1、圖形的旋轉(zhuǎn)變換在解題中的應(yīng)用岱山縣衢山初中. 夏良法內(nèi)容摘 要 ：平面圖形的變換主要有平移, 軸對(duì)軸, 旋轉(zhuǎn),相似等幾種, 旋轉(zhuǎn)變換是一種重要的幾何變換, 一些久思不得其解的試題, 若能正確運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換,就能開(kāi)拓學(xué)生解題思路, 提高學(xué)習(xí)興趣, 使問(wèn)題迎刃而解, 關(guān)鍵詞 ：旋轉(zhuǎn)變換, 解題應(yīng)用前言隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施,其基本理念對(duì)近幾年中考數(shù)學(xué)命題改革產(chǎn)生了重大影響，新課程標(biāo)準(zhǔn)下初中數(shù)學(xué)教材增添了圖形變化問(wèn)題,使數(shù)學(xué)更貼近生活，更有利于培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐與操作能力,形成空間觀念和運(yùn)動(dòng)變化意識(shí)。因此幾何變換這一重要數(shù)學(xué)思想,在近幾年中考、競(jìng)賽試題中頻頻出現(xiàn),這使得數(shù)學(xué)試題解題方法和技巧更加靈活多變。旋轉(zhuǎn)變

2、換是幾何變換中基本變換，由于旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置,而不改變其形狀大小, 這使得原來(lái)分散的已知條件和結(jié)論，通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換幾何圖形重新組合,產(chǎn)生新圖形, 進(jìn)而揭示條件與結(jié)論之間內(nèi)在的聯(lián)系,找出解題的途徑。下面結(jié)合例題談?wù)勑D(zhuǎn)變換在平面幾何解題中應(yīng)用。一, 有關(guān)旋轉(zhuǎn)變換的知識(shí)1, 旋轉(zhuǎn)變換的定義：由一個(gè)圖形改變?yōu)榱硪粋€(gè)圖形, 在改變過(guò)程中, 原圖形上的所有點(diǎn)都繞一個(gè)固定的點(diǎn), 按同一個(gè)方向, 轉(zhuǎn)動(dòng)同一個(gè)角度, 這樣的圖形改變叫做旋轉(zhuǎn)變換, 簡(jiǎn)稱(chēng)旋轉(zhuǎn), 這個(gè)固定的點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心, 這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。例如, 如圖1將ABC繞點(diǎn)O按逆時(shí)方向旋轉(zhuǎn)800得A1B1C1, 在這里點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心, 旋

3、轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)是逆時(shí)針, 旋轉(zhuǎn)角是8002, 旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)：1旋轉(zhuǎn)變換不改變圖形的圖狀和大小, 2對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離都相等, 3對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角度等于旋轉(zhuǎn)的角3, 補(bǔ)充知識(shí), 三角形旋轉(zhuǎn)變換的定理1：若將三角形以一頂點(diǎn)為中心, 旋轉(zhuǎn)某一角度, 則笫三邊的新舊位置亦夾成此角度的交角下面先來(lái)證明這個(gè)定理如圖2, 設(shè)ABC以點(diǎn)A為中心,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后處于A1B1C1的位置,AD為ABC的BC上的高,AD1 為新位置A1B1C1的B1C1上的高, 如圖BC與 B1C1交于點(diǎn)P, 求證, BC與 B1C1交角為證明：,由AB旋轉(zhuǎn)角后, 到達(dá)AB1 的的, 而今AD1 BC,AD B1

4、 C1而AD也轉(zhuǎn)到AD1,的的位置, DA D1, ,在四邊形DA D1, P中ADP A D1, P B1800, 圓A,D,P, D1, 四點(diǎn)共圓, BPBDAD三角形旋轉(zhuǎn)變換的定理2 ：若相似三角形中的一個(gè)三角形的兩邊分別垂直于另一個(gè)三角形的兩邊, 則笫三邊也互相垂直。如圖3. 在ABC和DEF中,DE AB,DF AC , 則EFBC證明 ：將DEF作平移變換, 便D與A重合, 設(shè)其位罝為AE1F1, 如右圖DEAB, 而DEAE1，AE1AB, 同樣AF1AC, 對(duì)ABC及AE1F1來(lái)說(shuō), 它們繞著A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900, 由定理1可知,E1F1BC, E1F1EF, EFBC,二,

5、怎樣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換我們?cè)诮忸}時(shí), 常常會(huì)遇到題設(shè)和結(jié)論中的某些元素, 它們之間的關(guān)系, 在原位罝上不易發(fā)現(xiàn), 使我們很難思考, 尤其是初學(xué)的學(xué)生更感到束手無(wú)策, 這時(shí), 若采取適當(dāng)?shù)淖儞Q這里只談一種旋轉(zhuǎn)變換, 將它們從原來(lái)的位罝變到一種新的位罝, 使元素間的關(guān)系顯示得非常清楚, 這樣變換后, 就有利于我們利用某一定理完成解題工作, 特別是題設(shè)中有相等的線段, 如等腰三角形, 等邊三角形,正方形, 一條線段被中點(diǎn)分成兩個(gè)相等部分, 等等, 這時(shí), 我們更可嘗試運(yùn)用, 現(xiàn)舉數(shù)例加以說(shuō)明。1, 以正三角形為基礎(chǔ)的圖形的旋轉(zhuǎn)變換例1,p為正ABC內(nèi)一點(diǎn),PC3,PA4,PB5, 求正三角形的邊長(zhǎng)，分析：

6、本題中線段PA,PB,PC如能設(shè)法使之成為同一三角形的三邊, 就找到了解題途征 考慮到ABC是正三角形, 為此把BCP繞C點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60得ACP解：以C為中心, 將BCP逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60, 那么B落在A點(diǎn),P落在P點(diǎn), 連接P P由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知, BCPACP, CPC P, PCP BCA60,PCP是正三角形,PPPC3,PAPB5, PA4, 因?yàn)?24252,即PP2PA2PA2, 所以AP P是直角三角形 AP P90, 作AR垂直于PC于R, 那么, APR180609030,AR2,PR2,RC32 在直角三角形ARC中,AC這個(gè)例子可推廣為, 若,p為正ABC內(nèi)一

7、點(diǎn), PAl,PBm,PCn,求ABC的邊長(zhǎng), 其結(jié)果為2, 以正方形為基礎(chǔ)的圖形的旋轉(zhuǎn)變換例2,已知：在正方形ABCD內(nèi)有AEF,EAF45,E,F 分別在BC,CD上任意滑動(dòng), 如圖, 求證：1AEF的高為定值, 2EFBEFD證明：把ABE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90, 在正方形外得ADG, 則AEAG,BEDG, FAGEAF45,AEFAGF, 故AHAD定長(zhǎng), 且EFFGBEFG3. 以等腰三角形為基礎(chǔ)的圖形的旋轉(zhuǎn)變換例3,已知：ABC 中，AB AC，在AB C 內(nèi)有一點(diǎn)P，使 APB APC，求證：PC PB證明： 將APC 繞點(diǎn)A 旋轉(zhuǎn)至AP B，如圖,連結(jié)PP ，由旋轉(zhuǎn)變換的

8、性質(zhì)可知, APCAPB,則 AP AP，PCPB,APC APB，因?yàn)?APB APC，所以 AP B APB，由于 APPAPP ，所以BPC BP P，于是有BP BP，而PB P C，所以PC PB4, 旋轉(zhuǎn)180中心對(duì)稱(chēng)條件中有中點(diǎn)戓中線例4,在ABC中, 點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn),E丶F分別是AC丶BC上的點(diǎn), 試證明, DEF的面積不超過(guò)ADE和BDF的面積之和分析：考慮如何把ADE和BDF拼成一塊圖形, 然后和DEF的面積比較,證明：以D為對(duì)稱(chēng)中心, 把ADE旋轉(zhuǎn)180變換成BDE1, 則四邊形BFDE1是凸四邊形, SADE SBDF SBDE1SBDFS四邊形BFDE1SDE1

9、FSDEF當(dāng)E和A重合或F和B重合時(shí), 上式取等號(hào)小結(jié)：從以上數(shù)例可知, 以正三角形, 正方形, 等腰三角形, 線段的中點(diǎn)或中線為基礎(chǔ)的圖形的旋轉(zhuǎn)變換, 一般步驟是：1確定旋轉(zhuǎn)中心：, 正三角形, 正方形一般以頂點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心, 等腰三角形一般繞頂角的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn), 中線一般繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)1 確定旋轉(zhuǎn)對(duì)象即被變換的圖形, 一般把某一個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)到新的位罝, 例1, 例2, 例3, 例4都是如此,2 確定旋轉(zhuǎn)的方向和角度, 旋轉(zhuǎn)的方向 只有順時(shí)針或逆時(shí)針, 旋轉(zhuǎn)的角度正三角形旋轉(zhuǎn)角一般600, 正方形旋轉(zhuǎn)角一般為900, 等腰三角形旋轉(zhuǎn)角一般為頂角的度數(shù)三, 旋轉(zhuǎn)變換的應(yīng)用 1. 直接運(yùn)用性質(zhì)解題1如右圖

10、所示, 把ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)350后, 得到A1B1C, A1B1交AC于點(diǎn)D, 若A1DC900,則A的度數(shù)是,A350,.B500,.C550,.D600,2如圖, COD是AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)400 后所得的圖形, 點(diǎn)C恰好在AB上, AOD900,則B的度數(shù)是度3如下圖1所示, 已知在AOB與DEF中,ABEFBE,ECBD, 顯然有ABCFED, 若圖形經(jīng)過(guò)平移和旋轉(zhuǎn)得到圖2 且有EDB250,A660,則AMD的度數(shù)是度, 若將圖形繼續(xù)旋轉(zhuǎn)后得到圖3, 此時(shí)D,.F,B三點(diǎn)在同一條直線上, 且有DE2DF, 連結(jié)EB, 已知EFB的面積為5cm2, 則四邊形ABED的面積為多少？答

11、案1迭B, 2B的度數(shù)是6003AMD的度數(shù)是890四邊形ABED的面積為15 cm22解決實(shí)際問(wèn)題, 例5,有甲乙丙三個(gè)村莊, 要在中間建一供水站向三村送水, 現(xiàn)要確定供水站的位置, 使所需管道總長(zhǎng)最小,解： 首先實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化,在ABC內(nèi)求一點(diǎn)O, 使OAOBOC最小, 由此可見(jiàn), 所找的位置點(diǎn)O實(shí)際上就是ABC的費(fèi)馬點(diǎn)證明費(fèi)馬點(diǎn),a當(dāng)ABC所有內(nèi)角120時(shí)如圖,O是銳角ABC內(nèi)一點(diǎn), 且AOBBOCCOA120,P是ABC內(nèi)異于O的仼意一點(diǎn), 求證：PAPBPCOAOBOC分析：這里的兩組線段PAPBPC和OAOBOC都不在同一條線段上, 難以比較, 我們?cè)O(shè)法通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換, 使OA,OB

12、,OC接成一條線段, 注意到AOBBOCCOA120, 若旋轉(zhuǎn)角等于60, 可能成功, 證明：, 不仿認(rèn)為P在ABC內(nèi), 把OAB繞B點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OAB, 點(diǎn)P轉(zhuǎn)到OAB內(nèi)的點(diǎn)P, 連結(jié)PA,PP,OO則OBO, PBP都是正三角形, OOOB, ,OAOA ,PAPA, PPPB. AOBAOB120,BOC120, 故有C,O,O,A共線, 旦ACOAOOOCOAOBOC,PAPPPCPAPBPC, 無(wú)論P(yáng)在ABC內(nèi)的位罝如何, 由干P與O不重合, 知APPC是折線, 其長(zhǎng)度大于線段AC的長(zhǎng)度, ,PAPBPCOAOBOCb如果三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120，這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬

13、點(diǎn)證略,3, 用旋轉(zhuǎn)變換的方法解作圖題我們?cè)谘芯孔鲌D題時(shí)，一般都先進(jìn)行分析假定要求作的圖形認(rèn)為可以作出，可先畫(huà)一個(gè)草圖來(lái)表示若作圖的問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，已知的元素和求作的元素間關(guān)系明顯，直接有定理可用，則可立即進(jìn)行作圖但有不少題目，卻不是這樣往往圖形中的各種元素不是集中在一起，分散相離，很難用定理把兩者聯(lián)系起來(lái)，這就會(huì)使我們產(chǎn)生無(wú)從落筆的困難，尤其是初學(xué)者更是如此此時(shí)，不仿采取各種變換的方法，如合同變換，相似變換等等這里只談合同變換中一種旋轉(zhuǎn)變換通過(guò)圖形中某些元素的旋轉(zhuǎn)變換，使之相對(duì)集中，顯現(xiàn)出已知與求作中元素之間的關(guān)系,，揭露出它們的內(nèi)在聯(lián)系，從而得到作圖方法下面通過(guò)一-些實(shí)例，說(shuō)明如何運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變

14、換來(lái)解作圖例6,求作一個(gè)正三角形，使它的三個(gè)頂點(diǎn)分別落在已知三條平行線上 已知三條平行線L1,L2, 和L3如圖 求作一個(gè)正三角形ABC, 使A,B,C三點(diǎn)分別落在，L1,L2, 和與L3上 分析：假定已經(jīng)作得正ABC，如右圖在L1上我們可以任取一點(diǎn)A，作為正ABC的一個(gè)頂點(diǎn)。再在L2上取一點(diǎn)B，連結(jié)AB作為正三角形的一邊顯然，其第三個(gè)頂點(diǎn)C不一定剛落在L3上我們?yōu)榱藦囊椎诫y，先放棄這個(gè)第三頂點(diǎn)必須在L3上的條件這樣，就有了很大的“自由度，在L2上可以任取一點(diǎn)又為了簡(jiǎn)單,方便，我們可以過(guò)A作ABL2，與L2相交于B也就是說(shuō)，在L2上取一點(diǎn)B，使AB L2，從而以AB為一邊作出一個(gè)正ABC，如上

15、圖這時(shí)一般說(shuō)來(lái)，C點(diǎn)不會(huì)恰巧落在L3上所以現(xiàn)在的問(wèn)題是如何把C移到L3上去， 很容易想到(假定正ABC已經(jīng)作得如圖)只要將ABB繞著A點(diǎn)，以逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)6 OO，即可到達(dá)ACC的位置作法：在L1上任取一點(diǎn)A, 過(guò)A作AB1 L2與L2交于B1,以AB1為一邊作正AB1C1過(guò) C1作A C1C900, C1C與L3相交干C點(diǎn), 連結(jié)AC作CAB600與L2相交干B, 連結(jié)BC, 即得ABC,證：B1A C1BAC600, B1ABC1AC, 又AB1AC1, AB1 BA C1C900, AB1BAC1C, ABAC, 但BAC600, ABC為正三角形, 亦即為所求之三角形4, 用旋轉(zhuǎn)變換的

16、方法解中考題例7,（07年臨沂市）如圖61，已知ABC中，ABBC1，ABC90，把一塊含30角的直角三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上(直角三角板的短直角邊為DE，長(zhǎng)直角邊為DF)，將直角三角板DEF繞D點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。(1)在圖61中，DE交AB于M，DF交BC于N。證明DMDN；在這一旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直角三角板DEF與ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請(qǐng)說(shuō)明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明是如何變化的？若不發(fā)生變化，求出其面積；(2)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖62的位置，延長(zhǎng)AB交DE于M，延長(zhǎng)BC交DF于N，DMDN是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖63的位置，延長(zhǎng)