,例7 . 求,解法1:,解法2:,在點(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).,9,例8. 設(shè),證:,例3. 求,的偏導(dǎo)數(shù) .,解:,求證,10,二、二階偏導(dǎo)數(shù),設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),若這兩個偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏

3、導(dǎo)數(shù)，,則稱它們是z = f ( x , y ),的二階偏導(dǎo)數(shù) .,按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個二階偏導(dǎo),數(shù):,11,類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).,例如，z = f (x , y) 關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為,z = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階,偏導(dǎo)數(shù)為,12,例9. 求函數(shù),解 :,注意:此處,但這一結(jié)論并不總成立.,的二階偏導(dǎo)數(shù),13,則,定理.,例如, 對三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,說明:,本定理對 n 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.,函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 ,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo),數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.,因為初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函